Reconocimiento de una progresión aritmética a partir de sus términos
Auditar una lista de números para determinar rápidamente si califica o no como progresión aritmética.
Introducción
No todo lo que brilla es oro, y no toda secuencia que suma es aritmética. A veces un solo número fuera de lugar rompe toda la regla. Es hora de poner a prueba las secuencias.
Explicación
Una trampa clásica en las pruebas es darte una secuencia que parece aritmética en sus primeros términos, pero falla al final.
Secuencia sospechosa: $3, 7, 11, 16$
1. $7 - 3 = 4$
2. $11 - 7 = 4$
3. $16 - 11 = 5$ $\rightarrow$ ¡Fallo! Aunque empezó como P.A, no lo es. La regla se rompió.
Otro caso de confusión son las sucesiones alternadas ($1, -1, 1, -1$). Al restar: $(-1) - 1 = -2$. Luego: $1 - (-1) = 2$. Como $-2$ es distinto de $2$, tampoco es una progresión aritmética.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula la diferencia entre el 2do y 1er término.
- Paso 2: Calcula la diferencia entre el 3er y 2do término.
- Paso 3: Continúa hasta agotar los números visibles.
- Paso 4: Si absolutamente todas las restas dan el mismo número, puedes declararla oficialmente como P.A.
Ejemplos
1 ¿Es $1/2, 1, 3/2, 2, 5/2$ una Progresión Aritmética?
- Pasamos a decimales para verlo fácil: 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5.
- 1.0 - 0.5 = 0.5
- 1.5 - 1.0 = 0.5
- 2.0 - 1.5 = 0.5
- 2.5 - 2.0 = 0.5
- Sí lo es, la diferencia constante es 0.5 (o 1/2).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Comprobar solo los primeros dos números y asumir que la regla se mantiene para el resto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir una sucesión geométrica (donde se multiplica, ej: 2, 4, 8) con una aritmética."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para reconocer una Progresión Aritmética (P.A.), es obligatorio comprobar que la diferencia 'd' sea idéntica a lo largo de TODOS los pares consecutivos entregados en el problema.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si en una prueba te entregan la lista de cinco números $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ y te preguntan si forman una progresión aritmética, el método de validación estricto exige que: (v2)
Hay que probar cada par de vecinos. $a_2-a_1, a_3-a_2, a_4-a_3, a_5-a_4$. Todas deben ser iguales.
Respuesta: A) Existan cuatro restas consecutivas y que todas den el mismo resultado.
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Si en una prueba te entregan la lista de cinco números $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ y te preguntan si forman una progresión aritmética, el método de validación estricto exige que: (v3)
Hay que probar cada par de vecinos. $a_2-a_1, a_3-a_2, a_4-a_3, a_5-a_4$. Todas deben ser iguales.
Respuesta: A) Existan cuatro restas consecutivas y que todas den el mismo resultado.
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Si en una prueba te entregan la lista de cinco números $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ y te preguntan si forman una progresión aritmética, el método de validación estricto exige que: (v1)
Hay que probar cada par de vecinos. $a_2-a_1, a_3-a_2, a_4-a_3, a_5-a_4$. Todas deben ser iguales.
Respuesta: A) Existan cuatro restas consecutivas y que todas den el mismo resultado.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes sucesiones verbales NO describe una progresión aritmética?
Duplicar implica multiplicar por 2. Eso es geométrico, no aritmético (sumar/restar).
Respuesta: A) Cada mes el capital se duplica respecto al mes anterior.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La sucesión de fracciones $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}$ representa una Progresión Aritmética perfectamente válida?
Sabiendo que 1 es igual a 3/3, la serie es 1/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3. Siempre se suma 1/3.
Respuesta: Verdadero
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¿La sucesión de fracciones $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}$ representa una Progresión Aritmética perfectamente válida?
Sabiendo que 1 es igual a 3/3, la serie es 1/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3. Siempre se suma 1/3.
Respuesta: Verdadero
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¿La sucesión de fracciones $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}$ representa una Progresión Aritmética perfectamente válida?
Sabiendo que 1 es igual a 3/3, la serie es 1/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3. Siempre se suma 1/3.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un software generador de contraseñas arroja las siguientes cuatro secuencias de números. ¿Cuál de ellas es la única que cumple matemáticamente con ser una Progresión Aritmética? (v2)
A: Suma 5 constante. B: Multiplica por 2. C: Resta 10, luego 9, luego 8. D: Resta 1, suma 1 (alterna). La correcta es A.
Respuesta: A) $-10, -5, 0, 5, 10$
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Un software generador de contraseñas arroja las siguientes cuatro secuencias de números. ¿Cuál de ellas es la única que cumple matemáticamente con ser una Progresión Aritmética? (v3)
A: Suma 5 constante. B: Multiplica por 2. C: Resta 10, luego 9, luego 8. D: Resta 1, suma 1 (alterna). La correcta es A.
Respuesta: A) $-10, -5, 0, 5, 10$
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Un software generador de contraseñas arroja las siguientes cuatro secuencias de números. ¿Cuál de ellas es la única que cumple matemáticamente con ser una Progresión Aritmética? (v1)
A: Suma 5 constante. B: Multiplica por 2. C: Resta 10, luego 9, luego 8. D: Resta 1, suma 1 (alterna). La correcta es A.
Respuesta: A) $-10, -5, 0, 5, 10$