Cálculo de la tasa en interés simple

M1 — PAES obligatoria Avanzada

Resumen inicial

El cálculo de la tasa de interés simple $i$ determina el porcentaje de rendimiento periódico despejando la fórmula del interés: $i = \frac{I}{C \cdot t}$, expresando el resultado final como $r\% = i \cdot 100\%$.

Explicación en palabras simples

Si prestaste un dinero $C$ durante un tiempo $t$ y recibiste una ganancia $I$, pero quieres saber qué porcentaje de tasa de interés te cobraron o pagaron:
1. Multiplicas el capital por el tiempo ($C \cdot t$).
2. Divides el interés ganado $I$ entre ese producto: $i = \frac{I}{C \cdot t}$.
3. Multiplicas el resultado por 100 para tener la tasa en porcentaje $\%$.

Por ejemplo, si prestaste $\$100.000$ por 2 años y ganaste $\$20.000$: el producto $C \cdot t = 200.000$. Al dividir $20.000 \div 200.000 = 0,10$, lo que multiplicado por 100 da una tasa anual del $10\%$.

Cálculo de la tasa de interés simple

Explicación formal

Definición formal

La tasa de interés periódica decimal $i$ en un modelo de interés simple expresa la razón de ganancia por unidad de capital y de tiempo, obtenida al aislar la variable $i$:
$$I = C \cdot i \cdot t \implies i = \frac{I}{C \cdot t} \quad (C > 0, t > 0)$$

Conversión a Tasa Porcentual ($r\%$)

La tasa $i$ calculada está expresada en formato decimal adimensional por período. Para presentar la tasa nominal porcentual $r\%$:
$$r\% = \left(\frac{I}{C \cdot t} \cdot 100\right)\%$$

Despeje alternativo desde el Monto Final $M$

Si los datos conocidos son el monto final $M$ y el capital $C$:
$$M = C \cdot (1 + i \cdot t) \implies \frac{M}{C} - 1 = i \cdot t \implies i = \frac{M - C}{C \cdot t} = \frac{I}{C \cdot t}$$

Síntesis didáctica

  • Ecuación decimal de la tasa: $i = \frac{I}{C \cdot t}$.
  • Ecuación porcentual de la tasa: $r\% = \left(\frac{I}{C \cdot t}\right) \cdot 100\%$.
Comprueba tu avance ¿Cuál es la fórmula para calcular la tasa de interés simple decimal $i$ a partir del interés $I$, el capital $C$ y el tiempo $t$?

Definiciones clave

  • Tasa periódica ($i$): Factor decimal que representa la ganancia generada por cada unidad monetaria de capital en un período.
  • Tasa nominal porcentual ($r\%$): Expresión en tanto por ciento de la tasa periódica ($r = i \cdot 100$).
  • Período de referencia de la tasa: Unidad de tiempo (anual, mensual, semestral) definida por la medida empleada en $t$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Inversión con la base temporal: Para un interés fijo $I$ generado por un capital $C$, a mayor tiempo transcurrido $t$, menor es la tasa de interés periódica $i$ aplicada.
  • Equivalencia de tasas: Una tasa anual $r_{\text{anual}}\%$ equivale a una tasa mensual de $r_{\text{mensual}}\% = \frac{r_{\text{anual}}}{12}\%$ a interés simple.

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

Un capital de $\$400.000$ generó $\$48.000$ de interés simple en un plazo de $2$ años. Determina la tasa de interés simple anual aplicada.

  • Paso 1: Identificamos los datos: Interés $I = 48.000$, Capital $C = 400.000$, Tiempo $t = 2\text{ años}$.
  • Paso 2: Calculamos el denominador $C \cdot t = 400.000 \cdot 2 = 800.000$.
  • Paso 3: Evaluamos la razón decimal $i = \frac{48.000}{800.000} = 0,06$.
  • Paso 4: Convertimos a porcentaje multiplicando por 100: $r\% = 0,06 \cdot 100 = 6\%$. La tasa es del **$6\%$ anual**.
Comprueba tu avance Si una inversión de $\$100.000$ rinde $\$5.000$ de interés en $1$ año, ¿cuál es la tasa de interés anual?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el interés $I$ (o calcularlo como $M - C$), el capital $C$ y el tiempo $t$.
  • Paso 2: Multiplicar el capital $C$ por el tiempo $t$ en el denominador.
  • Paso 3: Dividir el interés $I$ entre dicho producto para obtener la tasa decimal $i = \frac{I}{C \cdot t}$.
  • Paso 4: Multiplicar $i$ por 100 y añadir el símbolo $\%$ especificando la unidad del período (anual, mensual, etc.).

