Reconocimiento de una progresión geométrica a partir de sus términos
Resumen inicial
El reconocimiento de una progresión geométrica comprueba que todos los cocientes consecutivos sean constantes ($\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \dots = r$) o que el cuadrado del término medio iguale al producto de sus extremos.
Explicación en palabras simples
Para verificar si una lista de números es una progresión geométrica:
- Divides cada número entre el número que está justo a su izquierda:
$$\frac{a_2}{a_1}, \quad \frac{a_3}{a_2}, \quad \frac{a_4}{a_3}, \dots$$
- Si todas las divisiones dan exactamente el mismo resultado, ¡es una PG!
- Si alguna división da un número diferente, NO es una PG.
- Por ejemplo:
- En $3, 6, 12, 24, 48$: $\frac{6}{3}=2, \frac{12}{6}=2, \frac{24}{12}=2 \implies$ Sí es PG ($r=2$).
- En $2, 4, 6, 8$: $\frac{4}{2}=2, \frac{6}{4}=1,5 \implies$ No es PG (es una PA con $d=2$).
Explicación formal
Definición formal
Una secuencia finita de términos no nulos $\{a_1, a_2, \dots, a_k\}$ ($k \ge 3$) es una progresión geométrica si y solo si se verifica la igualdad de todos los cocientes consecutivos:
$$\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = \dots = \frac{a_k}{a_{k-1}} = r \quad (r \in \mathbb{R}^*)$$
Criterio de la Media Geométrica Local
Para cualquier trío consecutivo $(a_{n-1}, a_n, a_{n+1})$, se debe cumplir la propiedad de media geométrica:
$$(a_n)^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1} \iff |a_n| = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}$$
Comparación Estructural: PA vs PG
- PA (Aritmética): Diferencias constantes $a_{n+1} - a_n = d$ (Crecimiento lineal).
- PG (Geométrica): Cocientes constantes $\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$ (Crecimiento exponencial).
Síntesis didáctica
- Regla de prueba: $\frac{a_{k+1}}{a_k} = r$ constante para todo $k$.
- Propiedad de simetría: $(a_k)^2 = a_{k-1} \cdot a_{k+1}$.
La alternativa correcta es '$y^2 = x \cdot z$ (el cuadrado del medio es igual al producto de los extremos)'. En toda PG, el término central es la media geométrica de sus vecinos.
Definiciones clave
- Cociente consecutivo: División entre un término y su inmediato predecesor.
- Media geométrica local: Término medio cuyo cuadrado es igual al producto de los términos adyacentes.
- Invariante multiplicativo: Razón $r$ que se conserva constante a lo largo de toda la progresión.
Propiedades y relaciones importantes
- Verificación completa: Para asegurar que una lista es PG, deben comprobarse todas las divisiones consecutivas.
- Crecimiento acelerado: Los términos de una PG con $|r| > 1$ crecen mucho más rápidamente que los de una PA.
Ejemplo guiado
Determina si la secuencia $(2, 6, 18, 54, 162)$ es una progresión geométrica y comprueba el criterio de la media geométrica en el término central $a_3 = 18$.
- Paso 1: Calculamos todas las divisiones consecutivas:
- - $\frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{2} = 3$
- - $\frac{a_3}{a_2} = \frac{18}{6} = 3$
- - $\frac{a_4}{a_3} = \frac{54}{18} = 3$
- - $\frac{a_5}{a_4} = \frac{162}{54} = 3$
- Paso 2: Como todos los cocientes son iguales a $3$, **sí es una progresión geométrica con $r = 3$**.
- Paso 3: Verificamos la media geométrica en $a_3 = 18$: $(18)^2 = 324$ y $a_2 \cdot a_4 = 6 \cdot 54 = 324$. La igualdad se cumple estrictamente.
La alternativa correcta es '$(4, 12, 36, 108)$, con razón constante $r = 3$'. Los cocientes son constantes: $12/4 = 3, 36/12 = 3, 108/36 = 3$.
Procedimiento
- Paso 1: Calcular todas las divisiones consecutivas $\frac{a_{k+1}}{a_k}$ para $k = 1, 2, \dots, n-1$.
- Paso 2: Comparar los valores de los cocientes resultantes.
- Paso 3: Si todos los cocientes son exactamente iguales a una constante $r$, concluir que es una PG.
- Paso 4: Si al menos un cociente difiere, concluir que no es una progresión geométrica.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Evaluar la división solo en el primer par y asumir apresuradamente que es PG. Cómo corregirlo: Se deben calcular todos los cocientes consecutivos de la lista para certificar la constancia.
