Aplicación de la fórmula del término general de una progresión geométrica

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

La fórmula del término general de una progresión geométrica $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ calcula directamente cualquier término multiplicando $a_1$ por la razón $r$ elevada a la potencia $(n - 1)$.

Explicación en palabras simples

Para calcular cualquier número de una progresión geométrica sin multiplicar uno por uno:
- Usamos la fórmula del término general:
$$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$
- ¿Por qué el exponente es $(n - 1)$?
- Para el $1^{\circ}$ término ($n=1$): $r^{1-1} = r^0 = 1 \implies a_1$ (sin multiplicar por $r$).
- Para el $2^{\circ}$ término ($n=2$): multiplicas por $r$ una vez ($r^1$).
- Para el término $n$: multiplicas por $r$ exactamente $(n - 1)$ veces ($r^{n-1}$).
- Por ejemplo, si $a_1 = 3$ y $r = 2$, el término $8$ es:
$$a_8 = 3 \cdot 2^{8-1} = 3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = 384$$

Aplicación de la fórmula del término general de una PG

Explicación formal

Demostración inductiva

Por definición recurrente de una PG:
- $a_1 = a_1$
- $a_2 = a_1 \cdot r$
- $a_3 = a_2 \cdot r = (a_1 \cdot r) \cdot r = a_1 \cdot r^2$
- $a_4 = a_3 \cdot r = (a_1 \cdot r^2) \cdot r = a_1 \cdot r^3$
- Por inducción completa sobre $n \in \mathbb{N}$:
$$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$

Protocolo de Jerarquía Operacional

  1. Evaluar el exponente: Calcular $k = n - 1$.
  2. Calcular la potencia: Evaluar $r^k = r^{n-1}$.
  3. Efectuar el producto: Multiplicar $a_1 \cdot (r^{n-1})$.
    Regla fundamental: $a_1 \cdot r^{n-1} \neq (a_1 \cdot r)^{n-1}$.

Síntesis didáctica

  • Ecuación canónica: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.
  • Comportamiento: Función exponencial de base $r$.
Comprueba tu avance ¿Por qué en la fórmula del término general de una PG el exponente de la razón es $(n - 1)$ en lugar de $n$?

Definiciones clave

  • Fórmula del término general: Ecuación explícita que determina el valor de $a_n$ a partir de $a_1$, $r$ y $n$.
  • Exponente posicional ($(n-1)$): Número de factores de la razón acumulados desde el término inicial.
  • Base de la potencia ($r$): Razón geométrica sobre la cual actúa el exponente.

Propiedades y relaciones importantes

  • Crecimiento exponencial rápido: Para $|r| > 1$, la magnitud de los términos supera a cualquier progresión aritmética para valores suficientemente grandes de $n$.
  • Tratamiento de signos: Si $r < 0$, el signo del término $a_n$ depende de la paridad de $(n-1)$: positivo si $(n-1)$ es par, negativo si $(n-1)$ es impar (para $a_1 > 0$).

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

En la progresión geométrica $(2, 6, 18, 54, \dots)$, determina el término general $a_n$ y calcula el valor del término en la posición $n = 7$.

