Interpolación de medios aritméticos entre dos términos
Interpolar (insertar) medios aritméticos (números faltantes) entre dos extremos conocidos para completar una Progresión Aritmética.
Introducción
Alguien borró los números del medio en una lista. Tienes el primero y el último, y sabes que era una progresión aritmética. Tu misión es construir el puente de escalones perfectos entre esos dos extremos. A esto le llamamos 'Interpolar'.
Explicación
Visualiza el problema:
Te dan el número 5 y el número 17. Te piden interpolar 3 números en el medio para que formen una P.A.
- La lista se vería así: $5, \_ , \_ , \_ , 17$.
- Cuentas los saltos: Para pasar del 5 al 17 a través de 3 espacios vacíos, debes dar 4 saltos (siempre es $k+1$ saltos, donde '$k$' es la cantidad de huecos).
Cálculo de la diferencia 'd':
1. Distancia total = $17 - 5 = 12$.
2. Cantidad de saltos = $3 + 1 = 4$.
3. Tamaño de cada salto ($d$) = Distancia Total / Saltos = $12 / 4 = 3$.
Llenamos los huecos sumando de a 3:
- $5 + 3 = 8$
- $8 + 3 = 11$
- $11 + 3 = 14$
- ¡Y comprobamos! $14 + 3 = 17$. El puente encaja perfectamente. Los 'medios aritméticos' son $8, 11$ y $14$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Resta el extremo final menos el extremo inicial ($B - A$).
- Paso 2: A la cantidad de números a interpolar ($k$), súmale 1 ($k + 1$).
- Paso 3: Divide el resultado del Paso 1 entre el resultado del Paso 2. Esta es tu diferencia 'd'.
- Paso 4: Suma 'd' repetidamente partiendo desde 'A'.
Ejemplos
1 Interpolar 4 medios aritméticos entre 10 y 40.
- A = 10, B = 40. k = 4.
- Distancia total = 40 - 10 = 30.
- Número de saltos = 4 + 1 = 5.
- d = 30 / 5 = 6.
- Interpolar: 10 (+6)-> 16 (+6)-> 22 (+6)-> 28 (+6)-> 34 (+6)-> 40.
- Los medios son: 16, 22, 28, 34.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Dividir la distancia total simplemente por '$k$' (la cantidad de huecos) en lugar de '$k+1$' (los saltos). ¡Si hay 3 huecos, hay 4 espacios/saltos que los conectan!"
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundirse y restar al revés ($A - B$) obteniendo una diferencia con el signo cambiado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para interpolar '$k$' medios aritméticos entre un número '$A$' y un número '$B$', debes calcular la diferencia constante '$d$' usando la fórmula de los saltos: **$d = \frac{B - A}{k + 1}$**. Luego, vas sumando '$d$' desde '$A$' hasta llegar a '$B$'.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al usar la fórmula $d = \frac{B - A}{k + 1}$ para interpolar medios aritméticos, ¿qué representa físicamente el valor del denominador '$(k + 1)$' dentro del modelo de la progresión? (v3)
Si metes 'k' números entre dos extremos, generas 'k+1' espacios o transiciones (saltos) para cruzar de lado a lado.
Respuesta: A) Representa la cantidad total de 'saltos' o intervalos que existen entre el primer término y el último.
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Al usar la fórmula $d = \frac{B - A}{k + 1}$ para interpolar medios aritméticos, ¿qué representa físicamente el valor del denominador '$(k + 1)$' dentro del modelo de la progresión? (v2)
Si metes 'k' números entre dos extremos, generas 'k+1' espacios o transiciones (saltos) para cruzar de lado a lado.
Respuesta: A) Representa la cantidad total de 'saltos' o intervalos que existen entre el primer término y el último.
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Al usar la fórmula $d = \frac{B - A}{k + 1}$ para interpolar medios aritméticos, ¿qué representa físicamente el valor del denominador '$(k + 1)$' dentro del modelo de la progresión? (v1)
Si metes 'k' números entre dos extremos, generas 'k+1' espacios o transiciones (saltos) para cruzar de lado a lado.
Respuesta: A) Representa la cantidad total de 'saltos' o intervalos que existen entre el primer término y el último.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si te piden interpolar $5$ medios aritméticos entre los números $12$ y $60$, la ecuación correcta para calcular la diferencia constante '$d$' es:
Es $(B - A) / (k + 1)$. Si $k=5$, el denominador es $5+1=6$.
Respuesta: A) $d = \frac{60 - 12}{6}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si interpolamos un único ($1$) medio aritmético entre los números $10$ y $20$, ese número central será exactamente $15$?
k=1. Saltos = 2. d = (20-10)/2 = 10/2 = 5. Medio = 10+5 = 15. Es el promedio simple.
Respuesta: Verdadero
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¿Si interpolamos un único ($1$) medio aritmético entre los números $10$ y $20$, ese número central será exactamente $15$?
k=1. Saltos = 2. d = (20-10)/2 = 10/2 = 5. Medio = 10+5 = 15. Es el promedio simple.
Respuesta: Verdadero
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¿Si interpolamos un único ($1$) medio aritmético entre los números $10$ y $20$, ese número central será exactamente $15$?
k=1. Saltos = 2. d = (20-10)/2 = 10/2 = 5. Medio = 10+5 = 15. Es el promedio simple.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un arquitecto diseña una escalera recta. El primer peldaño está a $15$ cm del suelo y la plataforma final descansa a $135$ cm del suelo. Si el arquitecto necesita colocar $3$ peldaños intermedios entre el primero y la plataforma, asegurando que todos tengan la misma altura (diferencia constante), ¿a qué altura exacta respecto del suelo debe estar el segundo peldaño de la escalera (el primero de los intermedios)? (v1)
Interpolar k=3 entre A=15 y B=135. Saltos = 4. d = (135 - 15) / 4 = 120 / 4 = 30 cm. El 1er intermedio estará a 15 + 30 = 45 cm.
Respuesta: A) $45$ cm.
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Un arquitecto diseña una escalera recta. El primer peldaño está a $15$ cm del suelo y la plataforma final descansa a $135$ cm del suelo. Si el arquitecto necesita colocar $3$ peldaños intermedios entre el primero y la plataforma, asegurando que todos tengan la misma altura (diferencia constante), ¿a qué altura exacta respecto del suelo debe estar el segundo peldaño de la escalera (el primero de los intermedios)? (v2)
Interpolar k=3 entre A=15 y B=135. Saltos = 4. d = (135 - 15) / 4 = 120 / 4 = 30 cm. El 1er intermedio estará a 15 + 30 = 45 cm.
Respuesta: A) $45$ cm.
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Un arquitecto diseña una escalera recta. El primer peldaño está a $15$ cm del suelo y la plataforma final descansa a $135$ cm del suelo. Si el arquitecto necesita colocar $3$ peldaños intermedios entre el primero y la plataforma, asegurando que todos tengan la misma altura (diferencia constante), ¿a qué altura exacta respecto del suelo debe estar el segundo peldaño de la escalera (el primero de los intermedios)? (v3)
Interpolar k=3 entre A=15 y B=135. Saltos = 4. d = (135 - 15) / 4 = 120 / 4 = 30 cm. El 1er intermedio estará a 15 + 30 = 45 cm.
Respuesta: A) $45$ cm.