Cálculo del valor final por porcentajes sucesivos
Resumen inicial
Las variaciones porcentuales sucesivas se calculan mediante la multiplicación encadenada de sus factores multiplicadores: $V_f = V_i \cdot (1 \pm p_1) \cdot (1 \pm p_2) \cdot \dots \cdot (1 \pm p_k)$, ¡nunca sumando los porcentajes aritméticamente!
Explicación en palabras simples
Cuando se aplican dos o más variaciones seguidas a una cantidad, cada nueva variación actúa sobre el saldo acumulado del paso anterior, no sobre la cantidad original. Por eso, dos descuentos del $20\%$ y $10\%$ NO dan un $30\%$ de descuento, sino que se multiplican sus factores: $0,80 \cdot 0,90 = 0,72$ (lo que equivale a un $28\%$ de descuento real).
Explicación formal
Para un valor inicial $V_i$ sometido a una sucesión de $k$ variaciones porcentuales $p_1, p_2, \dots, p_k$ (positivas para aumentos, negativas para descuentos), el Valor Final Encadenado se define como:
$$V_f = V_i \cdot \prod_{j=1}^k \left(1 \pm \frac{p_j}{100}\right) = V_i \cdot F_{\text{global}}$$
Donde $F_{\text{global}} = F_1 \cdot F_2 \cdot \dots \cdot F_k$ es el factor multiplicativo compuesto. La variación porcentual neta global es $(F_{\text{global}} - 1) \cdot 100\%$.
El factor compuesto es $1,20 \cdot 0,80 = 0,96$, lo que representa un $4\%$ de pérdida neta ($1 - 0,96 = 0,04$).
Definiciones clave
- Variaciones sucesivas: Modificaciones porcentuales encadenadas donde la base de cálculo cambia en cada etapa.
- Factor global: Producto de todos los factores multiplicativos individuales.
- Variación neta equivalente: Porcentaje único que produce el mismo efecto final que las variaciones sucesivas.
Propiedades y relaciones importantes
- Conmutatividad: El orden en que se apliquen las variaciones sucesivas no altera el resultado final, pues el producto de factores es conmutativo ($F_1 \cdot F_2 = F_2 \cdot F_1$).
- Efecto asimétrico de aumento y baja iguales: Un aumento del $p\%$ seguido de una baja del $p\%$ siempre genera una pérdida neta: $(1 + p)(1 - p) = 1 - p^2 < 1$.
Ejemplo guiado
Un artículo de $\$100.000$ sufre un descuento del $20\%$ y posteriormente un descuento adicional del $10\%$. ¿Cuál es el precio final y el descuento único equivalente?
- Paso 1: Determinar los factores individuales: $F_1 = 1 - 0,20 = 0,80$ y $F_2 = 1 - 0,10 = 0,90$.
- Paso 2: Calcular el factor global multiplicando: $F_{\text{global}} = 0,80 \cdot 0,90 = 0,72$.
- Paso 3: Calcular el precio final: $V_f = 100.000 \cdot 0,72 = 72.000$.
- Paso 4: Hallar el descuento equivalente: $1 - 0,72 = 0,28 \implies 28\%$ de descuento real.
- Conclusión: El precio final es $\$72.000$, lo que equivale a un descuento único del $28\%$ (no del $30\%$).
$F_{\text{global}} = 1,10 \cdot 1,20 = 1,32$ (equivalente a $+32\%$ de aumento).
Procedimiento
- Paso 1: Escribir el factor multiplicativo de cada variación individual ($1 + a_{\text{dec}}$ para alzas, $1 - d_{\text{dec}}$ para descuentos).
- Paso 2: Multiplicar todos los factores entre sí para obtener el factor compuesto global $F_{\text{global}}$.
- Paso 3: Multiplicar el valor inicial por el factor global: $V_f = V_i \cdot F_{\text{global}}$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Sumar aritméticamente los porcentajes (ej: pensar que $+10\%$ y $+20\%$ es $+30\%$). Cómo corregirlo: La segunda variación opera sobre el valor ya incrementado, por lo que se multiplican los factores ($1,10 \cdot 1,20 = 1,32 \implies +32\%$).
