Cálculo del capital inicial en interés simple

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

El cálculo del capital inicial $C$ en régimen de interés simple despeja el principal invirtiendo la fórmula del interés ($C = \frac{I}{i \cdot t}$) o la del monto final ($C = \frac{M}{1 + i \cdot t}$).

Explicación en palabras simples

Si sabes cuánto dinero de interés ganaste (o el monto total final) pero quieres averiguar cuánto dinero depositaste originalmente:
1. Si conoces el interés ganado $I$: divides el interés entre el producto de la tasa decimal y el tiempo ($C = \frac{I}{i \cdot t}$).
2. Si conoces el monto final $M$: divides el monto total entre el factor de acumulación ($C = \frac{M}{1 + i \cdot t}$).

Por ejemplo, si ganaste $\$12.000$ de interés en 2 años al $6\%$ anual ($i = 0,06$), la multiplicación $i \cdot t = 0,12$. Al dividir $12.000 \div 0,12 = $\$100.00$0$ (tu capital inicial).

Cálculo del capital inicial

Explicación formal

Definición formal

El capital inicial o valor presente $C$ es la cantidad de dinero originalmente invertida o solicitada a interés simple, obtenida despejando $C$ de los modelos financieros fundamentales:

  1. Despeje a partir del Interés Acumulado $I$:
    $$I = C \cdot i \cdot t \implies C = \frac{I}{i \cdot t}$$
  2. Despeje a partir del Monto Final Acumulado $M$:
    $$M = C \cdot (1 + i \cdot t) \implies C = \frac{M}{1 + i \cdot t}$$

Sensibilidad del Capital Inicial

Dado un interés $I$ constante, el capital inicial requerido $C$ es inversamente proporcional tanto a la tasa de interés $i$ como al tiempo de exposición $t$.

Síntesis didáctica

  • Despeje por interés: $C = \frac{I}{i \cdot t}$.
  • Despeje por monto final: $C = \frac{M}{1 + i \cdot t}$.
Comprueba tu avance ¿Cuál es la fórmula para calcular el capital inicial $C$ si se conoce el interés acumulado $I$, la tasa decimal $i$ y el tiempo $t$?

Definiciones clave

  • Valor Presente ($C$): Valor actual equivalente de un flujo o monto futuro traído a la fecha inicial.
  • Descuento a interés simple: Proceso algebraico de dividir el valor futuro $M$ entre el factor de acumulación.
  • Factor divisor $(1 + i \cdot t)$: Expresión adimensional que descuenta los intereses para reconstruir el principal.

Propiedades y relaciones importantes

  • Unicidad del principal: Para un conjunto fijo de parámetros de rendimiento y tiempo, existe un único capital inicial que produce la ganancia o monto dado.
  • Efecto de la tasa de interés: A mayor tasa de interés ofrecida, menor es el capital inicial $C$ necesario para alcanzar una meta fija de interés $I$.

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

¿Qué capital inicial $C$ se debe depositar a una tasa de interés simple del $10\%$ anual para obtener un monto final de $\$260.000$ al cabo de $3$ años?

