Aplicación de la fórmula del término general de una progresión geométrica
Aplicar la fórmula del término general de una progresión geométrica para encontrar cualquier valor en la secuencia.
Introducción
Si un rumor empieza contigo y se lo cuentas a 3 personas, y cada uno a otras 3... ¿cuántos sabrán el rumor en el paso 10? No puedes sumar. Aquí los saltos son exponentes. Bienvenido al término general geométrico.
Explicación
Anatomía de la fórmula: $a_n = a_1 \cdot r^{(n - 1)}$
- $a_n$: Es el número gigante o pequeñito que quieres descubrir.
- $a_1$: Es tu punto de inicio.
- $r$: Es el multiplicador (la razón).
- $(n - 1)$: Es la cantidad de saltos que darás. Como empezamos en el salto cero (la posición 1), el exponente siempre es uno menos que la posición.
Ejemplo: Tienes la progresión $2, 6, 18\dots$ y te piden el término 5.
- $a_1 = 2$
- $r = 3$ (porque $6/2=3$)
- $n = 5$
Fórmula: $a_5 = 2 \cdot 3^{(5 - 1)} \rightarrow 2 \cdot 3^4 \rightarrow 2 \cdot 81 = 162$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Extrae a1 (el primer término).
- Paso 2: Calcula la razón 'r' dividiendo el 2do por el 1ro.
- Paso 3: Identifica la posición 'n'.
- Paso 4: Eleva 'r' a la potencia $(n-1)$.
- Paso 5: Multiplica ese resultado por $a_1$.
Ejemplos
1 Doblas una hoja de papel por la mitad. Luego otra vez. El grosor inicial es 0.1 mm y se duplica en cada doblez. ¿Cuál será el grosor en el doblez número 7?
- a1 = 0.1 mm. r = 2. n = 7.
- Fórmula: a7 = 0.1 * 2^(7-1)
- a7 = 0.1 * 2^6
- 2^6 = 64.
- a7 = 0.1 * 64 = 6.4 mm.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar $a_1$ por '$r$' ANTES de elevar al exponente. Por ejemplo, en $2 \cdot 3^4$, multiplicar $6^4$ (incorrecto) en vez de $2 \cdot 81$ (correcto). ¡Papomudas: potencias primero!"
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar restar 1 al exponente (usar $r^n$ en lugar de $r^{n-1}$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La fórmula maestra para hallar cualquier término en una P.G. es: $a_n = a_1 \cdot r^{(n - 1)}$. Necesitas el primer término ($a_1$), la razón ($r$) y la posición que buscas ($n$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al utilizar la fórmula $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$, ¿por qué la razón '$r$' se eleva a un exponente en lugar de multiplicarse por '$n$' como en las progresiones aritméticas? (v3)
Multiplicar por 'r' cinco veces es $r \cdot r \cdot r \cdot r \cdot r$, que es lo mismo que $r^5$.
Respuesta: A) Porque en una progresión geométrica el avance se realiza multiplicando sucesivamente por '$r$', y las multiplicaciones repetidas se abrevian como potencias.
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Al utilizar la fórmula $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$, ¿por qué la razón '$r$' se eleva a un exponente en lugar de multiplicarse por '$n$' como en las progresiones aritméticas? (v1)
Multiplicar por 'r' cinco veces es $r \cdot r \cdot r \cdot r \cdot r$, que es lo mismo que $r^5$.
Respuesta: A) Porque en una progresión geométrica el avance se realiza multiplicando sucesivamente por '$r$', y las multiplicaciones repetidas se abrevian como potencias.
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Al utilizar la fórmula $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$, ¿por qué la razón '$r$' se eleva a un exponente en lugar de multiplicarse por '$n$' como en las progresiones aritméticas? (v2)
Multiplicar por 'r' cinco veces es $r \cdot r \cdot r \cdot r \cdot r$, que es lo mismo que $r^5$.
Respuesta: A) Porque en una progresión geométrica el avance se realiza multiplicando sucesivamente por '$r$', y las multiplicaciones repetidas se abrevian como potencias.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Según la jerarquía de operaciones, al resolver la expresión $5 \cdot 2^3$ para encontrar un término geométrico, el primer paso obligatorio es:
Las potencias siempre se resuelven antes que las multiplicaciones. $5 \cdot 8 = 40$.
Respuesta: A) Elevar $2$ al cubo ($2^3 = 8$).
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El cuarto término ($a_4$) de una progresión geométrica que empieza en $3$ y tiene razón $2$, es exactamente $24$?
$a_4 = 3 \cdot 2^{4-1} = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿El cuarto término ($a_4$) de una progresión geométrica que empieza en $3$ y tiene razón $2$, es exactamente $24$?
$a_4 = 3 \cdot 2^{4-1} = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿El cuarto término ($a_4$) de una progresión geométrica que empieza en $3$ y tiene razón $2$, es exactamente $24$?
$a_4 = 3 \cdot 2^{4-1} = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una plataforma de videos online se vuelve viral. El día 1 tuvo $1.000$ visitas. Los expertos en análisis de datos notan que cada día que pasa, las visitas diarias se triplican respecto al día anterior ($r=3$). Según este modelo, ¿cuántas visitas exactas tendrá la plataforma durante el día 5? (v1)
a1 = 1000, r = 3, n = 5. Fórmula: a5 = 1000 * 3^(5-1) = 1000 * 3^4 = 1000 * 81 = 81.000.
Respuesta: A) $81.000$ visitas.
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Una plataforma de videos online se vuelve viral. El día 1 tuvo $1.000$ visitas. Los expertos en análisis de datos notan que cada día que pasa, las visitas diarias se triplican respecto al día anterior ($r=3$). Según este modelo, ¿cuántas visitas exactas tendrá la plataforma durante el día 5? (v2)
a1 = 1000, r = 3, n = 5. Fórmula: a5 = 1000 * 3^(5-1) = 1000 * 3^4 = 1000 * 81 = 81.000.
Respuesta: A) $81.000$ visitas.
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Una plataforma de videos online se vuelve viral. El día 1 tuvo $1.000$ visitas. Los expertos en análisis de datos notan que cada día que pasa, las visitas diarias se triplican respecto al día anterior ($r=3$). Según este modelo, ¿cuántas visitas exactas tendrá la plataforma durante el día 5? (v3)
a1 = 1000, r = 3, n = 5. Fórmula: a5 = 1000 * 3^(5-1) = 1000 * 3^4 = 1000 * 81 = 81.000.
Respuesta: A) $81.000$ visitas.