  • Paso 1: Identificamos el primer término: $a_1 = 2$.
  • Paso 2: Calculamos la razón geométrica: $r = \frac{6}{2} = 3$.
  • Paso 3: Construimos la fórmula general: $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$.
  • Paso 4: Evaluamos para $n = 7$: $a_7 = 2 \cdot 3^{7-1} = 2 \cdot 3^6$.
  • Paso 5: Calculamos la potencia $3^6 = 729$ y multiplicamos: $a_7 = 2 \cdot 729 = **1.458$**.
Comprueba tu avance Si una PG tiene $a_1 = 4$ y razón $r = 2$, ¿cuál es el valor del quinto término $a_5$?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el primer término $a_1$, la razón geométrica $r$ y la posición $n$.
  • Paso 2: Restar 1 a la posición para obtener el exponente: $k = n - 1$.
  • Paso 3: Elevar la razón a dicho exponente: $r^{n-1}$.
  • Paso 4: Multiplicar el resultado de la potencia por el primer término $a_1$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Multiplicar $a_1$ por $r$ antes de elevar a la potencia (calcular $(a_1 \cdot r)^{n-1}$). Cómo corregirlo: Por jerarquía de operaciones, primero se calcula la potencia $r^{n-1}$ y luego se multiplica por $a_1$.
  • Error 2: Usar exponente $n$ en lugar de $(n - 1)$ (escribir $a_n = a_1 \cdot r^n$). Cómo corregirlo: La fórmula del término general siempre lleva exponente $(n - 1)$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Para $a_1 = 5$ y $r = 3$, ¿cuál es el cuarto término $a_4$?
2 Para $a_1 = 64$ y $r = \frac{1}{2}$, ¿cuál es el sexto término $a_6$?
3 ¿Para $a_1 = 3$ y $r = -2$, el término $a_5$ es positivo ($a_5 = +48$)?
4 ¿La expresión $2 \cdot 3^4$ es igual a $(2 \cdot 3)^4 = 6^4$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Una razón negativa elevada a un exponente par produce un resultado numérico negativo."
"Las progresiones geométricas con primer término fraccionario no admiten evaluación mediante la fórmula general."
"El término general de toda progresión geométrica es $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$, donde $(n-1)$ representa el número de veces que se multiplica por la razón."
"El primer término $a_1$ se obtiene evaluando la fórmula general con exponente $n=1$ en lugar de $n-1=0$."
"En la fórmula del término general de una PG se multiplica $a_1$ por $r$ antes de calcular la potencia."
"El exponente de la razón en la fórmula del término general es $n$ en lugar de $(n - 1)$."
"Por jerarquía operacional matemática, en $a_1 \cdot r^{n-1}$ se evalúa primero la potencia $r^{n-1}$ y luego el producto por $a_1$."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Aplicar y evaluar la fórmula del término general $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ en progresiones geométricas.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Resolver la potencia $r^{n-1}$ respetando la prioridad sobre el producto y las leyes de los signos exponenciales.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Números y Álgebra / PAES Matemática.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Al utilizar la fórmula $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$, ¿por qué la razón '$r$' se eleva a un exponente en lugar de multiplicarse por '$n$' como en las progresiones aritméticas? (v3)

  2. Al utilizar la fórmula $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$, ¿por qué la razón '$r$' se eleva a un exponente en lugar de multiplicarse por '$n$' como en las progresiones aritméticas? (v1)

  3. Al utilizar la fórmula $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$, ¿por qué la razón '$r$' se eleva a un exponente en lugar de multiplicarse por '$n$' como en las progresiones aritméticas? (v2)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Según la jerarquía de operaciones, al resolver la expresión $5 \cdot 2^3$ para encontrar un término geométrico, el primer paso obligatorio es:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿El cuarto término ($a_4$) de una progresión geométrica que empieza en $3$ y tiene razón $2$, es exactamente $24$?

  2. ¿El cuarto término ($a_4$) de una progresión geométrica que empieza en $3$ y tiene razón $2$, es exactamente $24$?

  3. ¿El cuarto término ($a_4$) de una progresión geométrica que empieza en $3$ y tiene razón $2$, es exactamente $24$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Una plataforma de videos online se vuelve viral. El día 1 tuvo $1.000$ visitas. Los expertos en análisis de datos notan que cada día que pasa, las visitas diarias se triplican respecto al día anterior ($r=3$). Según este modelo, ¿cuántas visitas exactas tendrá la plataforma durante el día 5? (v1)

  2. Una plataforma de videos online se vuelve viral. El día 1 tuvo $1.000$ visitas. Los expertos en análisis de datos notan que cada día que pasa, las visitas diarias se triplican respecto al día anterior ($r=3$). Según este modelo, ¿cuántas visitas exactas tendrá la plataforma durante el día 5? (v2)

  3. Una plataforma de videos online se vuelve viral. El día 1 tuvo $1.000$ visitas. Los expertos en análisis de datos notan que cada día que pasa, las visitas diarias se triplican respecto al día anterior ($r=3$). Según este modelo, ¿cuántas visitas exactas tendrá la plataforma durante el día 5? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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