Diferencia entre cambio aditivo y cambio multiplicativo en sucesiones
Diferenciar entre situaciones reales que presentan cambio aditivo (lineal) y cambio multiplicativo (exponencial).
Introducción
¿Tu sueldo crece de la misma manera que una infección viral? Afortunadamente no (o lamentablemente, dependiendo cómo lo mires). El universo matemático tiene dos engranajes principales: el que suma y el que multiplica.
Explicación
Lee atentamente los enunciados. Tienes que ser un detective de palabras clave:
Señales de Cambio Aditivo (Usa Progresión Aritmética):
- 'Aumenta en 5 litros por minuto'
- 'Suma $\$500$ cada día'
- 'Pierde 3 puntos por cada error'
- Características: La gráfica de este crecimiento es una línea recta (Función Lineal).
Señales de Cambio Multiplicativo (Usa Progresión Geométrica):
- 'Aumenta un $5\%$ mensual' (Porcentajes = Siempre P.G.)
- 'Se duplica, se triplica, se reduce a la mitad'
- 'Por cada hora, crece a un factor de 1.5'
- Características: La gráfica es una curva que despega violentamente o cae en picada (Función Exponencial).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Busca la palabra que describe cómo ocurre el cambio en el tiempo.
- Paso 2: Si el cambio se expresa en unidades directas (metros, pesos, litros), el modelo es Aditivo (P.A.).
- Paso 3: Si el cambio se expresa en multiplicadores ('el doble') o porcentajes ('15%'), el modelo es Multiplicativo (P.G.).
Ejemplos
1 Contrato A: Sueldo inicial 1 millón, sube $50.000 cada año. Contrato B: Sueldo inicial 1 millón, sube 5% cada año. Clasifícalos.
- Contrato A: Sube una cantidad en pesos directos (50.000). Es un cambio Aditivo (Progresión Aritmética).
- Contrato B: Sube en base a un porcentaje (5%). Es un cambio Multiplicativo (Progresión Geométrica).
- Al principio son parecidos, pero a largo plazo el Contrato B ganará por goleada exponencial.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir un porcentaje fijo con un cambio aditivo (Ej: 'Si sube 10% cada año, es una suma constante'. No, porque ese 10% se calcula sobre montos cada vez más grandes, es multiplicativo)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que si la cantidad restada es muy grande, debe ser exponencial."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El **cambio aditivo** (P.A.) suma o resta cantidades fijas (ej: $+ $\$1000$ diarios$). El **cambio multiplicativo** (P.G.) multiplica por factores fijos, generalmente descritos como porcentajes o palabras de proporción (ej: aumenta un $10\%$, o se *triplica*).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Desde el punto de vista del modelamiento matemático, ¿cuál de las siguientes expresiones verbales describe inequívocamente un proceso de crecimiento de naturaleza 'multiplicativa' (geométrica)? (v2)
Los porcentajes implican multiplicar el total anterior por un factor (ej: 1.03), por lo que definen siempre un cambio multiplicativo/exponencial.
Respuesta: A) 'El valor de la acción bursátil aumenta en un $3\%$ al finalizar cada día hábil'.
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Desde el punto de vista del modelamiento matemático, ¿cuál de las siguientes expresiones verbales describe inequívocamente un proceso de crecimiento de naturaleza 'multiplicativa' (geométrica)? (v1)
Los porcentajes implican multiplicar el total anterior por un factor (ej: 1.03), por lo que definen siempre un cambio multiplicativo/exponencial.
Respuesta: A) 'El valor de la acción bursátil aumenta en un $3\%$ al finalizar cada día hábil'.
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Desde el punto de vista del modelamiento matemático, ¿cuál de las siguientes expresiones verbales describe inequívocamente un proceso de crecimiento de naturaleza 'multiplicativa' (geométrica)? (v3)
Los porcentajes implican multiplicar el total anterior por un factor (ej: 1.03), por lo que definen siempre un cambio multiplicativo/exponencial.
