Modelamiento algebraico de la proporción inversa
Representar situaciones de proporción inversa a través de un modelo algebraico (ecuación).
Introducción
Al igual que con la directa, podemos construir una 'máquina' para la proporción inversa. Esta máquina toma el trabajo total, lo divide por lo que tengas ahora, y te dice exactamente qué pasará.
Explicación
Sabiendo que $x \cdot y = k$, podemos despejar la variable dependiente $y$ dividiendo ambos lados por $x$. Así obtenemos el modelo algebraico de la proporción inversa:
$$y = \frac{k}{x}$$
Esta ecuación nos dice que para hallar cualquier valor de $y$, debemos tomar nuestra 'cantidad total' (la constante $k$) y repartirla o dividirla entre el valor de $x$. Si $x$ crece, se divide por un número mayor, haciendo que $y$ sea más pequeño.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula la constante $k$ multiplicando un par conocido $x \cdot y$.
- Paso 2: Escribe la ecuación sustituyendo $k$ por el número encontrado como numerador.
- Paso 3: Utiliza $y = k/x$ para calcular valores desconocidos reemplazando el valor de $x$.
Ejemplos
1 Si 5 obreros terminan un muro en 20 días, escribe el modelo algebraico del tiempo ($y$) en función de los obreros ($x$).
- Calculamos $k = 5 \cdot 20 = 100$ (días-obrero totales).
- Planteamos la fórmula general $y = k / x$.
- El modelo es $y = 100/x$. (Si vienen 2 obreros, $100/2 = 50$ días).
2 ¿Puedo despejar x en la ecuación inversa?
- Al igual que $y = 100/x$, se cumple que $x = 100/y$. Puedes alternar posiciones sin alterar el numerador $k$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Plantear el modelo como $y = x / k$ (el total siempre debe ser el dividendo)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar el modelo $y = k \cdot x$ (que es para proporción directa)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Plantearlo como una resta $y = k - x$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que $x$ no puede ser cero en la evaluación de la fórmula."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El modelo algebraico de la proporcionalidad inversa es la ecuación $y = k / x$, donde $k$ es la constante de proporcionalidad.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué ecuación representa adecuadamente una proporción inversa entre $x$ e $y$? (v1)
Despejando y de $xy = k$.
Respuesta: A) $y = k / x$
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¿Qué ecuación representa adecuadamente una proporción inversa entre $x$ e $y$? (v2)
Despejando y de $xy = k$.
Respuesta: A) $y = k / x$
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¿Qué ecuación representa adecuadamente una proporción inversa entre $x$ e $y$? (v3)
Despejando y de $xy = k$.
Respuesta: A) $y = k / x$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si en un problema $k = 300$, el modelo matemático para calcular $y$ inversamente proporcional a $x$ es:
El total (300) se divide entre x.
Respuesta: A) $y = 300 / x$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El modelo $y = 1500 / x$ indica que si $x$ vale 10, $y$ valdrá 150?
$1500 / 10 = 150$.
Respuesta: Verdadero
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¿El modelo $y = 1500 / x$ indica que si $x$ vale 10, $y$ valdrá 150?
$1500 / 10 = 150$.
Respuesta: Verdadero
-
¿El modelo $y = 1500 / x$ indica que si $x$ vale 10, $y$ valdrá 150?
$1500 / 10 = 150$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un grifo arroja agua llenando un depósito en $4$ horas. Si se instala un equipo que puede multiplicar la presión y caudal del agua. ¿Cuál es el modelo algebraico del tiempo $T$ en horas, según el número $N$ de grifos equivalentes que se simulen usar? (v1)
1 grifo tarda 4 horas, $k=4$. Modelo es $T = 4/N$.
Respuesta: A) $T = 4 / N$
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Un grifo arroja agua llenando un depósito en $4$ horas. Si se instala un equipo que puede multiplicar la presión y caudal del agua. ¿Cuál es el modelo algebraico del tiempo $T$ en horas, según el número $N$ de grifos equivalentes que se simulen usar? (v2)
1 grifo tarda 4 horas, $k=4$. Modelo es $T = 4/N$.
Respuesta: A) $T = 4 / N$
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Un grifo arroja agua llenando un depósito en $4$ horas. Si se instala un equipo que puede multiplicar la presión y caudal del agua. ¿Cuál es el modelo algebraico del tiempo $T$ en horas, según el número $N$ de grifos equivalentes que se simulen usar? (v3)
1 grifo tarda 4 horas, $k=4$. Modelo es $T = 4/N$.
Respuesta: A) $T = 4 / N$