Identificación de la razón geométrica en una sucesión
Calcular correctamente la razón geométrica (r) a partir de términos consecutivos o distantes.
Introducción
Si ves los números 3, 12, 48... sabes que algo se está multiplicando rápido. Descubrir por qué número se está multiplicando es aislar la 'Razón Geométrica', la huella digital de esta secuencia.
Explicación
- Términos Juntos:
Si te dan $5, 35, 245\dots$ es fácil. -
$r = 35 / 5 = 7$.
-
Términos Separados (¡Ojo!):
Si te dan $a_1 = 2$ y de pronto te dicen que $a_3 = 18$. ¿Cuál es la razón? - Piensa: para llegar de $a_1$ a $a_3$ tuviste que multiplicar por '$r$' dos veces (dos saltos).
- Es decir: $a_1 \cdot r \cdot r = a_3 \rightarrow 2 \cdot r^2 = 18$.
- Despejamos: $r^2 = 18 / 2 = 9$.
- Si $r^2 = 9$, entonces $r$ puede ser $3$ (o $-3$).
Este es el principio general: la distancia de posiciones indica el exponente de '$r$'.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Si tienes términos vecinos (como el 2do y el 1ro), simplemente divide el de la derecha entre el de la izquierda.
- Paso 2: Si tienes términos separados (ej. $a_4$ y $a_1$), divide el mayor entre el menor para aislar $r^{\Delta n}$.
- Paso 3: Aplica raíz para despejar 'r' (Si la distancia es 3 saltos, sacas raíz cúbica).
Ejemplos
1 Calcula la razón de la P.G. donde a_2 = -12 y a_3 = 36.
- Están juntos, así que es directo.
- r = a3 / a2 = 36 / -12
- r = -3.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Restar los términos en lugar de dividirlos (creyendo que es aritmética)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Al despejar $r^2$, olvidar que la razón podría ser un número negativo alternante ($-3$ al cuadrado también da $9$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La razón se calcula **dividiendo** un término por su inmediato anterior: $r = \frac{a_n}{a_{n-1}}$. Si los términos no están seguidos, las reglas de potencias y raíces son necesarias para descubrir 'r'.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La operación matemática estricta para determinar la razón '$r$' de una Progresión Geométrica, dados dos términos consecutivos ($a_n$ y $a_{n-1}$), consiste en calcular: (v1)
Como se genera multiplicando, el camino inverso para hallar 'r' es dividir el término de la derecha entre el de la izquierda.
Respuesta: A) La división o cociente $\frac{{a_n}}{{a_{{n-1}}}}$
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La operación matemática estricta para determinar la razón '$r$' de una Progresión Geométrica, dados dos términos consecutivos ($a_n$ y $a_{n-1}$), consiste en calcular: (v2)
Como se genera multiplicando, el camino inverso para hallar 'r' es dividir el término de la derecha entre el de la izquierda.
Respuesta: A) La división o cociente $\frac{{a_n}}{{a_{{n-1}}}}$
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La operación matemática estricta para determinar la razón '$r$' de una Progresión Geométrica, dados dos términos consecutivos ($a_n$ y $a_{n-1}$), consiste en calcular: (v3)
Como se genera multiplicando, el camino inverso para hallar 'r' es dividir el término de la derecha entre el de la izquierda.
Respuesta: A) La división o cociente $\frac{{a_n}}{{a_{{n-1}}}}$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si en una progresión geométrica el primer término es positivo y el tercer término también es positivo, la razón '$r$' NO podría ser:
Wait. Si $a_1=+$ y $a_3=+$ significa que se multiplicó por $r^2$. Un cuadrado positivo permite que 'r' sea negativo (ej. r=-2: 2, -4, 8) o positivo. Ambas sirven en los reales. La respuesta más lógica aquí es que $r^2$ es positivo.
Respuesta: A) Un número imaginario.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La razón geométrica de la sucesión de fracciones $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$ es igual a $2$?
Dividimos a2/a1: (1/4) / (1/2) = (1/4) * (2/1) = 2/4 = 1/2. La razón es 1/2, no 2.
Respuesta: Falso
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¿La razón geométrica de la sucesión de fracciones $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$ es igual a $2$?
Dividimos a2/a1: (1/4) / (1/2) = (1/4) * (2/1) = 2/4 = 1/2. La razón es 1/2, no 2.
Respuesta: Falso
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¿La razón geométrica de la sucesión de fracciones $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$ es igual a $2$?
Dividimos a2/a1: (1/4) / (1/2) = (1/4) * (2/1) = 2/4 = 1/2. La razón es 1/2, no 2.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Se tiene una sucesión geométrica donde el segundo término es $a_2 = 15$ y el tercer término es $a_3 = -45$. Siguiendo esta misma razón geométrica inalterable, ¿cuál será el valor del cuarto término ($a_4$)? (v1)
Hallamos r: a3/a2 = -45 / 15 = -3. La razón es -3. Para a4: multiplicamos a3 por r. a4 = -45 * -3 = +135.
Respuesta: A) $135$
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Se tiene una sucesión geométrica donde el segundo término es $a_2 = 15$ y el tercer término es $a_3 = -45$. Siguiendo esta misma razón geométrica inalterable, ¿cuál será el valor del cuarto término ($a_4$)? (v2)
Hallamos r: a3/a2 = -45 / 15 = -3. La razón es -3. Para a4: multiplicamos a3 por r. a4 = -45 * -3 = +135.
Respuesta: A) $135$
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Se tiene una sucesión geométrica donde el segundo término es $a_2 = 15$ y el tercer término es $a_3 = -45$. Siguiendo esta misma razón geométrica inalterable, ¿cuál será el valor del cuarto término ($a_4$)? (v3)
Hallamos r: a3/a2 = -45 / 15 = -3. La razón es -3. Para a4: multiplicamos a3 por r. a4 = -45 * -3 = +135.
Respuesta: A) $135$