Cálculo del valor final con aumento porcentual

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

El valor final con aumento porcentual se obtiene mediante el producto directo $V_f = V_i \cdot (1 + a_{\text{dec}})$, y de forma inversa, el valor inicial se recupera con $V_i = \frac{V_f}{1 + a_{\text{dec}}}$.

Explicación en palabras simples

Para calcular directamente el valor final tras un aumento, multiplicamos el valor original por su factor decimal: para $+10\%$ por $1,10$; para $+25\%$ por $1,25$. Si conocemos el valor final con aumento y queremos saber cuánto costaba antes, dividimos el valor final entre ese mismo factor decimal.

calculo-del-valor-final-con-aumento-porcentual

Explicación formal

Para un valor inicial $V_i$ y una tasa de aumento $a > 0$, la relación funcional directa e inversa entre $V_i$ y $V_f$ viene dada por:

$$V_f = V_i \cdot \left(1 + \frac{a}{100}\right) = V_i \cdot (1 + a_{\text{dec}})$$

$$V_i = \frac{V_f}{1 + \frac{a}{100}} = \frac{V_f}{1 + a_{\text{dec}}}$$

Donde $(1 + a_{\text{dec}})$ es el factor de proporcionalidad directa que vincula ambos estados.

Comprueba tu avance Para calcular el valor inicial a partir de un valor final que aumentó un $15\%$, se debe:

Definiciones clave

  • Cálculo directo de $V_f$: Multiplicación del valor base por $(1 + a_{\text{dec}})$.
  • Cálculo inverso de $V_i$: División del valor incrementado por $(1 + a_{\text{dec}})$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Biyección y reversibilidad: Dividir entre $(1 + a_{\text{dec}})$ deshace de forma exacta el aumento aplicado.
  • Asimetría porcentual: Para anular un aumento del $20\%$, no se debe restar el $20\%$ al valor final, sino dividir por $1,20$ (lo que equivale a descontar un $16,\overline{6}\%$).

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

Un producto cuesta $\$36.000$ tras haber sufrido un aumento del $20\%$. ¿Cuál era su precio original antes del alza?

  • Paso 1: Identificar el precio final $V_f = 36.000$ y la tasa de aumento $a = 20\%$.
  • Paso 2: Determinar el factor de aumento: $F = 1 + 0,20 = 1,20$.
  • Paso 3: Aplicar la fórmula inversa dividiendo por el factor: $V_i = \frac{36.000}{1,20}$.
  • Paso 4: Resolver la división: $\frac{36.000}{1,20} = 30.000$.
  • Conclusión: El precio original antes del aumento era de $\$30.000$.
Comprueba tu avance Un servicio cuesta $\$44.000$ con un recargo del $10\%$. ¿Cuál era el costo sin recargo?

Procedimiento

  • Paso 1: Determinar el factor multiplicativo $F = 1 + \frac{a}{100}$.
  • Paso 2: Si se busca el valor final, multiplicar $V_f = V_i \cdot F$.
  • Paso 3: Si se busca el valor original de partida, dividir $V_i = \frac{V_f}{F}$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Restar el porcentaje al valor final para volver al original (ej: $36.000 - 20\% = 28.800$). Cómo corregirlo: El $20\%$ de $36.000$ es mayor que el $20\%$ de $30.000$. La única operación exacta es dividir por $1,20$.
  • Error 2: Multiplicar por $0,a$ al buscar el valor final. Cómo corregirlo: Recordar que $1 + a_{\text{dec}}$ incluye la base del 100%.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Un sueldo de $\$600.000$ recibe un incremento del $8\%$. ¿Cuál es el nuevo monto líquido?
2 Una cuenta de $\$77.000$ incluye un reajuste por mora del $10\%$. ¿Cuál era el valor antes del recargo?
3 ¿Si una cantidad sube 50%, para volver a la base se debe dividir por 1,5?
4 ¿Restar el 20% a un valor incrementado en 20% devuelve el valor original?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Restar el porcentaje al valor final para recuperar el valor inicial."
"El valor original se recupera exactamente dividiendo el valor final entre $(1 + a_{\text{dec}})$."
"El factor $1 + a/100$ permite calcular el valor final en una sola multiplicación."
"Confundir el factor de aumento $1,a$ con la tasa decimal $0,a$."
"Dividir por $(1 - a)$ en lugar de dividir por $(1 + a)$ para el cálculo inverso."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular valores finales e iniciales en situaciones de aumento porcentual. CÓMO: Aplicando $V_f = V_i \cdot (1 + a_{\text{dec}})$ para cálculo directo y $V_i = \frac{V_f}{1 + a_{\text{dec}}}$ para recuperación del valor original.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Números 1° Medio / PAES

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. ¿Cuál es el 'factor multiplicador' para aplicar directamente un aumento del $7\%$ a una cantidad? (v1)

  2. ¿Cuál es el 'factor multiplicador' para aplicar directamente un aumento del $7\%$ a una cantidad? (v2)

  3. ¿Cuál es el 'factor multiplicador' para aplicar directamente un aumento del $7\%$ a una cantidad? (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Si multiplicas un número por $1.25$, en realidad le estás aplicando un aumento del:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿El precio final de un artículo de $\$1000$ tras un alza del $6\%$ se obtiene multiplicando $1000 \cdot 1.06$?

  2. ¿El precio final de un artículo de $\$1000$ tras un alza del $6\%$ se obtiene multiplicando $1000 \cdot 1.06$?

  3. ¿El precio final de un artículo de $\$1000$ tras un alza del $6\%$ se obtiene multiplicando $1000 \cdot 1.06$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un trabajador ganaba $\$500.000$. En su renegociación de contrato le prometen un reajuste salarial del $4.5\%$. ¿Qué cálculo le permite obtener el monto de su nuevo sueldo final en un solo paso? (v1)

  2. Un trabajador ganaba $\$500.000$. En su renegociación de contrato le prometen un reajuste salarial del $4.5\%$. ¿Qué cálculo le permite obtener el monto de su nuevo sueldo final en un solo paso? (v2)

  3. Un trabajador ganaba $\$500.000$. En su renegociación de contrato le prometen un reajuste salarial del $4.5\%$. ¿Qué cálculo le permite obtener el monto de su nuevo sueldo final en un solo paso? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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