Aplicación de la fórmula del término general en una progresión aritmética

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

La fórmula del término general de una progresión aritmética $a_n = a_1 + (n - 1)d$ calcula directamente el término en la posición $n$ sumando $n - 1$ veces la diferencia común $d$ a partir del primer término $a_1$.

Explicación en palabras simples

Para hallar cualquier número de una progresión aritmética sin sumar uno por uno:
- Usamos la fórmula del término general:
$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$
- ¿Por qué $(n - 1)$? Porque para llegar al primer término das $0$ pasos, para el segundo das $1$ paso, para el tercero das $2$ pasos, y para el término $n$ das $(n - 1)$ pasos.
- Por ejemplo, si $a_1 = 3$ y $d = 4$, el término $20$ es:
$$a_{20} = 3 + (20 - 1) \cdot 4 = 3 + 19 \cdot 4 = 3 + 76 = 79$$

Aplicación de la fórmula del término general

Explicación formal

Demostración inductiva

Por definición de PA:
- $a_1 = a_1$
- $a_2 = a_1 + d$
- $a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d$
- $a_4 = a_3 + d = (a_1 + 2d) + d = a_1 + 3d$
- En general, para todo $n \in \mathbb{N}$:
$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$

Forma Funcional Canónica (Modelo Afín)

Desarrollando algebraicamente los términos:
$$a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$$
- Coeficiente de $n$: La pendiente de crecimiento ($d$).
- Término independiente: El valor extrapolo en $n=0$ ($a_0 = a_1 - d$).

Síntesis didáctica

  • Ecuación canónica: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
  • Sustitución directa: Evaluación en $O(1)$ para cualquier posición $n$.
Comprueba tu avance ¿Por qué la fórmula del término general de una PA multiplica a la diferencia $d$ por $(n - 1)$ en lugar de por $n$?

Definiciones clave

  • Fórmula del término general: Ecuación explícita que calcula el valor de $a_n$ en función de $a_1$, $n$ y $d$.
  • Número de incrementos ($(n-1)$): Cantidad exacta de pasos de tamaño $d$ necesarios para desplazarse desde $a_1$ hasta $a_n$.
  • Intersección virtual ($a_1 - d$): Valor de la función lineal cuando $n=0$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Extrapolación directa: Permite calcular términos arbitrariamente lejanos (ej: $a_{1000}$) sin iteraciones.
  • Conservación de linealidad: La relación entre el índice $n$ y el valor $a_n$ es estrictamente de primer grado.

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

En la progresión aritmética $(12, 17, 22, 27, \dots)$, determina el término general $a_n$ y calcula el valor del término en la posición $n = 35$.

  • Paso 1: Identificamos el primer término: $a_1 = 12$.
  • Paso 2: Calculamos la diferencia común: $d = 17 - 12 = 5$.
  • Paso 3: Construimos el término general: $a_n = 12 + (n - 1) \cdot 5 = 12 + 5n - 5 = 5n + 7$.
  • Paso 4: Calculamos el término 35: $a_{35} = 5(35) + 7 = 175 + 7 = **182$**.
Comprueba tu avance Si una PA tiene $a_1 = 50$ y $d = -4$, ¿cuál es el valor del término $a_{11}$?

