Identificación de una relación inversa en contexto compuesto

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

En un contexto compuesto, una magnitud es inversamente proporcional a la incógnita si, bajo ceteris paribus, al aumentar dicha magnitud la incógnita disminuye en el factor recíproco, requiriendo que su razón se invierta en la ecuación: $\frac{C_2}{C_1}$.

Explicación en palabras simples

Relación inversa en compuesta

Para identificar si una magnitud auxiliar es inversa con la incógnita:
1. Congela las demás magnitudes (ceteris paribus).
2. Hazte la pregunta clave:
- «Si aumento esta magnitud, ¿la incógnita disminuye?»
- Si la respuesta es SÍ, la relación es INVERSA.
3. Efecto crucial en la fórmula: Su razón se DEBE INVERTIR $\left(\frac{C_2}{C_1}\right)$ (el dato final arriba y el inicial abajo).
- Ejemplos clásicos de relaciones inversas:
- Número de obreros vs Días necesarios (a obra fija).
- Horas de trabajo diario vs Días totales de ejecución.
- Velocidad de transporte vs Horas de trayecto.

Explicación formal

Sea el modelo compuesto multivariable $Y = f(X_1, \dots, X_n)$ con incógnita $Y$.

Definición de Magnitud Parcialmente Inversa:
La variable $X_j$ mantiene una relación inversamente proporcional con $Y$ si su derivada parcial satisface:

$$\frac{\partial Y}{\partial X_j} = -\frac{k_g \cdot \prod X^{\text{directas}}}{X_j^2 \cdot \prod_{m \neq j} X_m^{\text{inversas}}} < 0 \quad (\forall X > 0)$$

lo que exige que en la ecuación de razones de estado, el factor correspondiente a $X_j$ se incorpore invertido:

$$R(X_j) = \frac{X_j^{(2)}}{X_j^{(1)}}$$

Comprueba tu avance ¿Qué transformación debe realizarse a la razón de una magnitud inversamente proporcional en la fórmula compuesta?

Definiciones clave

  • Razón inversa invertida: Fracción $\frac{C_2}{C_1}$ que sitúa el estado final en el numerador.
  • Monotonía parcial negativa: Incremento de la variable produce decremento de la incógnita.
  • Compensación recíproca: Conservación del producto parcial $Y \cdot X_j = \text{cte}$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Transformación de razón: Invierte la dirección de la escala para alinearse con la igualdad proporcional.
  • Multiplicación en el producto derecho: Entra multiplicando a las demás razones directas e inversas.

Ejemplo guiado

Ejemplos de relaciones inversas en compuesta

Analice la relación de la incógnita Días ($D$) frente a Obreros ($O$) y Horas diarias de trabajo ($H$), y determine la razón para el Tiempo de viaje ($T$) frente a la Rapidez media ($v$).

  • Paso 1: $D$ vs Obreros (a $H$ y obra fija): Más obreros tardan menos días $\implies$ INVERSA (se invierte a $\frac{O_2}{O_1}$).
  • Paso 2: $D$ vs Horas/día (a obreros y obra fija): Más horas diarias implican menos días $\implies$ INVERSA (se invierte a $\frac{H_2}{H_1}$).
  • Paso 3: $T$ vs Rapidez (a distancia fija): A mayor rapidez, menor tiempo $\implies$ INVERSA.
  • Paso 4: Razón resultante en la fórmula: Se invierte a $\frac{v_2}{v_1}$.
Comprueba tu avance En el ejemplo guiado, ¿por qué tanto los obreros como las horas diarias son inversas respecto a los días?

Procedimiento

  • Paso 1: Fijar mentalmente todas las demás variables como constantes.
  • Paso 2: Comprobar si al aumentar la variable analizada, la incógnita disminuye.
  • Paso 3: Si disminuye, catalogar como INVERSA e invertir su razón a $\frac{C_2}{C_1}$ en la ecuación general.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: No invertir la razón de la magnitud inversa. Cómo corregirlo: Recordar: INVERSA = SE INVIERTE ($?rac{C_2}{C_1}$).
  • Error 2: Invertir también la incógnita. Cómo corregirlo: La incógnita se mantiene como $?rac{A_1}{A_2}$ al lado izquierdo.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 En una obra, si la incógnita son los Días ($D$) y participan $8$ obreros inicialmente y $12$ al final, ¿cómo entra la razón de obreros?
2 Si $6$ grifos llenan una piscina en $10\text{ horas}$, ¿qué tipo de relación tienen los Grifos frente al Tiempo de llenado?
3 ¿Se debe invertir obligatoriamente la razón de una magnitud inversa en la ecuación compuesta?
4 ¿Es inversa la relación entre rendimiento de un trabajador y el tiempo que tarda?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Invertir magnitudes directas por confusión."
"Olvidar invertir la razón de las magnitudes inversas."
"La razón de una magnitud inversa se incorpora como $\frac{C_2}{C_1}$ en la ecuación general."
"Invertir la fracción de la incógnita $\frac{A_1}{A_2}$."
"No verificar que la respuesta tenga sentido lógico."
"La inversión de la razón asegura que la relación recíproca se preserve algebraicamente."
"Una magnitud es inversa con la incógnita si bajo ceteris paribus al aumentar una la otra disminuye."

Al terminar debes poder

Síntesis de relación inversa en compuesta

🎯 QUÉ Objetivo

Identificar magnitudes inversamente proporcionales respecto a una incógnita en problemas compuestos.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Aplicando el análisis ceteris paribus e incorporando la razón invertida $\frac{C_2}{C_1}$ en el producto de la proporción general.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Matemática 7° Básico / 1° Medio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Si en un problema compuesto determinas que la variable $B$ es inversa a la incógnita, al armar la ecuación mediante fracciones debes: (v1)

  2. Si en un problema compuesto determinas que la variable $B$ es inversa a la incógnita, al armar la ecuación mediante fracciones debes: (v2)

  3. Si en un problema compuesto determinas que la variable $B$ es inversa a la incógnita, al armar la ecuación mediante fracciones debes: (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Variables: Máquinas, Metros, Horas. Incógnita: Horas. Relación Horas-Máquinas:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿La relación entre 'Velocidad' y 'Tiempo de viaje' para una 'Distancia' constante es inversa?

  2. ¿La relación entre 'Velocidad' y 'Tiempo de viaje' para una 'Distancia' constante es inversa?

  3. ¿La relación entre 'Velocidad' y 'Tiempo de viaje' para una 'Distancia' constante es inversa?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. En el problema: 'Si $12$ vacas comen una cantidad de pasto en $6$ días, ¿cuántos días durará el pasto (incógnita) si hay $18$ vacas y la cantidad de pasto disminuye a la mitad?' Al analizar la relación entre Días y Vacas asumiendo el Pasto constante, ¿qué resulta? (v1)

  2. En el problema: 'Si $12$ vacas comen una cantidad de pasto en $6$ días, ¿cuántos días durará el pasto (incógnita) si hay $18$ vacas y la cantidad de pasto disminuye a la mitad?' Al analizar la relación entre Días y Vacas asumiendo el Pasto constante, ¿qué resulta? (v2)

  3. En el problema: 'Si $12$ vacas comen una cantidad de pasto en $6$ días, ¿cuántos días durará el pasto (incógnita) si hay $18$ vacas y la cantidad de pasto disminuye a la mitad?' Al analizar la relación entre Días y Vacas asumiendo el Pasto constante, ¿qué resulta? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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