Concepto de proporcionalidad compuesta
Resumen inicial
La proporcionalidad compuesta estudia situaciones matemáticas donde intervienen tres o más magnitudes vinculadas entre sí mediante relaciones que pueden ser directas, inversas o mixtas respecto a una magnitud incógnita central.
Explicación en palabras simples
La proporcionalidad compuesta aparece cuando un problema involucra $3$ o más magnitudes al mismo tiempo:
- Ejemplo típico: Obreros trabajando cierta cantidad de horas al día para construir una cantidad de metros de muro en un número determinado de días.
- ¿Cómo se resuelve?
1. Identificamos cuál es la magnitud incógnita (la que queremos calcular, ej: Días).
2. Comparamos cada una de las demás magnitudes por separado con la incógnita:
- Si es Directa: La razón se mantiene igual $\left(\frac{B_1}{B_2}\right)$.
- Si es Inversa: La razón se invierte $\left(\frac{C_2}{C_1}\right)$.
3. La razón de la incógnita es igual a la multiplicación de todas las razones:
$$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{B_1}{B_2}\right) \cdot \left(\frac{C_2}{C_1}\right)$$
Explicación formal
Sean $n \ge 3$ magnitudes físicas o económicas $M_1, M_2, \dots, M_n$, donde $M_1$ es la variable dependiente (incógnita).
Estructura del Teorema de Proporcionalidad Compuesta:
$M_1$ es conjuntamente proporcional a $M_2, \dots, M_k$ e inversamente proporcional a $M_{k+1}, \dots, M_n$ si existe una constante de acoplamiento global $k_g > 0$ tal que:
$$M_1 = k_g \cdot \frac{M_2 \cdot M_3 \dots M_k}{M_{k+1} \cdot M_{k+2} \dots M_n}$$
Formulación en Razones de Estado:
Para dos estados del sistema $(1)$ y $(2)$:
$$\frac{M_{1}^{(1)}}{M_{1}^{(2)}} = \prod_{i=2}^{k} \left(\frac{M_i^{(1)}}{M_i^{(2)}}\right) \cdot \prod_{j=k+1}^{n} \left(\frac{M_j^{(2)}}{M_j^{(1)}}\right)$$
La alternativa correcta es 'Multiplicando la razón de cada magnitud (directa tal cual e inversa invertida) igualada a la razón de la incógnita'.
Definiciones clave
- Proporcionalidad compuesta: Sistema multivariable donde $\ge 3$ magnitudes interactúan funcionalmente.
- Magnitud incógnita: Variable objetivo cuyo valor final se desea despejar.
- Razón de estado: Cociente entre el valor inicial y el valor final de una magnitud.
Propiedades y relaciones importantes
- Principio de Superposición Multiplicativa: El efecto de cada variable se combina multiplicando sus respectivas razones.
- Independencia Ceteris Paribus: El tipo de relación (directa/inversa) se analiza aislando pares de variables mientras las demás permanecen constantes.
Ejemplo guiado
Identifique las relaciones de la variable incógnita Días ($D$) frente a Obreros ($O$) y Obra ($M$), y plantee la ecuación para calcular cuántos días tardan $6$ obreros en hacer $150\text{ m}$ de muro si $4$ obreros hacen $100\text{ m}$ en $6\text{ días}$.
- Paso 1: Analizar Días vs Obreros (a obra fija): A más obreros, menos días $\implies$ INVERSA (se invierte a $\frac{6}{4}$).
- Paso 2: Analizar Días vs Obra (a obreros fijos): A más metros de obra, más días $\implies$ DIRECTA (se mantiene $\frac{100}{150}$).
- Paso 3: Formular la proporción compuesta: $\frac{6}{x} = \left(\frac{6}{4}\right) \cdot \left(\frac{100}{150}\right)$.
- Paso 4: Simplificar: $\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) = 1 \implies \frac{6}{x} = 1 \implies x = 6\text{ días}$.
La alternativa correcta es 'Porque obreros y días tienen una relación inversamente proporcional y su razón debe invertirse'.
