Reconocimiento de una progresión geométrica a partir de sus términos
Auditar una lista de números para determinar rápidamente si califica o no como progresión geométrica.
Introducción
No todo lo que crece rápido es una progresión geométrica. Algunas sucesiones tienen trampas. Así como en las aritméticas comprobábamos restando, aquí seremos los inspectores de la multiplicación.
Explicación
Una secuencia sospechosa: $2, 6, 18, 36$.
Vamos a auditarla paso a paso:
1. $6 / 2 = 3$
2. $18 / 6 = 3$
3. $36 / 18 = 2$ $\rightarrow$ ¡Fallo! Aunque empezó bien multiplicando por 3, al final se multiplicó por 2. No es una P.G.
También puedes toparte con secuencias alternadas como $5, -10, 20, -40$.
1. $-10 / 5 = -2$
2. $20 / -10 = -2$
3. $-40 / 20 = -2$
¡Éxito! Todas las divisiones dan $-2$. Es una P.G. perfectamente válida.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Toma el segundo número y divídelo por el primero.
- Paso 2: Toma el tercer número y divídelo por el segundo.
- Paso 3: Sigue así con todos los números que te hayan dado.
- Paso 4: Si todas las divisiones dan el mismo resultado exacto, es una P.G. Si una sola falla, la rechazas.
Ejemplos
1 ¿La secuencia $1, 4, 9, 16$ es una progresión geométrica?
- Dividimos 4/1 = 4.
- Dividimos 9/4 = 2.25.
- Como 4 y 2.25 son distintos, no necesitamos seguir. NO es geométrica. (En realidad, son los cuadrados perfectos).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Comprobar solo los primeros dos números y dar por hecho que la regla se cumple para el resto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que si tiene números negativos o fracciones no puede ser geométrica. Las progresiones con razón fraccionaria o negativa son las favoritas en la PAES."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para confirmar que una secuencia es Progresión Geométrica (P.G.), debes verificar que al **dividir** cualquier término por su antecesor, el resultado ('$r$') sea siempre idéntico para todos los pares consecutivos entregados.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para demostrar irrefutablemente que una lista de $4$ números ($a_1, a_2, a_3, a_4$) conforma una progresión geométrica, ¿qué debes comprobar? (v2)
Debes probar cada par de vecinos dividiendo el posterior entre el anterior.
Respuesta: A) Que las tres divisiones $\frac{{a_2}}{{a_1}}, \frac{{a_3}}{{a_2}}$ y $\frac{{a_4}}{{a_3}}$ den el mismo resultado.
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Para demostrar irrefutablemente que una lista de $4$ números ($a_1, a_2, a_3, a_4$) conforma una progresión geométrica, ¿qué debes comprobar? (v3)
Debes probar cada par de vecinos dividiendo el posterior entre el anterior.
Respuesta: A) Que las tres divisiones $\frac{{a_2}}{{a_1}}, \frac{{a_3}}{{a_2}}$ y $\frac{{a_4}}{{a_3}}$ den el mismo resultado.
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Para demostrar irrefutablemente que una lista de $4$ números ($a_1, a_2, a_3, a_4$) conforma una progresión geométrica, ¿qué debes comprobar? (v1)
Debes probar cada par de vecinos dividiendo el posterior entre el anterior.
Respuesta: A) Que las tres divisiones $\frac{{a_2}}{{a_1}}, \frac{{a_3}}{{a_2}}$ y $\frac{{a_4}}{{a_3}}$ den el mismo resultado.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes sucesiones verbales describe de forma pura una progresión geométrica?
Triplicarse significa multiplicar por 3 en cada intervalo de tiempo. Crecimiento multiplicativo = Geométrica.
Respuesta: A) La cantidad de bacterias en una herida se triplica cada dos horas.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La sucesión de números $100, 50, 25, 12.5$ es una Progresión Geométrica verdadera?
50/100 = 0.5. 25/50 = 0.5. 12.5/25 = 0.5. Como todos dan el mismo cociente, es verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿La sucesión de números $100, 50, 25, 12.5$ es una Progresión Geométrica verdadera?
50/100 = 0.5. 25/50 = 0.5. 12.5/25 = 0.5. Como todos dan el mismo cociente, es verdadero.
Respuesta: Verdadero
-
¿La sucesión de números $100, 50, 25, 12.5$ es una Progresión Geométrica verdadera?
50/100 = 0.5. 25/50 = 0.5. 12.5/25 = 0.5. Como todos dan el mismo cociente, es verdadero.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En un laboratorio se registran los tamaños (en mm) de un cultivo de hongos durante $4$ días consecutivos, obteniendo los siguientes cuatro grupos de datos. ¿Cuál de estos registros representa un crecimiento puramente geométrico? (v3)
A) $12/3=4; 48/12=4; 192/48=4$. Todas dan 4. La C y D fallan en la segunda división.
Respuesta: A) $3, 12, 48, 192$
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En un laboratorio se registran los tamaños (en mm) de un cultivo de hongos durante $4$ días consecutivos, obteniendo los siguientes cuatro grupos de datos. ¿Cuál de estos registros representa un crecimiento puramente geométrico? (v1)
A) $12/3=4; 48/12=4; 192/48=4$. Todas dan 4. La C y D fallan en la segunda división.
Respuesta: A) $3, 12, 48, 192$
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En un laboratorio se registran los tamaños (en mm) de un cultivo de hongos durante $4$ días consecutivos, obteniendo los siguientes cuatro grupos de datos. ¿Cuál de estos registros representa un crecimiento puramente geométrico? (v2)
A) $12/3=4; 48/12=4; 192/48=4$. Todas dan 4. La C y D fallan en la segunda división.
Respuesta: A) $3, 12, 48, 192$