Aplicación de la fórmula del término general en una progresión aritmética
Aplicar la fórmula universal del término general de una progresión aritmética para hallar cualquier valor lejano.
Introducción
Si tu sueldo sube 10.000 pesos cada mes, ¿cuánto ganarás en el mes 48? Contar con los dedos no sirve aquí. Es la hora de usar el cañón pesado: la fórmula de la Progresión Aritmética.
Explicación
Anatomía de la fórmula: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$
- $a_n$: Es el número que quieres descubrir (el 'futuro').
- $a_1$: Es tu punto de partida. Desde dónde empiezas a contar.
- $d$: Es el tamaño de cada paso que das.
- $(n - 1)$: Es la cantidad de pasos que debes dar. ¿Por qué menos uno? Porque ya estás parado en el primer término ($a_1$), así que para llegar a la posición 10, solo debes dar 9 pasos.
Ejemplo: Tienes la progresión $5, 8, 11...$ y te piden el término en la posición 20.
- $a_1 = 5$
- $d = 3$ (porque $8-5=3$)
- $n = 20$
Fórmula: $a_{20} = 5 + (20 - 1) \cdot 3 \rightarrow 5 + (19) \cdot 3 \rightarrow 5 + 57 = 62$. ¡Directo al blanco!
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Extrae de la serie el valor de a1 (el primer número).
- Paso 2: Calcula la diferencia 'd' restando el segundo menos el primero.
- Paso 3: Identifica la posición 'n' que te pide el problema.
- Paso 4: Reemplaza estos tres datos en la fórmula $a_n = a_1 + (n-1)d$ y resuelve, recordando multiplicar antes de sumar.
Ejemplos
1 Halla el término 15 de la P.A: 100, 95, 90...
- a1 = 100.
- d = 95 - 100 = -5.
- n = 15.
- Fórmula: a15 = 100 + (15 - 1) * (-5)
- a15 = 100 + (14) * (-5)
- a15 = 100 - 70 = 30.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar restar 1 a la 'n' en el paréntesis. (Ej: multiplicar por 20 pasos en lugar de 19 para llegar a la posición 20)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar $a_1 + (n-1)$ antes de multiplicar por la diferencia 'd' (Error grave de Papomudas)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Cualquier término de una P.A. se puede calcular con la fórmula maestra: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$. Solo necesitas el primer término ($a_1$), la posición que buscas ($n$) y la diferencia ($d$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En la fórmula del término general de una Progresión Aritmética ($a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$), ¿cuál es la razón lógica de usar la expresión '$(n-1)$' en lugar de simplemente multiplicar por '$n$'? (v3)
Si quieres ir de la posición 1 a la 2, das 1 salto. De la 1 a la 3, das 2 saltos. Siempre das (n-1) saltos.
Respuesta: A) Porque para llegar desde el primer término ($a_1$) hasta la posición '$n$', se deben dar '$n-1$' pasos o 'saltos' de tamaño '$d$'.
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En la fórmula del término general de una Progresión Aritmética ($a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$), ¿cuál es la razón lógica de usar la expresión '$(n-1)$' en lugar de simplemente multiplicar por '$n$'? (v1)
Si quieres ir de la posición 1 a la 2, das 1 salto. De la 1 a la 3, das 2 saltos. Siempre das (n-1) saltos.
Respuesta: A) Porque para llegar desde el primer término ($a_1$) hasta la posición '$n$', se deben dar '$n-1$' pasos o 'saltos' de tamaño '$d$'.
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En la fórmula del término general de una Progresión Aritmética ($a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$), ¿cuál es la razón lógica de usar la expresión '$(n-1)$' en lugar de simplemente multiplicar por '$n$'? (v2)
Si quieres ir de la posición 1 a la 2, das 1 salto. De la 1 a la 3, das 2 saltos. Siempre das (n-1) saltos.
Respuesta: A) Porque para llegar desde el primer término ($a_1$) hasta la posición '$n$', se deben dar '$n-1$' pasos o 'saltos' de tamaño '$d$'.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Al aplicar la fórmula $a_n = a_1 + (n-1)d$, la jerarquía de las operaciones (Papomudas) indica que lo último que debes resolver es:
Orden: Paréntesis (n-1), Multiplicación por d, y finalmente Sumar a1.
Respuesta: A) La suma (o resta) final con el término $a_1$.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El término de posición $10$ de una progresión aritmética que empieza en $2$ ($a_1=2$) y va de $5$ en $5$ ($d=5$) es exactamente $52$?
a10 = 2 + (10-1)5 = 2 + 95 = 2 + 45 = 47. Es falso (no 52, eso sería multiplicar por 10).
Respuesta: Falso
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¿El término de posición $10$ de una progresión aritmética que empieza en $2$ ($a_1=2$) y va de $5$ en $5$ ($d=5$) es exactamente $52$?
a10 = 2 + (10-1)5 = 2 + 95 = 2 + 45 = 47. Es falso (no 52, eso sería multiplicar por 10).
Respuesta: Falso
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¿El término de posición $10$ de una progresión aritmética que empieza en $2$ ($a_1=2$) y va de $5$ en $5$ ($d=5$) es exactamente $52$?
a10 = 2 + (10-1)5 = 2 + 95 = 2 + 45 = 47. Es falso (no 52, eso sería multiplicar por 10).
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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La cuota mensual de mantenimiento de un edificio aumenta cada año según una progresión aritmética. En el año 1 la cuota es de $\$20.000$, en el año 2 es de $\$21.500$ y en el año 3 de $\$23.000$. Utilizando la fórmula correspondiente, ¿cuál será el valor de la cuota en el año 12? (v1)
a1 = 20.000. d = 1.500. n = 12. Fórmula: a12 = 20000 + (12-1)1500 = 20000 + 111500 = 20000 + 16500 = 36.500.
Respuesta: A) $\$36.500$
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La cuota mensual de mantenimiento de un edificio aumenta cada año según una progresión aritmética. En el año 1 la cuota es de $\$20.000$, en el año 2 es de $\$21.500$ y en el año 3 de $\$23.000$. Utilizando la fórmula correspondiente, ¿cuál será el valor de la cuota en el año 12? (v2)
a1 = 20.000. d = 1.500. n = 12. Fórmula: a12 = 20000 + (12-1)1500 = 20000 + 111500 = 20000 + 16500 = 36.500.
Respuesta: A) $\$36.500$
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La cuota mensual de mantenimiento de un edificio aumenta cada año según una progresión aritmética. En el año 1 la cuota es de $\$20.000$, en el año 2 es de $\$21.500$ y en el año 3 de $\$23.000$. Utilizando la fórmula correspondiente, ¿cuál será el valor de la cuota en el año 12? (v3)
a1 = 20.000. d = 1.500. n = 12. Fórmula: a12 = 20000 + (12-1)1500 = 20000 + 111500 = 20000 + 16500 = 36.500.
Respuesta: A) $\$36.500$