Procedimiento

  • Paso 1: Obtener el primer término $a_1$ y la diferencia común $d$.
  • Paso 2: Escribir la fórmula general: $a_n = a_1 + (n - 1)d$.
  • Paso 3: Sustituir el índice $n$ deseado y resolver primero la resta dentro del paréntesis $(n-1)$.
  • Paso 4: Multiplicar por $d$ (respetando la regla de los signos) y sumar algebraicamente con $a_1$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Multiplicar $d$ directamente por $n$ (usar erróneamente $a_n = a_1 + n \cdot d$). Cómo corregirlo: Para el término $n$ se dan exactamente $(n - 1)$ pasos, no $n$.
  • Error 2: Olvidar que la multiplicación tiene prioridad sobre la suma al operar $a_1 + (n-1)d$. Cómo corregirlo: Primero se calcula el producto $(n-1) \cdot d$ y al final se suma $a_1$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Para $a_1 = 4$ y $d = 3$, ¿cuál es el valor de $a_{50}$?
2 Para $a_1 = 25$ y $d = -2$, ¿cuál es el término $a_{10}$?
3 ¿La fórmula $a_n = 7 + (n-1)5$ se simplifica a la forma $a_n = 5n + 2$?
4 ¿Para $a_1 = \frac{1}{2}$ y $d = \frac{1}{2}$, el término $a_4$ es igual a $2$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La forma funcional $a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$ expresa a la progresión aritmética como una función lineal discreta."
"El término general de toda progresión aritmética es $a_n = a_1 + (n - 1)d$, donde $(n-1)$ representa el número de diferencias sumadas."
"El término general de una progresión aritmética siempre tiene exponente cuadrático en la variable $n$."
"El primer término $a_1$ se obtiene evaluando la fórmula con $n=0$ en lugar de $n=1$."
"La fórmula del término general de una PA se calcula multiplicando $a_1 + n \cdot d$ sin restar uno al índice."
"En la fórmula $a_n = a_1 + (n-1)d$, se suma $a_1 + n$ antes de multiplicar por la diferencia $d$."
"Al aplicar una diferencia común negativa, se ignora la regla de los signos convirtiendo la resta en suma."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Aplicar y simplificar la fórmula del término general $a_n = a_1 + (n - 1)d$ en progresiones aritméticas.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Reemplazar el primer término $a_1$, la posición $n$ y la diferencia $d$ respetando la jerarquía de productos y signos algebraicos.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Números y Álgebra / PAES Matemática.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. En la fórmula del término general de una Progresión Aritmética ($a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$), ¿cuál es la razón lógica de usar la expresión '$(n-1)$' en lugar de simplemente multiplicar por '$n$'? (v3)

  2. En la fórmula del término general de una Progresión Aritmética ($a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$), ¿cuál es la razón lógica de usar la expresión '$(n-1)$' en lugar de simplemente multiplicar por '$n$'? (v1)

  3. En la fórmula del término general de una Progresión Aritmética ($a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$), ¿cuál es la razón lógica de usar la expresión '$(n-1)$' en lugar de simplemente multiplicar por '$n$'? (v2)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Al aplicar la fórmula $a_n = a_1 + (n-1)d$, la jerarquía de las operaciones (Papomudas) indica que lo último que debes resolver es:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿El término de posición $10$ de una progresión aritmética que empieza en $2$ ($a_1=2$) y va de $5$ en $5$ ($d=5$) es exactamente $52$?

  2. ¿El término de posición $10$ de una progresión aritmética que empieza en $2$ ($a_1=2$) y va de $5$ en $5$ ($d=5$) es exactamente $52$?

  3. ¿El término de posición $10$ de una progresión aritmética que empieza en $2$ ($a_1=2$) y va de $5$ en $5$ ($d=5$) es exactamente $52$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. La cuota mensual de mantenimiento de un edificio aumenta cada año según una progresión aritmética. En el año 1 la cuota es de $\$20.000$, en el año 2 es de $\$21.500$ y en el año 3 de $\$23.000$. Utilizando la fórmula correspondiente, ¿cuál será el valor de la cuota en el año 12? (v1)

  2. La cuota mensual de mantenimiento de un edificio aumenta cada año según una progresión aritmética. En el año 1 la cuota es de $\$20.000$, en el año 2 es de $\$21.500$ y en el año 3 de $\$23.000$. Utilizando la fórmula correspondiente, ¿cuál será el valor de la cuota en el año 12? (v2)

  3. La cuota mensual de mantenimiento de un edificio aumenta cada año según una progresión aritmética. En el año 1 la cuota es de $\$20.000$, en el año 2 es de $\$21.500$ y en el año 3 de $\$23.000$. Utilizando la fórmula correspondiente, ¿cuál será el valor de la cuota en el año 12? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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