Cálculo del cambio relativo
Resumen inicial
El cambio relativo o variación porcentual mide la proporción del cambio absoluto respecto al valor inicial de referencia: $\text{Var}(\%) = \left(\frac{V_f - V_i}{V_i}\right) \cdot 100\%$.
Explicación en palabras simples
El cambio relativo te dice qué porcentaje representó la ganancia o pérdida respecto a la cantidad de partida. Un aumento de $\$5.000$ no significa lo mismo sobre una base de $\$10.000$ (+50%) que sobre una base de $\$500.000$ (+1%). Por eso dividimos siempre por el valor inicial y multiplicamos por 100%.
Explicación formal
Para un valor inicial de referencia $V_i > 0$ y un valor final $V_f$, el Cambio Relativo o Variación Porcentual se define formalmente como:
$$\text{Variación Relativa (\%)} = \left(\frac{\Delta V}{V_i}\right) \cdot 100\% = \left(\frac{V_f - V_i}{V_i}\right) \cdot 100\%$$
Propiedades:
- Si $V_f > V_i \implies \text{Var}(\%) > 0$ (aumento relativo porcentual).
- Si $V_f < V_i \implies \text{Var}(\%) < 0$ (disminución relativa porcentual).
- Es una cantidad adimensional expresada en porcentaje.
La base del $100\%$ de referencia es siempre el valor de partida inicial $V_i$.
Definiciones clave
- Cambio relativo: Cociente normalizado entre la variación absoluta $\Delta V$ y el valor inicial $V_i$.
- Base de comparación: El valor inicial $V_i$, que representa siempre el $100\%$ de referencia.
Propiedades y relaciones importantes
- Independencia de escala: Permite comparar la magnitud del cambio entre magnitudes de escalas completamente dispares.
- Signo: Conserva el mismo signo algebraico que el cambio absoluto $\Delta V$.
Ejemplo guiado
Un artículo que costaba $\$40.000$ pasa a costar $\$50.000$. Calcule la variación porcentual de su precio.
- Paso 1: Identificar $V_i = 40.000$ y $V_f = 50.000$.
- Paso 2: Calcular la variación absoluta: $\Delta V = 50.000 - 40.000 = +10.000$.
- Paso 3: Dividir por el valor inicial: $\frac{10.000}{40.000} = 0,25$.
- Paso 4: Multiplicar por $100\%$: $0,25 \cdot 100\% = +25\%$.
- Conclusión: El precio experimentó un aumento relativo del $+25\%$.
$\text{Var} = \frac{800 - 1.000}{1.000} \cdot 100\% = \frac{-200}{1.000} \cdot 100\% = -20\%$.
Procedimiento
- Paso 1: Calcular la diferencia absoluta en el numerador: $\Delta V = V_f - V_i$.
- Paso 2: Dividir por el valor inicial $V_i$ en el denominador (base del 100%).
- Paso 3: Multiplicar por $100\%$ para obtener la tasa de variación relativa.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Poner el valor final $V_f$ en el denominador. Cómo corregirlo: Recordar que el cambio se mide respecto a dónde comenzó la situación ($V_i$).
- Error 2: Olvidar el signo negativo en disminuciones. Cómo corregirlo: Si $V_f < V_i$, la resta en el numerador da negativa y debe conservarse el signo ($-$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Identificar $V_i = 200.000$ y $V_f = 260.000$.
- Calcular: $\frac{260.000 - 200.000}{200.000} = \frac{60.000}{200.000} = 0,30$.
- Convertir a porcentaje: $0,30 \cdot 100\% = +30\%$.
- Calcular: $\frac{35 - 50}{50} = \frac{-15}{50} = -0,30$.
- Multiplicar por $100\%$: $-0,30 \cdot 100\% = -30\%$.
- Sí, porque $\frac{200 - 100}{100} \cdot 100\% = \frac{100}{100} \cdot 100\% = +100\%$.
- No, porque $\frac{100 - 50}{50} \cdot 100\% = \frac{50}{50} \cdot 100\% = +100\%$ (el valor final es el $200\%$, pero la variación es $+100\%$).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Calcular y comparar la variación porcentual entre dos valores. CÓMO: Aplicando la fórmula $\text{Var}(\%) = \left(\frac{V_f - V_i}{V_i}\right) \cdot 100\%$ y asociando el signo al aumento o reducción correspondiente.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En la fórmula para calcular la variación porcentual entre dos valores en el tiempo, el denominador debe ser siempre: (v1)
El impacto se mide respecto a cómo empezó todo (la base es el Valor Inicial).
Respuesta: A) El Valor Inicial.
-
En la fórmula para calcular la variación porcentual entre dos valores en el tiempo, el denominador debe ser siempre: (v2)
El impacto se mide respecto a cómo empezó todo (la base es el Valor Inicial).
Respuesta: A) El Valor Inicial.
-
En la fórmula para calcular la variación porcentual entre dos valores en el tiempo, el denominador debe ser siempre: (v3)
El impacto se mide respecto a cómo empezó todo (la base es el Valor Inicial).
Respuesta: A) El Valor Inicial.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si el precio de un bien pasa de $\$50$ a $\$100$, su variación porcentual es un aumento del:
$(100 - 50) / 50 = 50 / 50 = 1$. Multiplicado por 100 = $100\%$. (Es decir, se duplicó).
Respuesta: A) $100\%$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si tus seguidores en una red social bajan de 10.000 a 8.000, tuviste una variación porcentual del $-20\%$?
$(8000 - 10000)/10000 = -2000/10000 = -0.2 = -20\%$.
Respuesta: Verdadero
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¿Si tus seguidores en una red social bajan de 10.000 a 8.000, tuviste una variación porcentual del $-20\%$?
$(8000 - 10000)/10000 = -2000/10000 = -0.2 = -20\%$.
Respuesta: Verdadero
-
¿Si tus seguidores en una red social bajan de 10.000 a 8.000, tuviste una variación porcentual del $-20\%$?
$(8000 - 10000)/10000 = -2000/10000 = -0.2 = -20\%$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una zapatilla costaba originalmente $\$40.000$. En época de rebajas bajó su precio a $\$30.000$. ¿Cuál fue el porcentaje de descuento (variación porcentual negativa) aplicado? (v2)
Cambio absoluto: $30.000 - 40.000 = -10.000$. Variación = $(-10.000 / 40.000) \cdot 100 = -0.25 \cdot 100 = -25\%$. El descuento fue de un 25%.
Respuesta: A) $25\%$
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Una zapatilla costaba originalmente $\$40.000$. En época de rebajas bajó su precio a $\$30.000$. ¿Cuál fue el porcentaje de descuento (variación porcentual negativa) aplicado? (v3)
Cambio absoluto: $30.000 - 40.000 = -10.000$. Variación = $(-10.000 / 40.000) \cdot 100 = -0.25 \cdot 100 = -25\%$. El descuento fue de un 25%.
Respuesta: A) $25\%$
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Una zapatilla costaba originalmente $\$40.000$. En época de rebajas bajó su precio a $\$30.000$. ¿Cuál fue el porcentaje de descuento (variación porcentual negativa) aplicado? (v1)
Cambio absoluto: $30.000 - 40.000 = -10.000$. Variación = $(-10.000 / 40.000) \cdot 100 = -0.25 \cdot 100 = -25\%$. El descuento fue de un 25%.
Respuesta: A) $25\%$