Determinación de la diferencia común en una progresión aritmética
Resumen inicial
La determinación de la diferencia común $d$ calcula la tasa de cambio aditiva constante como la resta entre términos consecutivos $d = a_{n+1} - a_n$ o mediante la razón $d = \frac{a_q - a_p}{q - p}$.
Explicación en palabras simples
La diferencia común ($d$) es el tamaño del paso entre los números de la progresión:
- Si tienes términos seguidos: simplemente restas el de la derecha menos el de la izquierda:
$$d = a_2 - a_1$$
- Si tienes términos separados (por ejemplo, el término 3 y el término 7): divides la diferencia de sus valores entre la distancia de sus posiciones:
$$d = \frac{a_7 - a_3}{7 - 3}$$
- Si los números van subiendo, $d$ es positiva ($+$); si van bajando, $d$ es negativa ($-$).
Explicación formal
Definición formal
En una progresión aritmética $(a_n)_{n \ge 1}$, la diferencia común ($d$) es el invariante aditivo definido por:
$$d = a_{k+1} - a_k \quad \forall k \in \mathbb{N}$$
Fórmula General para Términos No Consecutivos
Dados dos términos cualesquiera $a_p$ y $a_q$ con índices $p, q \in \mathbb{N}$ ($q \neq p$):
$$a_q = a_p + (q - p)d \implies d = \frac{a_q - a_p}{q - p}$$
Esta fórmula corresponde a la pendiente discreta de la recta que conecta los puntos $(p, a_p)$ y $(q, a_q)$ en el plano cartesiano.
Propiedades del Signo
- $a_q > a_p$ para $q > p \implies d > 0$ (Creciente).
- $a_q < a_p$ para $q > p \implies d < 0$ (Decreciente).
Síntesis didáctica
- Caso consecutivo: $d = a_2 - a_1$.
- Caso general: $d = \frac{a_q - a_p}{q - p}$.
La alternativa correcta es '$d = \frac{a_q - a_p}{q - p}$'. Representa la razón entre el incremento del valor y la distancia entre posiciones.
Definiciones clave
- Diferencia común ($d$): Valor constante que se suma a cada término para generar el siguiente.
- Pendiente discreta: Cociente entre la variación de los valores y la variación de las posiciones ordinales.
- Términos no consecutivos: Términos de la sucesión separados por más de una posición ($q - p > 1$).
Propiedades y relaciones importantes
- Invarianza de cálculo: La diferencia común calculada entre cualquier par de términos congruentes produce exactamente el mismo valor real $d$.
- Número de pasos aditivos: Entre $a_p$ y $a_q$ existen exactamente $q - p$ adiciones de la diferencia $d$.
Ejemplo guiado
En una progresión aritmética, el tercer término es $a_3 = 11$ y el séptimo término es $a_7 = 27$. Determina el valor de la diferencia común $d$ y clasifica la progresión.
- Paso 1: Identificamos los datos: $p = 3, a_3 = 11, q = 7, a_7 = 27$.
- Paso 2: Aplicamos la fórmula para términos distantes: $d = \frac{a_7 - a_3}{7 - 3}$.
- Paso 3: Sustituimos los valores numéricos: $d = \frac{27 - 11}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
- Paso 4: Como $d = 4 > 0$, la diferencia común es **$d = 4$** y la progresión es creciente.
La alternativa correcta es '$-4$, calculando $14 - 18 = -4$'. Al ser decreciente, la resta del segundo término menos el primero da $14 - 18 = -4$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar los términos dados y sus respectivas posiciones $(p, a_p)$ y $(q, a_q)$.
- Paso 2: Restar los valores de los términos: $\Delta a = a_q - a_p$.
- Paso 3: Restar las posiciones ordinales correspondientes: $\Delta n = q - p$.
- Paso 4: Dividir $\Delta a / \Delta n$ para obtener el valor de la diferencia común $d$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Restar el término mayor menos el menor sin respetar el orden de los subíndices (perdiendo el signo negativo). Cómo corregirlo: La resta debe mantener el orden estricto $a_q - a_p$ dividido por $q - p$.
