Elección entre modelo aritmético y geométrico según el contexto
Justificar la elección correcta entre un modelo aritmético o uno geométrico para representar un problema real.
Introducción
Imagina que eres un analista financiero. Tienes que proyectar las ganancias de una empresa. Si usas la herramienta equivocada, predecirás la quiebra cuando en realidad se volverán millonarios. Elegir el modelo es el 90% del trabajo.
Explicación
A la hora de leer un problema complejo, subraya las palabras que denotan cómo avanza el tiempo:
- Palabras clave para Modelo Aritmético: 'Bono fijo', 'cuota mensual plana', 'caída de $5$ grados por hora', 'depreciación lineal'.
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Justificación: La diferencia 'd' entre periodos es un valor constante independiente del total acumulado.
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Palabras clave para Modelo Geométrico: 'Interés compuesto', 'crecimiento poblacional', 'depreciación porcentual', 'se divide a la mitad', 'tasa de inflación'.
- Justificación: El aumento o disminución se calcula sobre el nuevo saldo de cada periodo, creando un efecto de bola de nieve (razón 'r').
Nota PAES: Te presentarán dos opciones de inversión o cobro y te preguntarán cuál conviene más a largo plazo. Recuerda que la progresión geométrica (si $r > 1$) SIEMPRE terminará superando a la aritmética, sin importar la ventaja inicial que tenga la aritmética.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica qué está cambiando en la historia.
- Paso 2: Evalúa si el cambio en el paso 2 depende del tamaño del paso 1 (Ej: ganar el 10% de 100 no es lo mismo que el 10% de 1000). Si depende del tamaño previo, es Geométrico.
- Paso 3: Si el cambio siempre es el mismo número rígido (Ej: ganar siempre $1000), es Aritmético.
Ejemplos
1 Plan A: Pagas $10.000 más $50 por cada minuto. Plan B: El primer minuto cuesta $10 y cada minuto extra cuesta el doble del anterior. ¿Qué modelos son?
- Plan A: Suma $50 por unidad. Es Aditivo -> Modelo Aritmético.
- Plan B: Multiplica por 2 por unidad ('el doble'). Es Multiplicativo -> Modelo Geométrico.
- Si hablas 10 minutos, el Plan B te arruinará exponencialmente.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Elegir el modelo basándose en los números iniciales (Ej: si los números son grandes, creer que es geométrica)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que el 'interés simple' es Aritmético, mientras que el 'interés compuesto' es Geométrico."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La elección del modelo depende exclusivamente de la **naturaleza de la tasa de cambio**. Si el problema describe cuotas fijas o aportes absolutos (peso por peso), eliges el **Modelo Aritmético**. Si describe tasas de interés, replicación biológica o inflación, eliges el **Modelo Geométrico**.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál de las siguientes situaciones financieras exige rigurosamente el uso de un modelo matemático Geométrico en lugar de uno Aritmético para proyectar su valor a futuro? (v2)
El interés compuesto se calcula sobre el capital acumulado anterior, generando un efecto multiplicativo (Geométrico).
Respuesta: A) Una inversión en un depósito a plazo con interés compuesto anual.
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¿Cuál de las siguientes situaciones financieras exige rigurosamente el uso de un modelo matemático Geométrico en lugar de uno Aritmético para proyectar su valor a futuro? (v3)
El interés compuesto se calcula sobre el capital acumulado anterior, generando un efecto multiplicativo (Geométrico).
Respuesta: A) Una inversión en un depósito a plazo con interés compuesto anual.
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¿Cuál de las siguientes situaciones financieras exige rigurosamente el uso de un modelo matemático Geométrico en lugar de uno Aritmético para proyectar su valor a futuro? (v1)
El interés compuesto se calcula sobre el capital acumulado anterior, generando un efecto multiplicativo (Geométrico).
Respuesta: A) Una inversión en un depósito a plazo con interés compuesto anual.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Al modelar la pérdida de temperatura de un café recién servido que se enfría según la Ley de Enfriamiento de Newton (su temperatura decae un porcentaje fijo de la diferencia térmica cada minuto), la elección teórica correcta recae sobre:
Al decaer un 'porcentaje fijo' respecto a la cantidad anterior, es una razón de decaimiento multiplicativa.
Respuesta: A) Un Modelo Geométrico (o exponencial).
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si un contrato de arriendo estipula que el valor a pagar subirá en $\$20.000$ fijos cada mes de enero, este contrato sigue estrictamente un modelo de Progresión Aritmética?
Se suma una constante absoluta (d = 20.000). Es un modelo Aditivo, es decir, Aritmético.
Respuesta: Verdadero
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¿Si un contrato de arriendo estipula que el valor a pagar subirá en $\$20.000$ fijos cada mes de enero, este contrato sigue estrictamente un modelo de Progresión Aritmética?
Se suma una constante absoluta (d = 20.000). Es un modelo Aditivo, es decir, Aritmético.
Respuesta: Verdadero
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¿Si un contrato de arriendo estipula que el valor a pagar subirá en $\$20.000$ fijos cada mes de enero, este contrato sigue estrictamente un modelo de Progresión Aritmética?
Se suma una constante absoluta (d = 20.000). Es un modelo Aditivo, es decir, Aritmético.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una empresa minera contrata a un ingeniero para evaluar dos maquinarias (Opción X y Opción Y). La Opción X pierde $\$500.000$ de valor de reventa cada año de uso continuado. La Opción Y pierde el $10\%$ de su valor de reventa del año inmediatamente anterior. ¿Qué recomendación técnica y modelamiento es correcto presentarle a la gerencia? (v2)
X resta un monto fijo ('d' negativo = Aritmética). Y resta un porcentaje (multiplica por 0.90 = Geométrica).
Respuesta: A) La Opción X se modela con Progresión Aritmética y la Opción Y con Progresión Geométrica.
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Una empresa minera contrata a un ingeniero para evaluar dos maquinarias (Opción X y Opción Y). La Opción X pierde $\$500.000$ de valor de reventa cada año de uso continuado. La Opción Y pierde el $10\%$ de su valor de reventa del año inmediatamente anterior. ¿Qué recomendación técnica y modelamiento es correcto presentarle a la gerencia? (v3)
X resta un monto fijo ('d' negativo = Aritmética). Y resta un porcentaje (multiplica por 0.90 = Geométrica).
Respuesta: A) La Opción X se modela con Progresión Aritmética y la Opción Y con Progresión Geométrica.
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Una empresa minera contrata a un ingeniero para evaluar dos maquinarias (Opción X y Opción Y). La Opción X pierde $\$500.000$ de valor de reventa cada año de uso continuado. La Opción Y pierde el $10\%$ de su valor de reventa del año inmediatamente anterior. ¿Qué recomendación técnica y modelamiento es correcto presentarle a la gerencia? (v1)
X resta un monto fijo ('d' negativo = Aritmética). Y resta un porcentaje (multiplica por 0.90 = Geométrica).
Respuesta: A) La Opción X se modela con Progresión Aritmética y la Opción Y con Progresión Geométrica.