Identificación de la razón geométrica en una sucesión

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

La identificación de la razón geométrica $r$ calcula el factor multiplicativo constante mediante la división de términos consecutivos $r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ o la raíz $r = \sqrt[q-p]{\frac{a_q}{a_p}}$ para términos distantes.

Explicación en palabras simples

Para descubrir cuál es la razón geométrica ($r$) de una progresión:
- Si tienes términos seguidos: divides el término de la derecha entre el de la izquierda:
$$r = \frac{a_2}{a_1} \quad \text{o} \quad r = \frac{a_3}{a_2}$$
- Si tienes términos separados (por ejemplo, $a_2$ y $a_5$): divides sus valores y extraes la raíz correspondiente a la distancia entre posiciones:
$$r^{5-2} = \frac{a_5}{a_2} \implies r^3 = \frac{a_5}{a_2} \implies r = \sqrt[3]{\frac{a_5}{a_2}}$$
- La razón $r$ es el número por el que se multiplica en cada paso.

Identificación de la razón geométrica

Explicación formal

Definición formal

En una progresión geométrica $(a_n)_{n \ge 1}$, la razón geométrica ($r$) es el invariante multiplicativo definido por:
$$r = \frac{a_{k+1}}{a_k} \quad \forall k \in \mathbb{N}$$

Fórmula General para Términos No Consecutivos

Dados dos términos no consecutivos $a_p$ y $a_q$ ($q > p$):
$$a_q = a_p \cdot r^{q-p} \implies r^{q-p} = \frac{a_q}{a_p} \implies r = \sqrt[q-p]{\frac{a_q}{a_p}}$$

Consideraciones sobre Raíces de Índice Par

Si $(q - p)$ es un número par y $\frac{a_q}{a_p} > 0$, existen dos soluciones algebraicas $r = \pm \sqrt[q-p]{\frac{a_q}{a_p}}$. La elección del signo dependerá de si la sucesión presenta términos de signo constante ($r > 0$) o alternantes ($r < 0$).

Síntesis didáctica

  • Términos adyacentes: $r = \frac{a_2}{a_1}$.
  • Términos distantes: $r = \sqrt[q-p]{\frac{a_q}{a_p}}$.
Comprueba tu avance Si en una PG se conoce que $a_3 = 12$ y $a_4 = 36$, ¿cuál es el valor de la razón geométrica $r$?

Definiciones clave

  • Razón geométrica ($r$): Cociente constante obtenido al dividir cualquier término por su antecesor.
  • Factor de amplificación: Valor de $r$ cuando $|r| > 1$, que amplifica la magnitud de los términos.
  • Factor de atenuación: Valor de $r$ cuando $0 < |r| < 1$, que reduce progresivamente la magnitud.

Propiedades y relaciones importantes

  • Invarianza de cocientes: La división entre dos términos congruentes separados por $k$ posiciones siempre produce $r^k$.
  • Independencia posicional: La razón calculada entre $a_1$ y $a_2$ es estrictamente idéntica a la calculada entre $a_{100}$ y $a_{101}$.

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

En una progresión geométrica de términos positivos, el segundo término es $a_2 = 6$ y el quinto término es $a_5 = 48$. Determina el valor de la razón geométrica $r$.

