Cálculo del valor final con descuento porcentual

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

El valor final con descuento porcentual se calcula mediante el producto directo $V_f = V_i \cdot (1 - d_{\text{dec}})$, y el precio de lista original se recupera con $V_i = \frac{V_f}{1 - d_{\text{dec}}}$.

Explicación en palabras simples

Para calcular directamente cuánto pagarás con un descuento, multiplicas el precio de lista por el factor complementario: con $20\%$ de descuento multiplicas por $0,80$; con $35\%$ por $0,65$. Si sabes lo que pagaste y quieres saber el precio original de lista, divides lo pagado entre ese factor decimal complementario.

calculo-del-valor-final-con-descuento-porcentual

Explicación formal

Para un valor inicial de lista $V_i$ y una tasa de descuento $d > 0$ (con $d < 100$), las fórmulas directa e inversa son:

$$V_f = V_i \cdot \left(1 - \frac{d}{100}\right) = V_i \cdot (1 - d_{\text{dec}})$$

$$V_i = \frac{V_f}{1 - \frac{d}{100}} = \frac{V_f}{1 - d_{\text{dec}}}$$

Donde $(1 - d_{\text{dec}})$ es el factor de pago efectivo respecto al precio de catálogo.

Comprueba tu avance ¿Por cuál factor decimal se debe dividir el precio final para recuperar el precio original si hubo un descuento del $30\%$?

Definiciones clave

  • Cálculo directo de $V_f$: Multiplicación del precio de lista por el factor complementario $(1 - d_{\text{dec}})$.
  • Cálculo inverso de $V_i$: División del precio rebajado por $(1 - d_{\text{dec}})$ para reconstituir el precio de lista.

Propiedades y relaciones importantes

  • Asimetría de rebajas: Para recuperar el precio original, no se suma el $d\%$ al precio final, sino que se divide por $(1 - d_{\text{dec}})$.
  • Monotonía: A mayor porcentaje de descuento $d$, menor es el factor $(1 - d_{\text{dec}})$ y menor el valor final a pagar.

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

Un cliente pagó $\$24.000$ por una prenda que tenía un $20\%$ de descuento. ¿Cuál era el precio original de lista de la prenda?

  • Paso 1: Identificar el precio pagado $V_f = 24.000$ y el descuento $d = 20\%$.
  • Paso 2: Determinar el factor complementario: $F = 1 - 0,20 = 0,80$.
  • Paso 3: Aplicar la fórmula inversa dividiendo por el factor: $V_i = \frac{24.000}{0,80}$.
  • Paso 4: Resolver la división: $\frac{24.000}{0,80} = 30.000$.
  • Conclusión: El precio original de lista era de $\$30.000$.
Comprueba tu avance Un producto pagado a $\$45.000$ tenía un $10\%$ de descuento. ¿Cuál era su precio de lista?

Procedimiento

  • Paso 1: Determinar el factor complementario $F = 1 - \frac{d}{100}$.
  • Paso 2: Para calcular el precio rebajado, multiplicar $V_f = V_i \cdot F$.
  • Paso 3: Para recuperar el precio de lista original, dividir $V_i = \frac{V_f}{F}$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Sumar el porcentaje al precio con descuento para hallar el original (ej: $24.000 + 20\% = 28.800$). Cómo corregirlo: La base original es mayor, por lo que se debe dividir exactamente por $(1 - d_{\text{dec}}) = 0,80$.
  • Error 2: Confundir el porcentaje de ahorro con el porcentaje pagado. Cómo corregirlo: Si el descuento es $d\%$, se paga el $(100 - d)\%$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Un artículo de $\$60.000$ se compra aplicando un cupón del $15\%$. ¿Cuál es el precio final pagado?
2 Un mueble se vende a $\$140.000$ tras aplicar una rebaja del $30\%$. ¿Cuál era su precio original?
3 ¿Si un producto tiene 25% de descuento, se divide el precio final por 0,75 para hallar el original?
4 ¿Sumar 30% a un producto con 30% de descuento restituye su precio de lista?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Dividir por $(1 + d)$ en lugar de dividir por $(1 - d)$."
"Sumar el porcentaje al precio final para intentar recuperar el precio original."
"Olvidar que la base original siempre es mayor que el precio con descuento."
"El factor $(1 - d/100)$ permite calcular el precio final rebajado en una sola multiplicación."
"El precio original de lista se recupera dividiendo el precio con descuento entre $(1 - d_{\text{dec}})$."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular el valor final y el precio de lista en situaciones de descuento comercial. CÓMO: Aplicando $V_f = V_i \cdot (1 - d_{\text{dec}})$ para cálculo directo y $V_i = \frac{V_f}{1 - d_{\text{dec}}}$ para recuperar el precio original.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Números 1° Medio / PAES

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. ¿Qué factor multiplicador debes utilizar para calcular en un solo paso el precio final de un artículo con un $15\%$ de rebaja? (v1)

  2. ¿Qué factor multiplicador debes utilizar para calcular en un solo paso el precio final de un artículo con un $15\%$ de rebaja? (v2)

  3. ¿Qué factor multiplicador debes utilizar para calcular en un solo paso el precio final de un artículo con un $15\%$ de rebaja? (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Si multiplicas el precio de un vuelo por $0.60$, estás aplicando un descuento del:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿El precio final tras un descuento del $5\%$ se obtiene multiplicando por $0.95$?

  2. ¿El precio final tras un descuento del $5\%$ se obtiene multiplicando por $0.95$?

  3. ¿El precio final tras un descuento del $5\%$ se obtiene multiplicando por $0.95$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un televisor tiene un precio de lista de $\$350.000$. La tienda ofrece un descuento del $18\%$ por pago al contado. ¿Qué expresión permite hallar el dinero exacto que el cliente deberá entregar a la cajera? (v1)

  2. Un televisor tiene un precio de lista de $\$350.000$. La tienda ofrece un descuento del $18\%$ por pago al contado. ¿Qué expresión permite hallar el dinero exacto que el cliente deberá entregar a la cajera? (v2)

  3. Un televisor tiene un precio de lista de $\$350.000$. La tienda ofrece un descuento del $18\%$ por pago al contado. ¿Qué expresión permite hallar el dinero exacto que el cliente deberá entregar a la cajera? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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