Procedimiento
- Paso 1: Organizar todos los datos en una tabla de doble entrada señalando claramente la columna de la incógnita.
- Paso 2: Comparar individualmente cada columna de datos contra la columna incógnita para clasificarla como Directa o Inversa.
- Paso 3: Escribir la proporción igualando la razón de la incógnita con el producto de las razones auxiliares y despejar $x$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Comparar magnitudes auxiliares entre sí. Cómo corregirlo: Se debe comparar SIEMPRE cada magnitud auxiliar DIRECTAMENTE CONTRA LA INCÓGNITA.
- Error 2: No invertir las razones inversas. Cómo corregirlo: Si la relación con la incógnita es inversa, se DEBE intercambiar numerador y denominador ($?rac{C_2}{C_1}$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $B$ es directa (se mantiene $B_1/B_2$) y $C$ es inversa (se invierte $C_2/C_1$).
- $\frac{2}{x} = \frac{6}{3} \cdot \frac{15}{60} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \implies x = 4\text{ días}$.
- Sí, la proporcionalidad compuesta involucra 3 o más variables.
- Sí, es lo que se conoce como proporcionalidad compuesta mixta.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Comprender y formular sistemas de proporcionalidad compuesta con tres o más magnitudes.
Clasificando cada magnitud auxiliar respecto a la incógnita mediante ceteris paribus y estructurando la proporción $\frac{A_1}{A_2} = \prod \left(\frac{B_1}{B_2}\right) \cdot \prod \left(\frac{C_2}{C_1}\right)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué es la proporcionalidad compuesta? (v1)
Definición por cantidad de variables.
Respuesta: A) Aquella donde intervienen tres o más magnitudes relacionadas.
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¿Qué es la proporcionalidad compuesta? (v2)
Definición por cantidad de variables.
Respuesta: A) Aquella donde intervienen tres o más magnitudes relacionadas.
-
¿Qué es la proporcionalidad compuesta? (v3)
Definición por cantidad de variables.
Respuesta: A) Aquella donde intervienen tres o más magnitudes relacionadas.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de los siguientes es un problema de proporción compuesta?
Involucra gatos, ratones y minutos (3 variables).
Respuesta: A) Si 2 gatos cazan 2 ratones en 2 minutos, ¿cuánto demoran 100 gatos en cazar 100 ratones?
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Para analizar una proporción compuesta debo comparar la incógnita con cada variable por separado?
Es el método analítico estándar.
Respuesta: Verdadero
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¿Para analizar una proporción compuesta debo comparar la incógnita con cada variable por separado?
Es el método analítico estándar.
Respuesta: Verdadero
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¿Para analizar una proporción compuesta debo comparar la incógnita con cada variable por separado?
Es el método analítico estándar.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una empresa de envíos calcula su tarifa basándose en el peso del paquete y los kilómetros recorridos. Si se quiere hallar el precio para un envío de $5$ kg a $100$ km sabiendo que $2$ kg a $50$ km cuestan $\$4000$. ¿Qué tipo de proporcionalidad modela la situación? (v1)
Variables: Precio, Peso, Kilómetros.
Respuesta: A) Proporcionalidad compuesta.
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Una empresa de envíos calcula su tarifa basándose en el peso del paquete y los kilómetros recorridos. Si se quiere hallar el precio para un envío de $5$ kg a $100$ km sabiendo que $2$ kg a $50$ km cuestan $\$4000$. ¿Qué tipo de proporcionalidad modela la situación? (v2)
Variables: Precio, Peso, Kilómetros.
Respuesta: A) Proporcionalidad compuesta.
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Una empresa de envíos calcula su tarifa basándose en el peso del paquete y los kilómetros recorridos. Si se quiere hallar el precio para un envío de $5$ kg a $100$ km sabiendo que $2$ kg a $50$ km cuestan $\$4000$. ¿Qué tipo de proporcionalidad modela la situación? (v3)
Variables: Precio, Peso, Kilómetros.
Respuesta: A) Proporcionalidad compuesta.