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Olvidar multiplicar el decimal $i$ por 100 al entregar la respuesta final (ej: responder que la tasa es $0,06$ en lugar de $6\%$). Cómo corregirlo: La tasa comercial se expresa en porcentaje; debes multiplicar por 100 para agregar el símbolo $\%$: $0,06 \cdot 100 = 6\%$.
  • Error 2: Dividir el capital entre el interés (ej: $C / I$). Cómo corregirlo: El interés ganado $I$ es la cantidad observada y va SIEMPRE en el numerador: $i = \frac{I}{C \cdot t}$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Si $C = $\$200.00$0$, $I = $\$30.00$0$ y $t = 3$ años, ¿cuál es la tasa anual aplicada?
2 Si un capital de $\$100.000$ genera $\$2.000$ de interés en 1 mes, ¿cuál es la tasa mensual?
3 Si $C = $\$50.00$0$ se transforma en un monto final de $\$60.000$ al cabo de 2 años, ¿cuál es la tasa anual?
4 ¿Una tasa simple del $1,5\%$ mensual a cuánto equivale en tasa simple anual?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Multiplicar la tasa decimal $i$ por $100$ entrega el porcentaje nominal periódico de rendimiento ($r\% = i \cdot 100\%$)."
"La tasa decimal $i$ obtenida del cociente representa directamente el porcentaje nominal sin requerir la multiplicación por $100$."
"La tasa de interés se calcula dividiendo el capital inicial entre el interés devengado ($i = \frac{C}{I}$)."
"El tiempo $t$ se ubica en el numerador multiplicando al interés en la fórmula de la tasa ($i = \frac{I \cdot t}{C}$)."
"La tasa de interés simple varía progresivamente en cada período de tiempo transcurrido."
"Un cálculo de tasa con tiempo en meses entrega automáticamente una tasa de periodicidad anual."
"La tasa de interés decimal se calcula dividiendo el interés por el producto del capital y el tiempo ($i = \frac{I}{C \cdot t}$)."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular la tasa de interés periódica nominal y porcentual en un régimen de interés simple.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Evaluar el cociente decimal $i = \frac{I}{C \cdot t}$ (o $i = \frac{M - C}{C \cdot t}$) y transformar a porcentaje nominal periódico mediante $r\% = i \cdot 100\%$, respetando la unidad temporal de $t$.

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Si despejas la tasa de interés ($i$) de la fórmula $I = C \cdot i \cdot t$, la expresión correcta es: (v2)

  2. Si despejas la tasa de interés ($i$) de la fórmula $I = C \cdot i \cdot t$, la expresión correcta es: (v3)

  3. Si despejas la tasa de interés ($i$) de la fórmula $I = C \cdot i \cdot t$, la expresión correcta es: (v1)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Si el resultado de la fórmula $i = I / (C \cdot t)$ da $0.12$, entonces la tasa en formato de porcentaje es:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si prestas $\$100$ y tras $2$ años te pagan $\$20$ de puros intereses, la tasa fue del $10\%$ simple anual?

  2. ¿Si prestas $\$100$ y tras $2$ años te pagan $\$20$ de puros intereses, la tasa fue del $10\%$ simple anual?

  3. ¿Si prestas $\$100$ y tras $2$ años te pagan $\$20$ de puros intereses, la tasa fue del $10\%$ simple anual?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Una empresa emite bonos de deuda. Un inversionista compra un bono por $\$2.500.000$ (capital inicial). Al cabo de $5$ años, la empresa liquida el bono pagándole al inversionista un monto total final de $\$3.250.000$. ¿Cuál fue la tasa de interés simple anual que ofreció este bono? (v3)

  2. Una empresa emite bonos de deuda. Un inversionista compra un bono por $\$2.500.000$ (capital inicial). Al cabo de $5$ años, la empresa liquida el bono pagándole al inversionista un monto total final de $\$3.250.000$. ¿Cuál fue la tasa de interés simple anual que ofreció este bono? (v1)

  3. Una empresa emite bonos de deuda. Un inversionista compra un bono por $\$2.500.000$ (capital inicial). Al cabo de $5$ años, la empresa liquida el bono pagándole al inversionista un monto total final de $\$3.250.000$. ¿Cuál fue la tasa de interés simple anual que ofreció este bono? (v2)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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