Reconocimiento tabular de proporcionalidad inversa
Resumen inicial
Una tabla de valores representa una proporcionalidad inversa si y solo si todos los pares de datos $(x_i, y_i)$ arrojan exactamente el mismo producto $x_i \cdot y_i = k$ constante.
Explicación en palabras simples
Para verificar si una tabla de datos corresponde a una proporcionalidad inversa:
1. Multiplica los valores de cada columna: $x_1 \cdot y_1, x_2 \cdot y_2, x_3 \cdot y_3, \dots$
2. Compara los resultados:
- Si todos los productos dan exactamente el mismo número $k$, la tabla SÍ es de proporcionalidad inversa.
- Si aunque sea un solo producto da diferente, la tabla NO es inversa.
3. Completar datos faltantes: Para rellenar casillas vacías, divide la constante $k$ por el número de la columna:
$$y = \frac{k}{x} \quad \text{o} \quad x = \frac{k}{y}$$
Explicación formal
Sea una tabla discreta de valores $\mathcal{T} = \{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)\} \subset \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+$.
Criterio de Proporcionalidad Inversa Tabular:
$\mathcal{T}$ representa una relación de proporcionalidad inversa si y solo si:
$$x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = \dots = x_n \cdot y_n = k \quad (k \in \mathbb{R}^+, k = \text{constante})$$
Si existe al menos un índice $j \in \{1, \dots, n\}$ tal que $x_j \cdot y_j \neq k$, la tabla no representa una proporcionalidad inversa.
La alternativa correcta es 'Multiplicando x por y en cada columna y comprobando que todos los productos sean iguales a k'.
Definiciones clave
- Tabla proporcional inversa: Tabla donde todas las columnas satisfacen $x_i \cdot y_i = k$.
- Verificación horizontal por columna: Producto de las componentes de cada par ordenado.
- Relleno inverso: Cálculo de celdas vacías mediante división por $k$.
Propiedades y relaciones importantes
- Invarianza de área: Cada columna define un rectángulo de área $k$.
- Sensibilidad a fallos: Una única columna con producto divergente anula la proporcionalidad inversa de toda la tabla.
Ejemplo guiado
Complete la casilla faltante en una tabla inversa donde $(x=3, y=20)$ y $(x=5, y=?)$, y determine si los pares $(2, 30), (3, 20), (4, 14)$ forman una tabla inversamente proporcional.
- Paso 1: Para completar la tabla: Calcular $k = 3 \cdot 20 = 60$.
- Paso 2: Para $x = 5$: $y = \frac{60}{5} = 12$.
- Paso 3: Para la segunda tabla: Multiplicar pares: $2 \cdot 30 = 60$, $3 \cdot 20 = 60$, $4 \cdot 14 = 56$.
- Paso 4: Comparar: Como $56 \neq 60$, la segunda tabla NO es inversamente proporcional.
La alternativa correcta es 'Porque el tercer producto $4 \times 14 = 56$ no es igual a 60'.
Procedimiento
- Paso 1: Crear una fila auxiliar calculando el producto $x_i \cdot y_i$ para cada columna.
- Paso 2: Comprobar si todos los productos resultan idénticos a la constante $k$.
- Paso 3: Si todos coinciden, completar casillas vacías mediante $y = \frac{k}{x}$ o $x = \frac{k}{y}$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Dividir en vez de multiplicar. Cómo corregirlo: La proporcionalidad inversa se prueba mediante el PRODUCTO $x \cdot y$.
- Error 2: No verificar todas las columnas. Cómo corregirlo: Se debe multiplicar cada par individualmente hasta el final de la tabla.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $k = 2 \cdot 18 = 36 \implies y = \frac{36}{9} = 4$.
- $2 \cdot 50 = 100$, $4 \cdot 25 = 100$, $10 \cdot 10 = 100$. Sí es inversa.
- Sí, la constancia del producto demuestra la proporcionalidad inversa.
- Sí, la relación matemática debe cumplirse en la totalidad de los datos tabulados.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Reconocer, validar y completar tablas de valores inversamente proporcionales.
Calculando el producto $x_i \cdot y_i$ en cada columna, verificando la igualdad universal a la constante $k$ y completando incógnitas mediante $y = \frac{k}{x}$ o $x = \frac{k}{y}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para afirmar que una tabla muestra proporción inversa, se debe comprobar que: (v1)
Es la comprobación de la constante $k$ inversa.
Respuesta: A) El producto $x \cdot y$ sea constante en todos los pares de datos.
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Para afirmar que una tabla muestra proporción inversa, se debe comprobar que: (v3)
Es la comprobación de la constante $k$ inversa.
Respuesta: A) El producto $x \cdot y$ sea constante en todos los pares de datos.
-
Para afirmar que una tabla muestra proporción inversa, se debe comprobar que: (v2)
Es la comprobación de la constante $k$ inversa.
Respuesta: A) El producto $x \cdot y$ sea constante en todos los pares de datos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si una tabla tiene los pares $(4, 10)$, $(8, 5)$, $(2, z)$, y es de proporción inversa, ¿cuál es el valor de $z$?
La constante es $4\cdot10=40$. Luego $2\cdot z = 40 \implies z=20$.
Respuesta: A) $20$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La tabla con pares $(2, 12), (3, 8), (4, 6)$ representa proporción inversa?
Todos los productos son 24.
Respuesta: Verdadero
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¿La tabla con pares $(2, 12), (3, 8), (4, 6)$ representa proporción inversa?
Todos los productos son 24.
Respuesta: Verdadero
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¿La tabla con pares $(2, 12), (3, 8), (4, 6)$ representa proporción inversa?
Todos los productos son 24.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Al analizar el vaciado de un estanque, se midió (Diámetro de válvula cm, Minutos de vaciado): $(2, 60)$, $(3, 40)$, $(4, 30)$. ¿Es este un modelo de proporcionalidad inversa? (v1)
$2\cdot60=120$, $3\cdot40=120$, $4\cdot30=120$.
Respuesta: A) Sí, porque en todos los casos el producto del diámetro por los minutos es $120$.
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Al analizar el vaciado de un estanque, se midió (Diámetro de válvula cm, Minutos de vaciado): $(2, 60)$, $(3, 40)$, $(4, 30)$. ¿Es este un modelo de proporcionalidad inversa? (v2)
$2\cdot60=120$, $3\cdot40=120$, $4\cdot30=120$.
Respuesta: A) Sí, porque en todos los casos el producto del diámetro por los minutos es $120$.
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Al analizar el vaciado de un estanque, se midió (Diámetro de válvula cm, Minutos de vaciado): $(2, 60)$, $(3, 40)$, $(4, 30)$. ¿Es este un modelo de proporcionalidad inversa? (v3)
$2\cdot60=120$, $3\cdot40=120$, $4\cdot30=120$.
Respuesta: A) Sí, porque en todos los casos el producto del diámetro por los minutos es $120$.