Reconocimiento del orden de los términos en una sucesión
Resumen inicial
El reconocimiento del orden de los términos en una sucesión distingue entre el índice ordinal de posición $n \in \mathbb{N}$ y el valor numérico del término $a_n \in \mathbb{R}$.
Explicación en palabras simples
En una sucesión es fundamental no confundir el lugar donde está un número con el valor de ese número:
- La posición ($n$) es el número de turno: $1^{\circ}, 2^{\circ}, 3^{\circ}, 4^{\circ}, \dots$
- El término ($a_n$) es el valor real que está en esa posición.
- Por ejemplo, en la sucesión de números primos $(2, 3, 5, 7, 11)$, el $4^{\circ}$ término ($n=4$) es el número $7$. Aquí $n=4$ es la posición y $a_4=7$ es el valor.
Explicación formal
Definición formal
Dada una sucesión $(a_n)_{n \ge 1}$, se establece una relación unívoca entre el índice de orden $n$ perteneciente al conjunto bien ordenado $(\mathbb{N}, \le)$ y el elemento imagen $a_n$:
$$(n, a_n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{R}$$
- Índice ordinal ($n$): Representa el orden cronológico o secuencial ($n = 1, 2, 3, \dots$).
- Valor del término ($a_n$): Elemento numérico asignado a la posición $n$.
Distinción fundamental: Posición vs Valor
- $n$ siempre es un número entero positivo ($n \in \{1, 2, 3, \dots\}$).
- $a_n$ puede ser cualquier número real: negativo ($a_n < 0$), decimal, nulo ($a_n = 0$) o fraccionario.
Síntesis didáctica
- Posición ordinal: $n \in \mathbb{N}$.
- Valor del término: $a_n \in \mathbb{R}$.
La alternativa correcta es 'Un número entero positivo ($n \in \mathbb{N}$)'. La posición de un elemento en una lista corresponde a un entero positivo ordinal ($1, 2, 3, \dots$).
Definiciones clave
- Índice ordinal ($n$): Número natural que cuantifica el lugar que ocupa un término dentro de la lista.
- Primer término ($a_1$): Elemento ubicado en la posición inicial $n=1$.
- Término $k$-ésimo ($a_k$): Valor ubicado exactamente en la posición $n=k$.
Propiedades y relaciones importantes
- Invarianza posicional: El valor del término $a_n$ no modifica su posición $n$; por ejemplo, $a_1 = 100$ sigue siendo el primer término.
- Sucesiones monótonas: Si $a_{n+1} > a_n$ para todo $n$, la sucesión es estrictamente creciente.
Ejemplo guiado
En la sucesión $(-4, -1, 2, 5, 8, 11)$, identifica la posición del término $5$, el valor del término en la posición $n=2$ y el primer término.
- Paso 1: Listamos las posiciones ordenadas: $a_1 = -4, a_2 = -1, a_3 = 2, a_4 = 5, a_5 = 8, a_6 = 11$.
- Paso 2: El valor $5$ se encuentra en el cuarto lugar, por lo tanto su posición es **$n = 4$**.
- Paso 3: El término en la posición $n = 2$ corresponde a **$a_2 = -1$**.
- Paso 4: El primer término ($n=1$) es **$a_1 = -4$**.
La alternativa correcta es '$40$, que ocupa el cuarto lugar de la lista'. En $n=4$, el elemento correspondiente es $a_4 = 40$.
Procedimiento
- Paso 1: Enumerar correlativamente cada elemento de la secuencia comenzando desde $n=1$.
- Paso 2: Asociar a cada posición su valor numérico correspondiente ($a_1, a_2, \dots, a_n$).
- Paso 3: Distinguir con claridad si la pregunta solicita el índice $n$ o el valor $a_n$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Confundir el número de posición $n$ con el valor numérico $a_n$ (ej: creer que en $a_3 = 15$, la posición es 15). Cómo corregirlo: Recordar que $n$ es el lugar ordinal y $a_n$ es el número que está en ese lugar.
- Error 2: Creer que el primer término $a_1$ siempre debe valer 1. Cómo corregirlo: El primer término puede tomar cualquier valor real (ej: $a_1 = -20$ o $a_1 = 0,5$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $a_1 = 7, a_2 = 14, a_3 = 21$.
- $a_1=100, a_2=90, a_3=80, a_4=70 \implies n=4$.
- El codominio de la sucesión es $\mathbb{R}$.
- La posición $n$ y el valor $a_n$ son entidades matemáticas distintas.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Reconocer y distinguir la posición ordinal $n$ del valor numérico del término $a_n$ en sucesiones.
Indexar ordenadamente cada elemento mediante $(n, a_n)$ determinando el lugar relativo de cada término en la secuencia.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En el estudio de las sucesiones, la letra minúscula '$n$' se utiliza habitualmente para representar: (v1)
La 'n' indica el índice u orden (1°, 2°, 3°...).
Respuesta: A) La posición o lugar que ocupa un término dentro de la sucesión.
-
En el estudio de las sucesiones, la letra minúscula '$n$' se utiliza habitualmente para representar: (v2)
La 'n' indica el índice u orden (1°, 2°, 3°...).
Respuesta: A) La posición o lugar que ocupa un término dentro de la sucesión.
-
En el estudio de las sucesiones, la letra minúscula '$n$' se utiliza habitualmente para representar: (v3)
La 'n' indica el índice u orden (1°, 2°, 3°...).
Respuesta: A) La posición o lugar que ocupa un término dentro de la sucesión.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Dado que indican posiciones en una fila, los valores que puede tomar '$n$' en una sucesión tradicional siempre pertenecen al conjunto de los números:
Contamos posiciones como 1ro, 2do, 3ro... sin decimales ni negativos.
Respuesta: A) Naturales ($1, 2, 3\dots$).
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿En la sucesión $5, 10, 15, 20, 25$, el número $20$ ocupa la posición $n=4$?
Contando desde la izquierda, el 20 es el cuarto elemento.
Respuesta: Verdadero
-
¿En la sucesión $5, 10, 15, 20, 25$, el número $20$ ocupa la posición $n=4$?
Contando desde la izquierda, el 20 es el cuarto elemento.
Respuesta: Verdadero
-
¿En la sucesión $5, 10, 15, 20, 25$, el número $20$ ocupa la posición $n=4$?
Contando desde la izquierda, el 20 es el cuarto elemento.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Dada la siguiente sucesión de números impares: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\dots$ Si un estudiante afirma que 'el número $11$ es $n=6$', ¿qué significa exactamente esta afirmación? (v2)
La letra n indica la posición. $n=6$ significa sexta posición. El sexto elemento es el 11.
Respuesta: A) Que el valor $11$ ocupa el sexto lugar en la lista ordenada.
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Dada la siguiente sucesión de números impares: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\dots$ Si un estudiante afirma que 'el número $11$ es $n=6$', ¿qué significa exactamente esta afirmación? (v3)
La letra n indica la posición. $n=6$ significa sexta posición. El sexto elemento es el 11.
Respuesta: A) Que el valor $11$ ocupa el sexto lugar en la lista ordenada.
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Dada la siguiente sucesión de números impares: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\dots$ Si un estudiante afirma que 'el número $11$ es $n=6$', ¿qué significa exactamente esta afirmación? (v1)
La letra n indica la posición. $n=6$ significa sexta posición. El sexto elemento es el 11.
Respuesta: A) Que el valor $11$ ocupa el sexto lugar en la lista ordenada.