- Error 2: Dividir los términos ($a_2 / a_1$) creyendo que la diferencia es un cociente. Cómo corregirlo: En progresiones aritméticas la diferencia se obtiene restando, no dividiendo.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $d = a_2 - a_1 = 12 - 5 = 7$.
- $d = (22 - 10) / (6 - 2) = 12 / 4 = 3$.
- $d = (18 - 30) / (4 - 1) = -12 / 3 = -4$.
- $d = (2 - 1) / (3 - 1) = 1/2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Determinar la diferencia común $d$ de una progresión aritmética a partir de términos consecutivos o distantes.
Aplicar el cociente de incrementos $d = \frac{a_q - a_p}{q - p}$ preservando los signos algebraicos de la variación.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál de las siguientes fórmulas describe el cálculo correcto e infalible para hallar la diferencia '$d$' en una progresión aritmética? (v2)
La resta siempre es: (término actual) menos (término anterior).
Respuesta: A) $d = a_n - a_{n-1}$
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¿Cuál de las siguientes fórmulas describe el cálculo correcto e infalible para hallar la diferencia '$d$' en una progresión aritmética? (v1)
La resta siempre es: (término actual) menos (término anterior).
Respuesta: A) $d = a_n - a_{n-1}$
-
¿Cuál de las siguientes fórmulas describe el cálculo correcto e infalible para hallar la diferencia '$d$' en una progresión aritmética? (v3)
La resta siempre es: (término actual) menos (término anterior).
Respuesta: A) $d = a_n - a_{n-1}$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si en una progresión aritmética calculas $a_2 - a_1$ y obtienes $+4$, y luego calculas $a_3 - a_2$ y obtienes $-4$, ¿qué puedes concluir?
En una P.A. real, la diferencia debe ser siempre constante. Si varía, no es aritmética.
Respuesta: A) Que la lista de números no corresponde realmente a una progresión aritmética.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La diferencia de la progresión aritmética $-8, -12, -16, -20$ es igual a $4$?
Restamos a2 - a1: $-12 - (-8) = -12 + 8 = -4$. La diferencia es $-4$, no $+4$.
Respuesta: Falso
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¿La diferencia de la progresión aritmética $-8, -12, -16, -20$ es igual a $4$?
Restamos a2 - a1: $-12 - (-8) = -12 + 8 = -4$. La diferencia es $-4$, no $+4$.
Respuesta: Falso
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¿La diferencia de la progresión aritmética $-8, -12, -16, -20$ es igual a $4$?
Restamos a2 - a1: $-12 - (-8) = -12 + 8 = -4$. La diferencia es $-4$, no $+4$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una empresa anota sus ganancias (y pérdidas) mensuales en una lista que sigue una progresión aritmética estricta. El mes 1 tuvieron $\$2.500.000$, el mes 2 bajaron a $\$1.800.000$ y el mes 3 a $\$1.100.000$. ¿Cuál es el valor matemático de la diferencia común '$d$' que modela esta situación? (v3)
Término 2 menos Término 1: $1.800.000 - 2.500.000 = -700.000$.
Respuesta: A) $-700.000$
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Una empresa anota sus ganancias (y pérdidas) mensuales en una lista que sigue una progresión aritmética estricta. El mes 1 tuvieron $\$2.500.000$, el mes 2 bajaron a $\$1.800.000$ y el mes 3 a $\$1.100.000$. ¿Cuál es el valor matemático de la diferencia común '$d$' que modela esta situación? (v1)
Término 2 menos Término 1: $1.800.000 - 2.500.000 = -700.000$.
Respuesta: A) $-700.000$
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Una empresa anota sus ganancias (y pérdidas) mensuales en una lista que sigue una progresión aritmética estricta. El mes 1 tuvieron $\$2.500.000$, el mes 2 bajaron a $\$1.800.000$ y el mes 3 a $\$1.100.000$. ¿Cuál es el valor matemático de la diferencia común '$d$' que modela esta situación? (v2)
Término 2 menos Término 1: $1.800.000 - 2.500.000 = -700.000$.
Respuesta: A) $-700.000$