Identificación de una relación directa en contexto compuesto

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

En un contexto compuesto, una magnitud es directamente proporcional a la incógnita si, manteniendo constantes todas las demás variables (ceteris paribus), al aumentar dicha magnitud la incógnita aumenta en el mismo factor multiplicativo.

Explicación en palabras simples

Relación directa en compuesta

Para identificar si una magnitud auxiliar es directa con la incógnita:
1. Aplica el principio de congelar las demás variables (ceteris paribus): Imagina que todas las otras magnitudes no cambian en absoluto.
2. Hazte la pregunta clave:
- «Si aumento esta magnitud, ¿la incógnita también tiene que aumentar?»
- Si la respuesta es SÍ, la relación es DIRECTA.
3. Efecto en la fórmula: Su razón se escribe en el orden original $\left(\frac{B_1}{B_2}\right)$ sin darla vuelta.
- Ejemplos comunes de relaciones directas:
- Cantidad de obra vs Días de trabajo (a igual número de obreros).
- Personas vs Costo total de comida (a igual cantidad de días).
- Horas de máquina vs Consumo de combustible.

Explicación formal

Sea el modelo compuesto $Y = f(X_1, X_2, \dots, X_n)$ donde $Y$ es la incógnita.

Definición de Magnitud Parcialmente Directa:
La variable $X_i$ mantiene una relación directamente proporcional con $Y$ si la derivada parcial satisface:

$$\frac{\partial Y}{\partial X_i} = \frac{k_g \cdot \prod_{m \neq i} X_m^{\text{directas}}}{\prod X^{\text{inversas}}} > 0 \quad (\forall X > 0)$$

lo que implica que en la ecuación de razones de estado, el factor correspondiente a $X_i$ se incorpora como razón directa homogénea:

$$R(X_i) = \frac{X_i^{(1)}}{X_i^{(2)}}$$

Comprueba tu avance ¿Qué regla se aplica a la fracción de una magnitud cuando se determina que es directa con la incógnita?

Definiciones clave

  • Ceteris paribus: Expresión latina que significa 'manteniendo constantes las demás variables'.
  • Razón directa preservada: Fracción $\frac{X_1}{X_2}$ que conserva el orden del estado inicial sobre el final.
  • Monotonía parcial positiva: Aumento de la variable implica aumento de la incógnita.

Propiedades y relaciones importantes

  • Preservación de orientación: No requiere transformación ni inversión algebraica.
  • Composición multiplicativa: Se multiplica directamente en el numerador del lado derecho.

Ejemplo guiado

Ejemplos de relaciones directas en compuesta

Analice la relación de la incógnita Costo de alojamiento ($C$) frente a Días de estadía y Número de personas, y determine la razón para una fábrica que produce unidades ($U$) frente a Máquinas disponibles.

  • Paso 1: $C$ vs Días (a personas constantes): A más días, mayor costo $\implies$ DIRECTA (razón $\frac{D_1}{D_2}$).
  • Paso 2: $C$ vs Personas (a días constantes): A más personas, mayor costo $\implies$ DIRECTA (razón $\frac{P_1}{P_2}$).
  • Paso 3: $U$ vs Máquinas (a horas constantes): A más máquinas, más unidades fabricadas $\implies$ DIRECTA.
  • Paso 4: Ambas magnitudes entran en la fórmula general conservando su orden original $\frac{M_1}{M_2}$.
Comprueba tu avance En el ejemplo guiado, ¿por qué el número de personas es directo respecto al costo de alojamiento?

Procedimiento

  • Paso 1: Suponer fijas e invariantes todas las demás magnitudes del problema.
  • Paso 2: Evaluar si el aumento de la magnitud evaluada produce un aumento en la magnitud incógnita.
  • Paso 3: Si aumentan conjuntamente, catalogar como DIRECTA y redactar su razón como $\frac{B_1}{B_2}$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Pensar que si otra variable es inversa, esta también lo será. Cómo corregirlo: Cada variable es INDEPENDIENTE y se evalúa por separado con la incógnita.
  • Error 2: Invertir la fracción por equivocación. Cómo corregirlo: Recordar: DIRECTA = SE QUEDA IGUAL ($?rac{B_1}{B_2}$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 En un problema donde la incógnita es la cantidad de harina ($H$), ¿qué relación tiene con el número de pasteles ($P$) a hornear?
2 Si $10$ vacas consumen $50\text{ kg}$ de pasto en $4\text{ días}$, ¿cómo es la relación entre Vacas y Kilos de pasto (incógnita)?
3 ¿Se mantiene la razón en el orden original si la magnitud es directa?
4 ¿Requiere el análisis ceteris paribus mantener constantes las demás magnitudes?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Evaluar dos variables auxiliares entre sí en lugar de evaluar contra la incógnita."
"Asumir que si una magnitud es inversa, todas las demás también lo son."
"Cambiar varias magnitudes simultáneamente en el análisis mental."
"Una magnitud es directa con la incógnita si al aumentar una, la otra también aumenta bajo ceteris paribus."
"La razón de una magnitud directa se incorpora como $\frac{B_1}{B_2}$ en la ecuación general."
"El análisis de cada magnitud es independiente del comportamiento de las demás."
"Invertir la fracción de una magnitud directa."

Al terminar debes poder

Síntesis de relación directa en compuesta

🎯 QUÉ Objetivo

Identificar magnitudes directamente proporcionales respecto a una incógnita en problemas compuestos.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Aplicando el análisis ceteris paribus (congelando las demás variables) e incorporando la razón no invertida $\frac{B_1}{B_2}$ en el producto de la proporción general.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Matemática 7° Básico / 1° Medio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. En proporción compuesta, al comparar la variable incógnita con otra, se asume que las demás variables: (v1)

  2. En proporción compuesta, al comparar la variable incógnita con otra, se asume que las demás variables: (v2)

  3. En proporción compuesta, al comparar la variable incógnita con otra, se asume que las demás variables: (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Variables: Días, Raciones, Personas. Incógnita: Raciones. Relación Personas-Raciones (Días constantes):

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿La relación entre 'Horas de uso' y 'Electricidad consumida' (con 'Electrodomésticos' fijos) es directa?

  2. ¿La relación entre 'Horas de uso' y 'Electricidad consumida' (con 'Electrodomésticos' fijos) es directa?

  3. ¿La relación entre 'Horas de uso' y 'Electricidad consumida' (con 'Electrodomésticos' fijos) es directa?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un agricultor tiene variables: Hectáreas, Tractores, Días. Si la pregunta del problema es cuántas Hectáreas puede arar, ¿qué relación tiene la incógnita (Hectáreas) con la variable Días? (v3)

  2. Un agricultor tiene variables: Hectáreas, Tractores, Días. Si la pregunta del problema es cuántas Hectáreas puede arar, ¿qué relación tiene la incógnita (Hectáreas) con la variable Días? (v1)

  3. Un agricultor tiene variables: Hectáreas, Tractores, Días. Si la pregunta del problema es cuántas Hectáreas puede arar, ¿qué relación tiene la incógnita (Hectáreas) con la variable Días? (v2)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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