  • Paso 1: Identificamos los datos: $p = 2, a_2 = 6, q = 5, a_5 = 48$.
  • Paso 2: Calculamos la distancia entre posiciones: $q - p = 5 - 2 = 3$.
  • Paso 3: Planteamos la ecuación: $r^3 = \frac{a_5}{a_2} = \frac{48}{6} = 8$.
  • Paso 4: Extraemos la raíz cúbica: $r = \sqrt[3]{8} = 2$. La razón geométrica es **$r = 2$**.
Comprueba tu avance En una PG de términos positivos con $a_1 = 5$ y $a_3 = 45$, ¿cuál es la razón $r$?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar dos términos conocidos y sus posiciones $(p, a_p)$ y $(q, a_q)$.
  • Paso 2: Calcular el cociente $\frac{a_q}{a_p}$.
  • Paso 3: Calcular la diferencia entre posiciones $\Delta n = q - p$.
  • Paso 4: Extraer la raíz de índice $(q - p)$: $r = \sqrt[q-p]{\frac{a_q}{a_p}}$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Restar los términos ($a_2 - a_1$) en vez de dividirlos al buscar la razón geométrica. Cómo corregirlo: En la PG la razón se obtiene dividiendo, no restando.
  • Error 2: Olvidar extraer la raíz $(q-p)$ al calcular la razón entre términos no consecutivos. Cómo corregirlo: La razón al cuadrado ($r^2$) o al cubo ($r^3$) requiere extraer la raíz correspondiente.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Para la PG $(6, 18, 54, 162)$, ¿cuál es la razón geométrica?
2 Para la PG $(100, 50, 25, 12,5)$, ¿cuál es la razón geométrica?
3 Si $a_1 = 4$ y $a_4 = 108$, ¿la razón geométrica es $r = 3$?
4 ¿La sucesión $5, -15, 45, -135$ tiene razón geométrica $r = -3$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Una sucesión con signos alternados tiene una razón geométrica positiva."
"Al calcular la razón entre términos separados por dos posiciones se omite la extracción de la raíz cuadrada."
"La razón geométrica se calcula restando el término anterior al término posterior."
"La razón geométrica no puede ser un número decimal ni menor que uno."
"La razón geométrica se determina dividiendo cualquier término por su término predecesor inmediato ($r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$)."
"Entre dos términos distantes $a_p$ y $a_q$, la razón satisface la relación $r^{q-p} = \frac{a_q}{a_p}$."
"Dividir el primer término entre el segundo ($a_1 / a_2$) para determinar la razón geométrica."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Identificar y calcular la razón geométrica $r$ a partir de términos adyacentes o distantes en una sucesión.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Resolver la ecuación $r = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ o despejar la raíz $r = \sqrt[q-p]{\frac{a_q}{a_p}}$ respetando las reglas de signos.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Números y Álgebra / PAES Matemática.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. La operación matemática estricta para determinar la razón '$r$' de una Progresión Geométrica, dados dos términos consecutivos ($a_n$ y $a_{n-1}$), consiste en calcular: (v1)

  2. La operación matemática estricta para determinar la razón '$r$' de una Progresión Geométrica, dados dos términos consecutivos ($a_n$ y $a_{n-1}$), consiste en calcular: (v2)

  3. La operación matemática estricta para determinar la razón '$r$' de una Progresión Geométrica, dados dos términos consecutivos ($a_n$ y $a_{n-1}$), consiste en calcular: (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Si en una progresión geométrica el primer término es positivo y el tercer término también es positivo, la razón '$r$' NO podría ser:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿La razón geométrica de la sucesión de fracciones $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$ es igual a $2$?

  2. ¿La razón geométrica de la sucesión de fracciones $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$ es igual a $2$?

  3. ¿La razón geométrica de la sucesión de fracciones $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$ es igual a $2$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Se tiene una sucesión geométrica donde el segundo término es $a_2 = 15$ y el tercer término es $a_3 = -45$. Siguiendo esta misma razón geométrica inalterable, ¿cuál será el valor del cuarto término ($a_4$)? (v1)

  2. Se tiene una sucesión geométrica donde el segundo término es $a_2 = 15$ y el tercer término es $a_3 = -45$. Siguiendo esta misma razón geométrica inalterable, ¿cuál será el valor del cuarto término ($a_4$)? (v2)

  3. Se tiene una sucesión geométrica donde el segundo término es $a_2 = 15$ y el tercer término es $a_3 = -45$. Siguiendo esta misma razón geométrica inalterable, ¿cuál será el valor del cuarto término ($a_4$)? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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