Respuesta: A) 'El valor de la acción bursátil aumenta en un $3\%$ al finalizar cada día hábil'.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si en un experimento de física se describe que 'la temperatura del motor aumenta a razón de $5°C$ constantes por cada minuto en funcionamiento', el modelo matemático pertinente a usar es:
Añadir una cantidad física absoluta (como 5 grados) de forma constante es el sello distintivo del cambio aditivo.
Respuesta: A) Un modelo Aditivo (Progresión Aritmética).
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Un préstamo bancario donde la deuda crece aplicando un 'interés del $4\%$ compuesto mensual' se modela utilizando una Progresión Aritmética?
El interés compuesto es el ejemplo clásico de crecimiento porcentual continuo, el cual es de naturaleza multiplicativa (Geométrica), no aritmética.
Respuesta: Falso
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¿Un préstamo bancario donde la deuda crece aplicando un 'interés del $4\%$ compuesto mensual' se modela utilizando una Progresión Aritmética?
El interés compuesto es el ejemplo clásico de crecimiento porcentual continuo, el cual es de naturaleza multiplicativa (Geométrica), no aritmética.
Respuesta: Falso
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¿Un préstamo bancario donde la deuda crece aplicando un 'interés del $4\%$ compuesto mensual' se modela utilizando una Progresión Aritmética?
El interés compuesto es el ejemplo clásico de crecimiento porcentual continuo, el cual es de naturaleza multiplicativa (Geométrica), no aritmética.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Dos ciudades, X e Y, buscan predecir su crisis hídrica para el año $2030$. Los informes hidrológicos señalan lo siguiente:
- Informe Ciudad X: 'Las reservas de agua dulce disminuyen en un $10\%$ respecto al año inmediatamente anterior'.
- Informe Ciudad Y: 'Las reservas de agua dulce disminuyen en $1.500.000$ de litros todos los años'.
¿Qué tipo de progresiones matemáticas modelan el comportamiento de las reservas en la Ciudad X y la Ciudad Y, respectivamente? (v1)Ciudad X usa porcentajes (cambio multiplicativo = Geométrica). Ciudad Y usa resta directa de litros fijos (cambio aditivo = Aritmética).
Respuesta: A) Ciudad X: Progresión Geométrica / Ciudad Y: Progresión Aritmética.
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Dos ciudades, X e Y, buscan predecir su crisis hídrica para el año $2030$. Los informes hidrológicos señalan lo siguiente:
- Informe Ciudad X: 'Las reservas de agua dulce disminuyen en un $10\%$ respecto al año inmediatamente anterior'.
- Informe Ciudad Y: 'Las reservas de agua dulce disminuyen en $1.500.000$ de litros todos los años'.
¿Qué tipo de progresiones matemáticas modelan el comportamiento de las reservas en la Ciudad X y la Ciudad Y, respectivamente? (v2)Ciudad X usa porcentajes (cambio multiplicativo = Geométrica). Ciudad Y usa resta directa de litros fijos (cambio aditivo = Aritmética).
Respuesta: A) Ciudad X: Progresión Geométrica / Ciudad Y: Progresión Aritmética.
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Dos ciudades, X e Y, buscan predecir su crisis hídrica para el año $2030$. Los informes hidrológicos señalan lo siguiente:
- Informe Ciudad X: 'Las reservas de agua dulce disminuyen en un $10\%$ respecto al año inmediatamente anterior'.
- Informe Ciudad Y: 'Las reservas de agua dulce disminuyen en $1.500.000$ de litros todos los años'.
¿Qué tipo de progresiones matemáticas modelan el comportamiento de las reservas en la Ciudad X y la Ciudad Y, respectivamente? (v3)Ciudad X usa porcentajes (cambio multiplicativo = Geométrica). Ciudad Y usa resta directa de litros fijos (cambio aditivo = Aritmética).
Respuesta: A) Ciudad X: Progresión Geométrica / Ciudad Y: Progresión Aritmética.