- Error 2: Confundir secuencias aritméticas ($2, 4, 6, 8$) con geométricas. Cómo corregirlo: En $2, 4, 6, 8$ las restas son constantes ($+2$), pero las divisiones no son constantes ($4/2 = 2 \neq 6/4 = 1,5$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $16/32 = 1/2, 8/16 = 1/2, 4/8 = 1/2, 2/4 = 1/2$.
- No es PG porque los cocientes no son constantes (es una PA con $d=5$).
- $x^2 = 4 \cdot 36 = 144 \implies x = \sqrt{144} = 12$.
- Todos los cocientes dan $-3$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Reconocer y verificar si una secuencia numérica es una progresión geométrica.
Comprobar la constancia de los cocientes consecutivos $\frac{a_{k+1}}{a_k} = r$ y validar el criterio de media geométrica $(a_k)^2 = a_{k-1} \cdot a_{k+1}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Para demostrar irrefutablemente que una lista de $4$ números ($a_1, a_2, a_3, a_4$) conforma una progresión geométrica, ¿qué debes comprobar? (v2)
Debes probar cada par de vecinos dividiendo el posterior entre el anterior.
Respuesta: A) Que las tres divisiones $\frac{{a_2}}{{a_1}}, \frac{{a_3}}{{a_2}}$ y $\frac{{a_4}}{{a_3}}$ den el mismo resultado.
-
Para demostrar irrefutablemente que una lista de $4$ números ($a_1, a_2, a_3, a_4$) conforma una progresión geométrica, ¿qué debes comprobar? (v3)
Debes probar cada par de vecinos dividiendo el posterior entre el anterior.
Respuesta: A) Que las tres divisiones $\frac{{a_2}}{{a_1}}, \frac{{a_3}}{{a_2}}$ y $\frac{{a_4}}{{a_3}}$ den el mismo resultado.
-
Para demostrar irrefutablemente que una lista de $4$ números ($a_1, a_2, a_3, a_4$) conforma una progresión geométrica, ¿qué debes comprobar? (v1)
Debes probar cada par de vecinos dividiendo el posterior entre el anterior.
Respuesta: A) Que las tres divisiones $\frac{{a_2}}{{a_1}}, \frac{{a_3}}{{a_2}}$ y $\frac{{a_4}}{{a_3}}$ den el mismo resultado.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes sucesiones verbales describe de forma pura una progresión geométrica?
Triplicarse significa multiplicar por 3 en cada intervalo de tiempo. Crecimiento multiplicativo = Geométrica.
Respuesta: A) La cantidad de bacterias en una herida se triplica cada dos horas.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La sucesión de números $100, 50, 25, 12.5$ es una Progresión Geométrica verdadera?
50/100 = 0.5. 25/50 = 0.5. 12.5/25 = 0.5. Como todos dan el mismo cociente, es verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿La sucesión de números $100, 50, 25, 12.5$ es una Progresión Geométrica verdadera?
50/100 = 0.5. 25/50 = 0.5. 12.5/25 = 0.5. Como todos dan el mismo cociente, es verdadero.
Respuesta: Verdadero
-
¿La sucesión de números $100, 50, 25, 12.5$ es una Progresión Geométrica verdadera?
50/100 = 0.5. 25/50 = 0.5. 12.5/25 = 0.5. Como todos dan el mismo cociente, es verdadero.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En un laboratorio se registran los tamaños (en mm) de un cultivo de hongos durante $4$ días consecutivos, obteniendo los siguientes cuatro grupos de datos. ¿Cuál de estos registros representa un crecimiento puramente geométrico? (v3)
A) $12/3=4; 48/12=4; 192/48=4$. Todas dan 4. La C y D fallan en la segunda división.
Respuesta: A) $3, 12, 48, 192$
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En un laboratorio se registran los tamaños (en mm) de un cultivo de hongos durante $4$ días consecutivos, obteniendo los siguientes cuatro grupos de datos. ¿Cuál de estos registros representa un crecimiento puramente geométrico? (v1)
A) $12/3=4; 48/12=4; 192/48=4$. Todas dan 4. La C y D fallan en la segunda división.
Respuesta: A) $3, 12, 48, 192$
-
En un laboratorio se registran los tamaños (en mm) de un cultivo de hongos durante $4$ días consecutivos, obteniendo los siguientes cuatro grupos de datos. ¿Cuál de estos registros representa un crecimiento puramente geométrico? (v2)
A) $12/3=4; 48/12=4; 192/48=4$. Todas dan 4. La C y D fallan en la segunda división.
Respuesta: A) $3, 12, 48, 192$