Definición de sucesión numérica como lista ordenada de términos

M1 — PAES obligatoria Básica

Resumen inicial

Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números reales $(a_n)_{n \ge 1}$ generado por una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$: $f(n) = a_n$.

Explicación en palabras simples

Una sucesión numérica es una lista infinita y ordenada de números que siguen una regla fija:
$$2, 4, 6, 8, 10, 12, \dots$$
- Cada número de la lista se llama término.
- El lugar que ocupa cada término es su posición ($n = 1, 2, 3, \dots$).
- Por ejemplo, en la sucesión anterior, el primer término ($n=1$) es $2$, el segundo ($n=2$) es $4$, y el quinto término ($n=5$) es $10$. El orden de los números importa de forma absoluta.

Definición de sucesión numérica

Explicación formal

Definición formal

Una sucesión de números reales es una aplicación o función $a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ que asigna a cada número natural $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$ un único número real $a_n$:
$$n \longmapsto a(n) = a_n \quad (a_n \in \mathbb{R})$$

Componentes de una sucesión

  • Dominio: Conjunto de los números enteros positivos $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$.
  • Codominio / Recorrido: Subconjunto de los números reales $\mathbb{R}$.
  • Término $n$-ésimo ($a_n$): Imagen del número natural $n$ mediante la función $a$.
  • Notación canónica: $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} = \{a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots\}$.

Condición de orden estricto

Dado que los elementos del dominio $\mathbb{N}$ están estrictamente ordenados ($1 < 2 < 3 < \dots$), los términos $a_n$ heredan una posición ordinal fija e inalterable. Dos sucesiones con los mismos elementos en distinto orden representan sucesiones numéricas matemáticamente diferentes.

Síntesis didáctica

  • Concepto: Función de dominio $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$.
  • Representación: Lista ordenada $\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\}$.
Comprueba tu avance ¿Cuál es el dominio formal de cualquier sucesión de números reales?

Definiciones clave

  • Sucesión numérica: Función $a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ que genera una secuencia ordenada de números reales.
  • Término de una sucesión ($a_n$): Cada elemento numérico individual perteneciente al recorrido de la sucesión.
  • Posición o índice ($n$): Número natural que indica la ubicación exacta de un término en la secuencia.

Propiedades y relaciones importantes

  • Biyección posicional: A cada entero positivo $n$ le corresponde un único valor $a_n$ en la sucesión.
  • Distinción entre término y conjunto: Un conjunto $\{2, 4\}$ ignora el orden y las repeticiones; la sucesión $(2, 4, 2, 4, \dots)$ conserva el orden y la repetición periódica.

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

Dada la sucesión definida por la regla de correspondencia $a_n = 3n - 1$, determina sus cuatro primeros términos y su posición ordinal.

  • Paso 1: Para la posición $n=1$, sustituimos en la fórmula: $a_1 = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2$.
  • Paso 2: Para la posición $n=2$, sustituimos: $a_2 = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$.
  • Paso 3: Para la posición $n=3$, sustituimos: $a_3 = 3(3) - 1 = 9 - 1 = 8$.
  • Paso 4: Para la posición $n=4$, sustituimos: $a_4 = 3(4) - 1 = 12 - 1 = 11$. Los cuatro primeros términos son **$2, 5, 8, 11$**.
Comprueba tu avance Si los tres primeros términos de una sucesión son $3, 6, 9$, ¿cuál es el valor del término en la posición $n=3$?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar la regla de correspondencia o la secuencia ordenada de términos.
  • Paso 2: Asignar a cada elemento su posición entera positiva $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$.
  • Paso 3: Evaluar la regla para $n=1, 2, 3, \dots$ para generar los términos ordenados.
  • Paso 4: Escribir la sucesión entre paréntesis respetando la secuencia exacta.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Alterar el orden de los elementos creyendo que una sucesión es un conjunto no ordenado. Cómo corregirlo: En una sucesión el orden es fundamental: cambiar el orden genera una sucesión completamente diferente.
  • Error 2: Iniciar la posición con $n=0$ por defecto. Cómo corregirlo: Por convención estándar en matemáticas, las posiciones de una sucesión comienzan en $n=1$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿La lista $2, 4, 6, 8, 10$ corresponde a los primeros 5 términos de la sucesión $a_n = 2n$?
2 ¿La secuencia $5, 5, 5, 5, \dots$ es una sucesión válida donde $a_n = 5$ para todo $n \ge 1$?
3 ¿La fórmula $a_n = (-1)^n$ genera la sucesión $-1, 1, -1, 1, \dots$?
4 ¿La fórmula $a_n = 2n - 1$ genera la sucesión $1, 3, 5, 7, \dots$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La numeración de los subíndices de una sucesión inicia en el número cero por defecto."
"El conjunto de todos los números reales $\mathbb{R}$ constituye el dominio de entrada de una sucesión."
"Las sucesiones numéricas carecen de una regla de correspondencia funcional entre $n$ y $a_n$."
"La posición de los términos dentro de una sucesión se puede alterar arbitrariamente sin modificar la sucesión."
"El orden de los términos en una sucesión es estricto e inalterable debido al orden natural del dominio $\mathbb{N}$."
"Una sucesión es una función $a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ que asigna a cada número natural $n$ un término real $a_n$."
"Los términos repetidos en una sucesión deben eliminarse como si se tratara de un conjunto."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Definir e interpretar una sucesión numérica como una función discreta ordenada sobre los números naturales.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Asignar a cada posición $n \in \mathbb{N}$ su correspondiente término real $a_n = f(n)$ respetando el orden ordinal estricto $\{a_1, a_2, a_3, \dots\}$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Números y Álgebra / PAES Matemática.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. ¿Cuál es la característica principal que diferencia a una sucesión de un simple conjunto matemático de números? (v1)

  2. ¿Cuál es la característica principal que diferencia a una sucesión de un simple conjunto matemático de números? (v3)

  3. ¿Cuál es la característica principal que diferencia a una sucesión de un simple conjunto matemático de números? (v2)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Los números individuales que forman parte de una sucesión numérica reciben el nombre matemático de:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿La sucesión formada por los números $2, 4, 6$ es considerada exactamente la misma sucesión que $6, 4, 2$?

  2. ¿La sucesión formada por los números $2, 4, 6$ es considerada exactamente la misma sucesión que $6, 4, 2$?

  3. ¿La sucesión formada por los números $2, 4, 6$ es considerada exactamente la misma sucesión que $6, 4, 2$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un estudiante anota las edades de sus $4$ hermanos desde el menor hasta el mayor, obteniendo la lista: $5, 8, 12, 15$. Su profesor le pide formar una nueva sucesión invirtiendo el orden. ¿Qué afirmación es correcta respecto a estas dos listas? (v2)

  2. Un estudiante anota las edades de sus $4$ hermanos desde el menor hasta el mayor, obteniendo la lista: $5, 8, 12, 15$. Su profesor le pide formar una nueva sucesión invirtiendo el orden. ¿Qué afirmación es correcta respecto a estas dos listas? (v1)

  3. Un estudiante anota las edades de sus $4$ hermanos desde el menor hasta el mayor, obteniendo la lista: $5, 8, 12, 15$. Su profesor le pide formar una nueva sucesión invirtiendo el orden. ¿Qué afirmación es correcta respecto a estas dos listas? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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