Distinción entre progresión aritmética y progresión geométrica
Distinguir entre una progresión aritmética (P.A.) y una geométrica (P.G.) analizando el comportamiento de sus términos.
Introducción
En el examen PAES, casi nunca te dicen 'hola, soy una progresión aritmética'. Te entregan un problema con números crudos. Si te equivocas al clasificarlos, aplicarás la fórmula equivocada. Es vital saber qué bestia enfrentamos.
Explicación
El test de paternidad de las sucesiones:
Te dan la lista: $3, 12, 21, 30$
- Prueba A (Restar): $12-3=9$. $21-12=9$. $30-21=9$.
- ¡Bingo! Pasa la prueba aritmética. Su diferencia es $d=9$.
Te dan la lista: $3, 12, 48, 192$
- Prueba A (Restar): $12-3=9$. $48-12=36$.
- ¡Fallo! No es aritmética. Vamos al plan B.
- Prueba B (Dividir): $12/3=4$. $48/12=4$. $192/48=4$.
- ¡Bingo! Es una geométrica con razón $r=4$.
Cuidado con las 'trampas PAES': Secuencias como $1, 4, 9, 16, 25$. Si haces la prueba de restar da $3, 5, 7, 9$. Si haces la de dividir da $4, 2.25, 1.77$. ¡No pasa ninguna! No te asustes, no todo en la vida es P.A. o P.G. (estas son los cuadrados perfectos).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Toma el 2do y 1er término. Réstalos. Luego divide el 2do entre el 1ro.
- Paso 2: Haz lo mismo con el 3er y 2do término.
- Paso 3: Si las RESTAS dieron igual, usa fórmulas de P.A.
- Paso 4: Si las DIVISIONES dieron igual, usa fórmulas de P.G.
- Paso 5: Si ninguna da igual, detente, el problema se resuelve con otra lógica.
Ejemplos
1 Tus cuotas a pagar son: mes 1 = $500, mes 2 = $550, mes 3 = $605, mes 4 = $665.5. ¿Qué tipo de sucesión es?
- Prueba A: 550 - 500 = 50. 605 - 550 = 55. Fallo, no es Aritmética.
- Prueba B: 550 / 500 = 1.1. 605 / 550 = 1.1. 665.5 / 605 = 1.1.
- Conclusión: Es Geométrica (aumenta un 10% mensual).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Detener la verificación en el segundo término asumiendo que el patrón se mantiene (Ej: $2, 4, 8, 10$ parece geométrica al principio porque $4/2=2$ y $8/4=2$, pero el 10 la arruina)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir P.A. con P.G. al trabajar con fracciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si la diferencia (resta) entre términos vecinos es constante, es una **Progresión Aritmética (P.A.)**. Si el cociente (división) entre términos vecinos es constante, es una **Progresión Geométrica (P.G.)**.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es la prueba analítica definitiva para confirmar que una sucesión de números pertenece exclusivamente a la familia de las Progresiones Aritméticas (P.A.) y descartar que sea Geométrica? (v2)
Restas iguales = P.A. (Diferencia común). Divisiones iguales = P.G. (Razón).
Respuesta: A) Comprobar que la resta (diferencia) entre cualquier término y su predecesor es un número constante a lo largo de toda la secuencia.
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¿Cuál es la prueba analítica definitiva para confirmar que una sucesión de números pertenece exclusivamente a la familia de las Progresiones Aritméticas (P.A.) y descartar que sea Geométrica? (v3)
Restas iguales = P.A. (Diferencia común). Divisiones iguales = P.G. (Razón).
Respuesta: A) Comprobar que la resta (diferencia) entre cualquier término y su predecesor es un número constante a lo largo de toda la secuencia.
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¿Cuál es la prueba analítica definitiva para confirmar que una sucesión de números pertenece exclusivamente a la familia de las Progresiones Aritméticas (P.A.) y descartar que sea Geométrica? (v1)
Restas iguales = P.A. (Diferencia común). Divisiones iguales = P.G. (Razón).
Respuesta: A) Comprobar que la resta (diferencia) entre cualquier término y su predecesor es un número constante a lo largo de toda la secuencia.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Dada la secuencia de números $50, 45, 40, 35, 30$, al aplicar las pruebas de clasificación determinamos que:
Prueba de resta: $45 - 50 = -5$. $40 - 45 = -5$. Las restas son constantes.
Respuesta: A) Es una Progresión Aritmética porque la diferencia es constante ($d = -5$).
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La sucesión de números negativos $-2, -4, -8, -16$ es una Progresión Aritmética con diferencia $d = -2$?
Prueba de resta: $-4 - (-2) = -2$. $-8 - (-4) = -4$. Falló la resta. Es Geométrica (razón 2).
Respuesta: Falso
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¿La sucesión de números negativos $-2, -4, -8, -16$ es una Progresión Aritmética con diferencia $d = -2$?
Prueba de resta: $-4 - (-2) = -2$. $-8 - (-4) = -4$. Falló la resta. Es Geométrica (razón 2).
Respuesta: Falso
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¿La sucesión de números negativos $-2, -4, -8, -16$ es una Progresión Aritmética con diferencia $d = -2$?
Prueba de resta: $-4 - (-2) = -2$. $-8 - (-4) = -4$. Falló la resta. Es Geométrica (razón 2).
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un investigador tiene cuatro muestras de datos correspondientes al crecimiento semanal de distintas colonias de bacterias bajo diferentes dietas. ¿Cuál de los siguientes registros de datos debe ser analizado utilizando las fórmulas de una Progresión Geométrica? (v1)
La muestra Alfa tiene un cociente constante: $30/10=3; 90/30=3; 270/90=3$. Es la única geométrica.
Respuesta: A) Muestra Alfa: $10, 30, 90, 270$
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Un investigador tiene cuatro muestras de datos correspondientes al crecimiento semanal de distintas colonias de bacterias bajo diferentes dietas. ¿Cuál de los siguientes registros de datos debe ser analizado utilizando las fórmulas de una Progresión Geométrica? (v3)
La muestra Alfa tiene un cociente constante: $30/10=3; 90/30=3; 270/90=3$. Es la única geométrica.
Respuesta: A) Muestra Alfa: $10, 30, 90, 270$
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Un investigador tiene cuatro muestras de datos correspondientes al crecimiento semanal de distintas colonias de bacterias bajo diferentes dietas. ¿Cuál de los siguientes registros de datos debe ser analizado utilizando las fórmulas de una Progresión Geométrica? (v2)
La muestra Alfa tiene un cociente constante: $30/10=3; 90/30=3; 270/90=3$. Es la única geométrica.
Respuesta: A) Muestra Alfa: $10, 30, 90, 270$