Representación gráfica de la proporción inversa
Resumen inicial
La representación gráfica de una proporcionalidad inversa en el primer cuadrante es una rama de hipérbola equilátera asintótica a los ejes coordenados, cuya ecuación es $y = \frac{k}{x}$ ($k > 0$).
Explicación en palabras simples
El gráfico de una proporcionalidad inversa tiene una forma visual única:
1. Es una CURVA SUAVE llamada hipérbola (una rama en el 1° cuadrante).
2. NUNCA TOCA NI CRUZA LOS EJES $X$ e $Y$ (los ejes son asíntotas).
3. NO PASA POR EL ORIGEN $(0, 0)$ (porque la división por cero no existe: $\frac{k}{0}$ es indefinida).
4. Es estrictamente decreciente: a medida que $x$ crece hacia la derecha, la curva desciende y se aplasta contra el eje $X$, pero sin tocarlo jamás.
- Geometría del área: Si tomas cualquier punto $(x, y)$ sobre la curva, el rectángulo formado con los ejes tiene siempre la misma área fija $k = x \cdot y$.
Explicación formal
Sea la función de proporcionalidad inversa $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ definida por $y = f(x) = \frac{k}{x}$ con $k > 0$.
Geometría Analítica de la Curva:
1. Lugar Geométrico: Corresponde a la rama del primer cuadrante de una hipérbola equilátera:
$$\mathcal{H} = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ \;\middle|\; x \cdot y = k\right\}$$
2. Comportamiento Asintótico:
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{k}{x} = +\infty \quad (\text{asíntota vertical: } x = 0)$$
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{k}{x} = 0^+ \quad (\text{asíntota horizontal: } y = 0)$$
3. Derivada y Pendiente: $f'(x) = -\frac{k}{x^2} < 0$ para todo $x > 0$, demostrando que la función es monótona estrictamente decreciente y convexa ($f''(x) = \frac{2k}{x^3} > 0$).
La alternativa correcta es 'Una rama de hipérbola que no toca los ejes coordenados ni pasa por el origen (0, 0)'.
Definiciones clave
- Hipérbola equilátera: Curva cónica simétrica respecto a la bisectriz $y = x$.
- Asíntota: Recta a la cual la curva se aproxima indefinidamente sin llegar a intersectarla.
- Área bajo el punto: Propiedad $A(x, y) = x \cdot y = k$ constante.
Propiedades y relaciones importantes
- No intersección: $\mathcal{H} \cap \text{Eje } X = \emptyset$ y $\mathcal{H} \cap \text{Eje } Y = \emptyset$.
- Simetría axial: Invariante bajo la reflexión en la recta $y = x$ ($x \cdot y = y \cdot x = k$).
Ejemplo guiado
Obtenga la constante $k$ y la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto $(5, 12)$, y explique por qué una línea recta decreciente que une $(0, 20)$ con $(10, 0)$ no representa una proporcionalidad inversa.
- Paso 1: Para el punto $(5, 12)$: Multiplicar coordenadas $k = 5 \cdot 12 = 60$.
- Paso 2: Ecuación funcional de la hipérbola: $y = \frac{60}{x}$.
- Paso 3: Para la recta decreciente: Pasa por $(0, 20)$ y $(10, 0)$ (toca los ejes).
- Paso 4: Como toca los ejes ($x=0$ e $y=0$), su producto en los cortes es $0 \cdot 20 = 0 \neq k$. Es una función afín ($y = -2x + 20$), no inversa.
La alternativa correcta es 'Porque al cortar los ejes en x=0 o y=0 el producto se hace cero, rompiendo la constante k'.
Procedimiento
- Paso 1: Ubicar los puntos $(x_i, y_i)$ en el primer cuadrante del plano cartesiano.
- Paso 2: Trazar una curva suave (hipérbola) que decrezca asintóticamente hacia los ejes sin cruzarlos.
- Paso 3: Calcular la constante $k = x \cdot y$ multiplicando las coordenadas de cualquier punto para estructurar $y = \frac{k}{x}$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Creer que una línea recta decreciente representa proporción inversa. Cómo corregirlo: Las rectas decrecientes son funciones afines ($y = -mx + n$); la proporción inversa es obligatoriamente una HIPÉRBOLA curva ($y = \frac{k}{x}$).
- Error 2: Dibujar la hipérbola tocando el origen $(0,0)$ o los ejes. Cómo corregirlo: Los ejes son asíntotas inalcanzables ya que la división por cero no está definida.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $k = 4 \cdot 15 = 60$.
- $x \cdot y = 6 \cdot 6 = 36$.
- No, los ejes $X$ e $Y$ son asíntotas que la curva nunca intersecta.
- Sí, el área del rectángulo proyectado a los ejes es exactamente $k$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Interpretar, graficar y analizar la representación cartesiana de una proporción inversa.
Trazando la curva hiperbólica asintótica a los ejes en el primer cuadrante y verificando que cada punto $(x, y)$ satisfaga el producto constante $x \cdot y = k$ ($y = \frac{k}{x}$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Visualmente, el gráfico de una proporción inversa en el primer cuadrante corresponde a: (v1)
Es una hipérbola equilátera que se acerca asintóticamente a los ejes.
Respuesta: A) Una curva decreciente que no corta a los ejes coordenados.
-
Visualmente, el gráfico de una proporción inversa en el primer cuadrante corresponde a: (v2)
Es una hipérbola equilátera que se acerca asintóticamente a los ejes.
Respuesta: A) Una curva decreciente que no corta a los ejes coordenados.
-
Visualmente, el gráfico de una proporción inversa en el primer cuadrante corresponde a: (v3)
Es una hipérbola equilátera que se acerca asintóticamente a los ejes.
Respuesta: A) Una curva decreciente que no corta a los ejes coordenados.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El nombre matemático de la curva que representa la proporción inversa es:
Específicamente, rama de hipérbola equilátera.
Respuesta: A) Hipérbola
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El gráfico de una proporción inversa pasa por el punto $(0,0)$?
Jamás toca el cero, pues implicaría dividir por cero en la ecuación $y=k/x$.
Respuesta: Falso
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¿El gráfico de una proporción inversa pasa por el punto $(0,0)$?
Jamás toca el cero, pues implicaría dividir por cero en la ecuación $y=k/x$.
Respuesta: Falso
-
¿El gráfico de una proporción inversa pasa por el punto $(0,0)$?
Jamás toca el cero, pues implicaría dividir por cero en la ecuación $y=k/x$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si en una prueba técnica observas que la gráfica entre la Presión y el Volumen de un gas a temperatura constante forma una curva que desciende asintóticamente hacia los ejes, puedes concluir que el modelo matemático es de la forma: (v1)
La curva asintótica decreciente es la hipérbola de la proporción inversa, cuya constante es el producto.
Respuesta: A) $P \cdot V = k$
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Si en una prueba técnica observas que la gráfica entre la Presión y el Volumen de un gas a temperatura constante forma una curva que desciende asintóticamente hacia los ejes, puedes concluir que el modelo matemático es de la forma: (v2)
La curva asintótica decreciente es la hipérbola de la proporción inversa, cuya constante es el producto.
Respuesta: A) $P \cdot V = k$
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Si en una prueba técnica observas que la gráfica entre la Presión y el Volumen de un gas a temperatura constante forma una curva que desciende asintóticamente hacia los ejes, puedes concluir que el modelo matemático es de la forma: (v3)
La curva asintótica decreciente es la hipérbola de la proporción inversa, cuya constante es el producto.
Respuesta: A) $P \cdot V = k$