Representación gráfica de la proporción inversa
Identificar y analizar el gráfico de una proporción inversa.
Introducción
A diferencia de la proporción directa que es una flecha recta y firme que cruza el plano, la proporción inversa traza una curva suave y elegante que se acerca a las paredes del plano pero jamás las toca.
Explicación
Una proporcionalidad inversa ($y = k/x$) jamás será una línea recta. Su representación gráfica es una curva que desciende de izquierda a derecha de forma pronunciada al principio y luego se aplana.
Esta curva se llama rama de hipérbola equilátera. Sus características clave son:
1. Es decreciente: si $x$ avanza, $y$ baja.
2. Nunca toca el origen $(0,0)$ ni los ejes. Esto se debe a que no se puede dividir por cero ($k/0$ no existe), y si $x=0$, $y$ no tiene valor; si $y=0$, $x$ no tiene valor.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Observa el plano cartesiano.
- Paso 2: Comprueba que sea una curva que baja hacia la derecha (decreciente).
- Paso 3: Verifica que la curva no cruce los ejes X ni Y en el cuadrante positivo.
Ejemplos
1 Una gráfica muestra una línea recta diagonal que baja de $(0,10)$ a $(10,0)$. ¿Es proporción inversa?
- La forma es de línea recta, no curva.
- Toca los ejes (X=10 y Y=10).
- Por lo tanto, NO es proporción inversa. Es una función afín decreciente.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir una recta decreciente ($y = -mx+n$) con una hipérbola."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que la curva sí toca el cero si se le da suficiente tiempo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No asociar el nombre 'hipérbola' a este fenómeno y creer que es una parábola."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Graficar puntos de proporción inversa y unirlos con líneas rectas creando un polígono, en vez de una curva suavizada."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El gráfico de una proporción inversa en el primer cuadrante es una curva decreciente llamada hipérbola equilátera, que nunca toca los ejes (es asintótica a los ejes X e Y).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Visualmente, el gráfico de una proporción inversa en el primer cuadrante corresponde a: (v1)
Es una hipérbola equilátera que se acerca asintóticamente a los ejes.
Respuesta: A) Una curva decreciente que no corta a los ejes coordenados.
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Visualmente, el gráfico de una proporción inversa en el primer cuadrante corresponde a: (v2)
Es una hipérbola equilátera que se acerca asintóticamente a los ejes.
Respuesta: A) Una curva decreciente que no corta a los ejes coordenados.
-
Visualmente, el gráfico de una proporción inversa en el primer cuadrante corresponde a: (v3)
Es una hipérbola equilátera que se acerca asintóticamente a los ejes.
Respuesta: A) Una curva decreciente que no corta a los ejes coordenados.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El nombre matemático de la curva que representa la proporción inversa es:
Específicamente, rama de hipérbola equilátera.
Respuesta: A) Hipérbola
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El gráfico de una proporción inversa pasa por el punto $(0,0)$?
Jamás toca el cero, pues implicaría dividir por cero en la ecuación $y=k/x$.
Respuesta: Falso
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¿El gráfico de una proporción inversa pasa por el punto $(0,0)$?
Jamás toca el cero, pues implicaría dividir por cero en la ecuación $y=k/x$.
Respuesta: Falso
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¿El gráfico de una proporción inversa pasa por el punto $(0,0)$?
Jamás toca el cero, pues implicaría dividir por cero en la ecuación $y=k/x$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si en una prueba técnica observas que la gráfica entre la Presión y el Volumen de un gas a temperatura constante forma una curva que desciende asintóticamente hacia los ejes, puedes concluir que el modelo matemático es de la forma: (v1)
La curva asintótica decreciente es la hipérbola de la proporción inversa, cuya constante es el producto.
Respuesta: A) $P \cdot V = k$
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Si en una prueba técnica observas que la gráfica entre la Presión y el Volumen de un gas a temperatura constante forma una curva que desciende asintóticamente hacia los ejes, puedes concluir que el modelo matemático es de la forma: (v2)
La curva asintótica decreciente es la hipérbola de la proporción inversa, cuya constante es el producto.
Respuesta: A) $P \cdot V = k$
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Si en una prueba técnica observas que la gráfica entre la Presión y el Volumen de un gas a temperatura constante forma una curva que desciende asintóticamente hacia los ejes, puedes concluir que el modelo matemático es de la forma: (v3)
La curva asintótica decreciente es la hipérbola de la proporción inversa, cuya constante es el producto.
Respuesta: A) $P \cdot V = k$