  • Paso 1: Identificamos el monto final $M = 260.000$, tasa decimal $i = 0,10$ y tiempo $t = 3\text{ años}$.
  • Paso 2: Como conocemos el monto final, aplicamos la fórmula $C = \frac{M}{1 + i \cdot t}$.
  • Paso 3: Calculamos el denominador: $1 + (0,10 \cdot 3) = 1 + 0,30 = 1,30$.
  • Paso 4: Dividimos el monto entre el denominador: $C = \frac{260.000}{1,30} = 200.000$. El capital inicial fue de **$\$200.000$**.
Comprueba tu avance Si una inversión rindió $\$15.000$ de interés simple en $1$ año al $5\%$ anual, ¿cuál fue el capital inicial invertido?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar los datos conocidos (Interés $I$ o Monto $M$, junto con tasa $i$ y tiempo $t$).
  • Paso 2: Si el dato es $I$, usar $C = \frac{I}{i \cdot t}$. Si el dato es $M$, usar $C = \frac{M}{1 + i \cdot t}$.
  • Paso 3: Calcular primero el producto $i \cdot t$ en el denominador (homologando unidades temporales).
  • Paso 4: Realizar la división final para hallar el capital $C$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Multiplicar el interés por la tasa y el tiempo en lugar de dividir (ej: hacer $C = I \cdot i \cdot t$). Cómo corregirlo: Para despejar la incógnita $C$, los términos $i$ y $t$ PASAN DIVIDIENDO: $C = \frac{I}{i \cdot t}$.
  • Error 2: Usar la fórmula de interés $I$ cuando el dato proporcionado en el problema es el monto final $M$. Cómo corregirlo: Si el dato incluye el capital devuelto, DEBES incluir el +1 en el denominador: $C = \frac{M}{1 + i \cdot t}$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Si $I = $\$20.00$0$, $i = 0,05$ anual y $t = 2$ años, ¿cuál fue el capital inicial $C$ depositado?
2 Si $M = $\$110.00$0$, la tasa es $10\%$ anual ($0,10$) y $t = 1$ año, ¿cuál es el capital inicial?
3 Si $I = $\$6.00$0$ en 6 meses ($0,5$ años) al $12\%$ anual ($0,12$), ¿cuál fue el capital invertido?
4 ¿El capital inicial $C$ calculado debe ser siempre estrictamente menor que el monto final $M$ acumulado con $I > 0$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El valor del capital inicial $C$ resultante es siempre estrictamente mayor que el monto final $M$ para tasas positivas."
"El capital inicial se obtiene multiplicando el interés ganado por la tasa decimal y el tiempo ($C = I \cdot i \cdot t$)."
"El capital inicial $C$ disminuye cuando la tasa de interés ofrecida disminuye manteniendo el interés constante."
"El capital inicial a partir del monto final acumulado se calcula mediante $C = \frac{M}{1 + i \cdot t}$."
"El capital inicial a partir del interés acumulado se calcula mediante la división $C = \frac{I}{i \cdot t}$."
"El capital inicial a partir del monto final se calcula dividiendo $M$ directamente entre el producto $i \cdot t$ sin sumar $1$."
"La tasa porcentual entera $r$ se coloca directamente en el denominador sin convertirla a formato decimal."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Determinar el capital inicial o valor presente requerido despejando las ecuaciones de interés o monto final.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Aplicar el cociente $C = \frac{I}{i \cdot t}$ cuando se conoce el interés generado, o $C = \frac{M}{1 + i \cdot t}$ cuando se dispone del monto final acumulado.

Fuente: Currículum Nacional MINEDUC y elaboración pedagógica ProfeOnline.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Para encontrar el Capital Inicial ($C$) conociendo el Monto Final total ($M$), la tasa ($i$) y el tiempo ($t$) en interés simple, se debe usar la expresión: (v2)

  2. Para encontrar el Capital Inicial ($C$) conociendo el Monto Final total ($M$), la tasa ($i$) y el tiempo ($t$) en interés simple, se debe usar la expresión: (v3)

  3. Para encontrar el Capital Inicial ($C$) conociendo el Monto Final total ($M$), la tasa ($i$) y el tiempo ($t$) en interés simple, se debe usar la expresión: (v1)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Si el problema dice: 'Una inversión generó $\$50.000$ de rentabilidad (intereses)...', la variable que conoces para despejar $C$ es:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si un depósito generó $\$200$ de intereses puros en $1$ año a una tasa del $10\%$ simple anual, el capital invertido fue de $\$2.000$?

  2. ¿Si un depósito generó $\$200$ de intereses puros en $1$ año a una tasa del $10\%$ simple anual, el capital invertido fue de $\$2.000$?

  3. ¿Si un depósito generó $\$200$ de intereses puros en $1$ año a una tasa del $10\%$ simple anual, el capital invertido fue de $\$2.000$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Camila revisa su cartola del banco y ve que su fondo mutuo, tras $4$ años de inversión bajo un régimen de interés simple al $6\%$ anual, ha alcanzado un saldo total acumulado de $\$6.200.000$. ¿Cuánto dinero depositó originalmente Camila al abrir la cuenta? (v1)

  2. Camila revisa su cartola del banco y ve que su fondo mutuo, tras $4$ años de inversión bajo un régimen de interés simple al $6\%$ anual, ha alcanzado un saldo total acumulado de $\$6.200.000$. ¿Cuánto dinero depositó originalmente Camila al abrir la cuenta? (v2)

  3. Camila revisa su cartola del banco y ve que su fondo mutuo, tras $4$ años de inversión bajo un régimen de interés simple al $6\%$ anual, ha alcanzado un saldo total acumulado de $\$6.200.000$. ¿Cuánto dinero depositó originalmente Camila al abrir la cuenta? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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