- Error 2: Creer que el orden de las variaciones altera el resultado. Cómo corregirlo: El producto de números reales es conmutativo ($F_1 \cdot F_2 = F_2 \cdot F_1$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Factor global: $1,10 \cdot 1,10 = 1,21$ (+21%).
- Multiplicar: $500.000 \cdot 1,21 = 605.000$ pesos.
- Factor global: $(1 - 0,25) \cdot (1 - 0,20) = 0,75 \cdot 0,80 = 0,60$.
- Multiplicar: $80.000 \cdot 0,60 = 48.000$ pesos.
- No, porque la multiplicación de factores decimales es conmutativa ($F_1 \cdot F_2 = F_2 \cdot F_1$).
- No, porque $1,50 \cdot 0,50 = 0,75$, dejando una pérdida neta del $25\%$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Calcular el valor final y la variación neta de porcentajes sucesivos. CÓMO: Multiplicando los factores individuales $F_{\text{global}} = \prod (1 \pm p_j)$ y evaluando el valor final mediante $V_f = V_i \cdot F_{\text{global}}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si una tienda ofrece un descuento del $30\%$ y un $10\%$ adicional sobre el precio ya rebajado, el descuento único real es: (v1)
Factores: $0.70 \cdot 0.90 = 0.63$. Pagas el 63%, el descuento real es $100 - 63 = 37\%$.
Respuesta: A) Un $37\%$ de descuento real.
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Si una tienda ofrece un descuento del $30\%$ y un $10\%$ adicional sobre el precio ya rebajado, el descuento único real es: (v2)
Factores: $0.70 \cdot 0.90 = 0.63$. Pagas el 63%, el descuento real es $100 - 63 = 37\%$.
Respuesta: A) Un $37\%$ de descuento real.
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Si una tienda ofrece un descuento del $30\%$ y un $10\%$ adicional sobre el precio ya rebajado, el descuento único real es: (v3)
Factores: $0.70 \cdot 0.90 = 0.63$. Pagas el 63%, el descuento real es $100 - 63 = 37\%$.
Respuesta: A) Un $37\%$ de descuento real.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Un aumento del $20\%$ seguido de un descuento del $20\%$ equivale a multiplicar el precio inicial por:
$1.20 \cdot 0.80 = 0.96$.
Respuesta: A) $0.96$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Aplicar dos descuentos sucesivos del $50\%$ significa que el producto es gratis?
$0.50 \cdot 0.50 = 0.25$. Pagas el 25% del precio (un 75% de descuento real).
Respuesta: Falso
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¿Aplicar dos descuentos sucesivos del $50\%$ significa que el producto es gratis?
$0.50 \cdot 0.50 = 0.25$. Pagas el 25% del precio (un 75% de descuento real).
Respuesta: Falso
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¿Aplicar dos descuentos sucesivos del $50\%$ significa que el producto es gratis?
$0.50 \cdot 0.50 = 0.25$. Pagas el 25% del precio (un 75% de descuento real).
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una empresa importadora sufre un aumento del $10\%$ en los costos de envío y luego, por aranceles aduaneros, el nuevo total sufre otro aumento del $15\%. ¿Cuál es el factor multiplicador único que debe aplicar al costo original para obtener el costo final? (v3)
Factores: $1.10 \cdot 1.15 = 1.265$. (Aumento real de 26.5%).
Respuesta: A) $1.265$
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Una empresa importadora sufre un aumento del $10\%$ en los costos de envío y luego, por aranceles aduaneros, el nuevo total sufre otro aumento del $15\%. ¿Cuál es el factor multiplicador único que debe aplicar al costo original para obtener el costo final? (v1)
Factores: $1.10 \cdot 1.15 = 1.265$. (Aumento real de 26.5%).
Respuesta: A) $1.265$
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Una empresa importadora sufre un aumento del $10\%$ en los costos de envío y luego, por aranceles aduaneros, el nuevo total sufre otro aumento del $15\%. ¿Cuál es el factor multiplicador único que debe aplicar al costo original para obtener el costo final? (v2)
Factores: $1.10 \cdot 1.15 = 1.265$. (Aumento real de 26.5%).
Respuesta: A) $1.265$