Cálculo del c% de una cantidad
Resumen inicial
El cálculo del $c\%$ de una cantidad total $T$ consiste en multiplicar la cantidad por la razón $\frac{c}{100}$ o por su correspondiente factor decimal $c_{\text{dec}}$ ($\text{Parte} = \frac{c \cdot T}{100} = c_{\text{dec}} \cdot T$).
Explicación en palabras simples
Para calcular el porcentaje de una cantidad, la forma más rápida es transformar el porcentaje en un número decimal y multiplicarlo por el total. Por ejemplo, para calcular el $20\%$ de $\$60.000$, convertimos el $20\%$ en $0,20$ y multiplicamos: $0,20 \cdot 60.000 = $\$12.00$0$. En matemáticas, la palabra "de" equivale directamente a una multiplicación.
Explicación formal
Formulación matemática general
Sea $T \in \mathbb{R}^+$ la cantidad base y $c\% \in \mathbb{R}^+$ el porcentaje dado. El valor de la parte $P$ viene dado por:
$$P = \left(\frac{c}{100}\right) \cdot T = \frac{c \cdot T}{100} = c_{\text{dec}} \cdot T$$
Métodos equivalentes de resolución
- Método decimal: Multiplicar por el factor decimal:
$$P = (c \div 100) \cdot T$$ - Método fraccionario: Multiplicar por la fracción simplificada:
$$P = \left(\frac{a}{b}\right) \cdot T$$ - Método de regla de tres simple directa:
$$\begin{aligned} T &\longrightarrow 100\% \\ P &\longrightarrow c\% \end{aligned} \implies P = \frac{c \cdot T}{100}$$
La alternativa correcta es $75$. $P = 0,30 \cdot 250 = 75$ (o $\frac{30 \cdot 250}{100} = \frac{7500}{100} = 75$).
Definiciones clave
- Parte o Cuota ($P$): Magnitud absoluta correspondiente a la fracción porcentual de la base.
- Total o Base ($T$): Magnitud de referencia que representa el $100\%$.
- Tasa porcentual ($c$): Valor numérico que indica las partes tomadas por cada 100.
Propiedades y relaciones importantes
- Linealidad: El $c\%$ de una suma es la suma de los porcentajes: $c\%(A + B) = c\%(A) + c\%(B)$.
- Escalamiento directo: Duplicar la cantidad base duplica exactamente el valor de la parte porcentual.
Ejemplo guiado
Un artículo tiene un precio de $\$80.000$ y se le aplica un descuento del $15\%$. Calcula el monto exacto del descuento y el precio final a pagar.
- Paso 1: Convertimos el $15\%$ a su forma decimal: $15\% = 0,15$.
- Paso 2: Multiplicamos el factor decimal por el total: $\text{Descuento} = 0,15 \cdot 80.000 = $\$12.00$0$.
- Paso 3: Restamos el descuento del precio original para obtener el precio final: $\$80.000 - $\$12.000$ = $\$68.00$0$.
- Paso 4: Conclusión: El descuento es de **$12.000** y el precio final a pagar es de **$68.000**.
La alternativa correcta es $\$150.000$. $25\% = \frac{1}{4} \implies \frac{600.000}{4} = $\$150.00$0$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar la cantidad base $T$ y el porcentaje $c\%$ solicitado.
- Paso 2: Convertir el porcentaje $c\%$ a número decimal dividiendo por $100$ ($c_{\text{dec}} = c \div 100$).
- Paso 3: Multiplicar el número decimal obtenido por la cantidad total ($P = c_{\text{dec}} \cdot T$).
- Paso 4: Evaluar la coherencia del resultado (si $c < 100$, la parte debe ser menor que el total).
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Dividir el total directamente entre el número $c$ (ej: calcular el $20\%$ dividiendo por $20$ en lugar de multiplicar por $0,20$ o dividir entre $5$).
- Error 2: Multiplicar por $c$ y olvidar dividir entre $100$ (ej: $15 \cdot 80.000 = 1.200.000$ en vez de $12.000$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Convertimos $12\%$ a decimal: $0,12$.
- Multiplicamos $0,12 \cdot 45.000 = $\$5.40$0$.
- Sí. $50\% = \frac{1}{2}$, por lo que $\frac{90.000}{2} = $\$45.00$0$.
- Sí. $1,50 \cdot 80 = 120$.
- Sí. $0,02 \cdot 300.000 = $\$6.00$0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Calcular de manera exacta y rápida la parte correspondiente al $c\%$ de cualquier cantidad dada.
Multiplicando la cantidad base $T$ por la razón $\frac{c}{100}$ o por su expresión decimal equivalente ($P = c_{\text{dec}} \cdot T$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La expresión matemática que traduce correctamente la frase 'el $X\%$ de $Y$' es: (v2)
La multiplicación es conmutativa. $X\%$ de $Y$ = $Y\%$ de $X$.
Respuesta: D) Ambas A y B son correctas y arrojan el mismo resultado matemático.
-
La expresión matemática que traduce correctamente la frase 'el $X\%$ de $Y$' es: (v3)
La multiplicación es conmutativa. $X\%$ de $Y$ = $Y\%$ de $X$.
Respuesta: D) Ambas A y B son correctas y arrojan el mismo resultado matemático.
-
La expresión matemática que traduce correctamente la frase 'el $X\%$ de $Y$' es: (v1)
La multiplicación es conmutativa. $X\%$ de $Y$ = $Y\%$ de $X$.
Respuesta: D) Ambas A y B son correctas y arrojan el mismo resultado matemático.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El $30\%$ de $150$ es igual a:
$150 \cdot 0.30 = 45$.
Respuesta: A) $45$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El $120\%$ de $50$ es mayor que $50$?
Al ser mayor al 100%, el resultado superará la cantidad base. ($50 \cdot 1.2 = 60$).
Respuesta: Verdadero
-
¿El $120\%$ de $50$ es mayor que $50$?
Al ser mayor al 100%, el resultado superará la cantidad base. ($50 \cdot 1.2 = 60$).
Respuesta: Verdadero
-
¿El $120\%$ de $50$ es mayor que $50$?
Al ser mayor al 100%, el resultado superará la cantidad base. ($50 \cdot 1.2 = 60$).
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una tienda liquida toda su ropa de invierno con un $45\%$ de descuento. Si una chaqueta costaba originalmente $\$60.000$, ¿cuál es el monto que te rebajarán del precio (es decir, el valor del descuento)? (v1)
$60.000 \cdot 45 / 100 = 600 \cdot 45 = 27.000$. Ojo que pregunta por la rebaja, no el precio final.
Respuesta: A) $\$27.000$
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Una tienda liquida toda su ropa de invierno con un $45\%$ de descuento. Si una chaqueta costaba originalmente $\$60.000$, ¿cuál es el monto que te rebajarán del precio (es decir, el valor del descuento)? (v2)
$60.000 \cdot 45 / 100 = 600 \cdot 45 = 27.000$. Ojo que pregunta por la rebaja, no el precio final.
Respuesta: A) $\$27.000$
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Una tienda liquida toda su ropa de invierno con un $45\%$ de descuento. Si una chaqueta costaba originalmente $\$60.000$, ¿cuál es el monto que te rebajarán del precio (es decir, el valor del descuento)? (v3)
$60.000 \cdot 45 / 100 = 600 \cdot 45 = 27.000$. Ojo que pregunta por la rebaja, no el precio final.
Respuesta: A) $\$27.000$