Representación fraccionaria de un porcentaje
Resumen inicial
La representación fraccionaria de un porcentaje $p\%$ se obtiene escribiendo la razón $\frac{p}{100}$ y simplificándola hasta su forma irreducible dividiendo numerador y denominador por su MCD.
Explicación en palabras simples
Convertir un porcentaje a fracción irreducible te permite hacer cálculos mentales instantáneos sin necesidad de usar calculadora. Solo debes escribir el porcentaje sobre $100$ y simplificar. Por ejemplo, $50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ (la mitad), $25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ (la cuarta parte), y $20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$ (la quinta parte).
Explicación formal
Algoritmo de simplificación canónica
Dado un porcentaje $p\% \in \mathbb{Q}^+$, su representación fraccionaria irreducible $\frac{a}{b}$ se obtiene mediante:
$$p\% = \frac{p}{100} = \frac{p \div \operatorname{mcd}(p, 100)}{100 \div \operatorname{mcd}(p, 100)} = \frac{a}{b} \quad \text{con } \operatorname{mcd}(a,b) = 1$$
Porcentajes con decimales a fracción
Si el porcentaje posee parte decimal $p = \frac{N}{10^k}$, se amplifica previamente por $10^k$:
$$p\% = \frac{p}{100} = \frac{p \cdot 10^k}{100 \cdot 10^k} = \frac{N}{100 \cdot 10^k}$$
y luego se simplifica por el MCD correspondiente.
Tabla de equivalencias fundamentales
- $10\% = \frac{1}{10}$
- $20\% = \frac{1}{5}$
- $25\% = \frac{1}{4}$
- $50\% = \frac{1}{2}$
- $75\% = \frac{3}{4}$
La alternativa correcta es $\frac{1}{5}$. $\frac{20}{100} = \frac{20 \div 20}{100 \div 20} = \frac{1}{5}$.
Definiciones clave
- Fracción irreducible: Fracción $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son coprimos (su MCD es $1$).
- Fracción generatriz de porcentaje: Forma simplificada que representa la razón de partes sobre 100.
- Amplificación decimal previa: Multiplicación por potencias de 10 para eliminar decimales del numerador antes de simplificar.
Propiedades y relaciones importantes
- Unicidad de la fracción irreducible: Cada porcentaje racional posee una única representación fraccionaria irreducible.
- Operador de división rápida: Calcular el $25\%$ de una cantidad equivale exactamente a dividirla entre $4$.
Ejemplo guiado
Convierte el $75\%$ a fracción irreducible y luego determina a qué porcentaje equivale la fracción $\frac{2}{5}$.
- Paso 1: Escribimos el $75\%$ como fracción con denominador 100: $\frac{75}{100}$.
- Paso 2: Hallamos el $\operatorname{mcd}(75, 100) = 25$ y simplificamos: $\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$.
- Paso 3: Para la fracción $\frac{2}{5}$, amplificamos para que el denominador sea 100 (multiplicamos por 20): $\frac{2 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{40}{100}$.
- Paso 4: Conclusión: $75\% = \frac{3}{4}$ y $\frac{2}{5} = 40\%$.
La alternativa correcta es $37,5\%$. $\frac{3}{8} = 0,375 \implies 0,375 \cdot 100\% = 37,5\%$.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir el número del porcentaje sobre 100 en forma de fracción: $\frac{p}{100}$.
- Paso 2: Si $p$ tiene decimales, amplificar numerador y denominador por $10, 100$, etc., para obtener números enteros.
- Paso 3: Calcular el $\operatorname{mcd}(\text{numerador}, \text{denominador})$.
- Paso 4: Dividir ambos términos por el MCD para obtener la fracción irreducible $\frac{a}{b}$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: No simplificar hasta la fracción irreducible (ej: dejar $\frac{50}{100}$ o $\frac{5}{10}$ en vez de $\frac{1}{2}$).
- Error 2: Invertir la fracción al calcular (ej: multiplicar por $4$ en lugar de dividir entre $4$ para hallar el $25\% = \frac{1}{4}$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Escribimos $\frac{60}{100}$.
- Dividimos entre $\operatorname{mcd}(60, 100) = 20$: $\frac{60 \div 20}{100 \div 20} = \frac{3}{5}$.
- Sí. $50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
- Sí. $\frac{12,5}{100} = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$ (al simplificar por 125).
- Sí. $\frac{3}{4} = 0,75 \implies 0,75 \cdot 100\% = 75\%$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Convertir porcentajes a fracciones irreductibles y viceversa para agilizar el cálculo aritmético.
Escribiendo la razón $\frac{p}{100}$, amplificando si hay decimales y dividiendo por el $\operatorname{mcd}(p, 100)$ para obtener la fracción canónica $\frac{a}{b}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Por qué es útil conocer la representación fraccionaria irreductible de un porcentaje? (v2)
Atajo de cálculo mental.
Respuesta: A) Porque permite realizar cálculos mentales más rápidos reemplazando multiplicaciones decimales por divisiones enteras.
-
¿Por qué es útil conocer la representación fraccionaria irreductible de un porcentaje? (v1)
Atajo de cálculo mental.
Respuesta: A) Porque permite realizar cálculos mentales más rápidos reemplazando multiplicaciones decimales por divisiones enteras.
-
¿Por qué es útil conocer la representación fraccionaria irreductible de un porcentaje? (v3)
Atajo de cálculo mental.
Respuesta: A) Porque permite realizar cálculos mentales más rápidos reemplazando multiplicaciones decimales por divisiones enteras.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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La fracción irreductible correspondiente al $40\%$ es:
$40/100$ simplificado por 20 es $2/5$.
Respuesta: A) $2/5$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La fracción $3/4$ corresponde al $75\%$?
$3/4 = 75/100 = 75\%$.
Respuesta: Verdadero
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¿La fracción $3/4$ corresponde al $75\%$?
$3/4 = 75/100 = 75\%$.
Respuesta: Verdadero
-
¿La fracción $3/4$ corresponde al $75\%$?
$3/4 = 75/100 = 75\%$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si un pastel se divide y a María le toca el $60\%$, a Juan el $20\%$ y a Pedro el resto. ¿Qué fracción irreductible del pastel se comió Pedro? (v1)
Pedro comió $100\% - (60+20) = 20\%$. La fracción irreductible de $20\%$ es $20/100 = 1/5$.
Respuesta: A) $1/5$
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Si un pastel se divide y a María le toca el $60\%$, a Juan el $20\%$ y a Pedro el resto. ¿Qué fracción irreductible del pastel se comió Pedro? (v2)
Pedro comió $100\% - (60+20) = 20\%$. La fracción irreductible de $20\%$ es $20/100 = 1/5$.
Respuesta: A) $1/5$
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Si un pastel se divide y a María le toca el $60\%$, a Juan el $20\%$ y a Pedro el resto. ¿Qué fracción irreductible del pastel se comió Pedro? (v3)
Pedro comió $100\% - (60+20) = 20\%$. La fracción irreductible de $20\%$ es $20/100 = 1/5$.
Respuesta: A) $1/5$