Determinación de la diferencia común en una progresión aritmética
Calcular correctamente la diferencia común (d) de una progresión aritmética a partir de términos consecutivos.
Introducción
Si la Progresión Aritmética es un vehículo, la Diferencia Común 'd' es su motor. Nos dice a qué velocidad avanza la fila de números y, lo más importante, si va hacia adelante o en reversa.
Explicación
El cálculo de la diferencia $d$ es matemáticamente muy sencillo, pero es la principal causa de error en las pruebas por descuidos con los signos.
Regla de Oro: Siempre toma el término de la DERECHA y réstale el de la IZQUIERDA. NUNCA al revés.
- P.A: $12, 17, 22\dots$ $\rightarrow$ $d = 17 - 12 = 5$.
- P.A: $8, 5, 2\dots$ $\rightarrow$ $d = 5 - 8 = -3$. (¡Es negativo!)
- P.A con negativos: $-10, -6, -2\dots$ $\rightarrow$ $d = -6 - (-10) = -6 + 10 = 4$.
Es recomendable hacer la resta con dos pares de números distintos (ej. $a_2 - a_1$ y luego $a_3 - a_2$) para comprobar que no te hayas equivocado en una resta básica.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica dos números consecutivos en la progresión (ojalá los más fáciles, sin fracciones o números grandes si es posible).
- Paso 2: Al número que está más a la derecha, réstale el número que está a su izquierda.
- Paso 3: Respeta la ley de los signos si el número de la izquierda es negativo (terminarás sumando).
- Paso 4: El resultado de esa resta es 'd'.
Ejemplos
1 Calcula la diferencia de la P.A: 5, 1, -3, -7...
- Tomamos a2=1 y a1=5. Restamos: 1 - 5 = -4.
- Comprobamos con a3=-3 y a2=1. Restamos: -3 - 1 = -4.
- Comprobamos con a4=-7 y a3=-3. Restamos: -7 - (-3) = -7 + 3 = -4.
- La diferencia d es -4.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Restar el número mayor menos el menor, sin importar su orden (ej. en 10, 8, 6, restar 10-8=2 en lugar de 8-10=-2)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar los paréntesis al restar un número negativo, transformando $5 - (-2)$ en $5 - 2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La diferencia común se calcula siempre restando a un término cualquiera su término inmediatamente anterior: $d = a_n - a_{n-1}$. Un error en el signo de 'd' arruinará todos los cálculos posteriores.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál de las siguientes fórmulas describe el cálculo correcto e infalible para hallar la diferencia '$d$' en una progresión aritmética? (v1)
La resta siempre es: (término actual) menos (término anterior).
Respuesta: A) $d = a_n - a_{n-1}$
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¿Cuál de las siguientes fórmulas describe el cálculo correcto e infalible para hallar la diferencia '$d$' en una progresión aritmética? (v2)
La resta siempre es: (término actual) menos (término anterior).
Respuesta: A) $d = a_n - a_{n-1}$
-
¿Cuál de las siguientes fórmulas describe el cálculo correcto e infalible para hallar la diferencia '$d$' en una progresión aritmética? (v3)
La resta siempre es: (término actual) menos (término anterior).
Respuesta: A) $d = a_n - a_{n-1}$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si en una progresión aritmética calculas $a_2 - a_1$ y obtienes $+4$, y luego calculas $a_3 - a_2$ y obtienes $-4$, ¿qué puedes concluir?
En una P.A. real, la diferencia debe ser siempre constante. Si varía, no es aritmética.
Respuesta: A) Que la lista de números no corresponde realmente a una progresión aritmética.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La diferencia de la progresión aritmética $-8, -12, -16, -20$ es igual a $4$?
Restamos a2 - a1: $-12 - (-8) = -12 + 8 = -4$. La diferencia es $-4$, no $+4$.
Respuesta: Falso
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¿La diferencia de la progresión aritmética $-8, -12, -16, -20$ es igual a $4$?
Restamos a2 - a1: $-12 - (-8) = -12 + 8 = -4$. La diferencia es $-4$, no $+4$.
Respuesta: Falso
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¿La diferencia de la progresión aritmética $-8, -12, -16, -20$ es igual a $4$?
Restamos a2 - a1: $-12 - (-8) = -12 + 8 = -4$. La diferencia es $-4$, no $+4$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una empresa anota sus ganancias (y pérdidas) mensuales en una lista que sigue una progresión aritmética estricta. El mes 1 tuvieron $\$2.500.000$, el mes 2 bajaron a $\$1.800.000$ y el mes 3 a $\$1.100.000$. ¿Cuál es el valor matemático de la diferencia común '$d$' que modela esta situación? (v1)
Término 2 menos Término 1: $1.800.000 - 2.500.000 = -700.000$.
Respuesta: A) $-700.000$
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Una empresa anota sus ganancias (y pérdidas) mensuales en una lista que sigue una progresión aritmética estricta. El mes 1 tuvieron $\$2.500.000$, el mes 2 bajaron a $\$1.800.000$ y el mes 3 a $\$1.100.000$. ¿Cuál es el valor matemático de la diferencia común '$d$' que modela esta situación? (v2)
Término 2 menos Término 1: $1.800.000 - 2.500.000 = -700.000$.
Respuesta: A) $-700.000$
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Una empresa anota sus ganancias (y pérdidas) mensuales en una lista que sigue una progresión aritmética estricta. El mes 1 tuvieron $\$2.500.000$, el mes 2 bajaron a $\$1.800.000$ y el mes 3 a $\$1.100.000$. ¿Cuál es el valor matemático de la diferencia común '$d$' que modela esta situación? (v3)
Término 2 menos Término 1: $1.800.000 - 2.500.000 = -700.000$.
Respuesta: A) $-700.000$