Identificación de la razón de homotecia

M2 — PAES electiva Básica

Resumen inicial

Homotecia y transformaciones de escala: Identificación de la Razón de Homotecia (k).

Explicación en palabras simples

Identificación de la Razón de Homotecia (k)

La razón de homotecia $k$ es el escalar real que representa el cociente con signo entre la distancia orientada del centro a la imagen y la distancia del centro al punto original: $k = \frac{OP'}{OP}$.

Explicación formal

Fórmula analítica de la razón $k$

Dado el centro $O$ y un par de puntos homólogos $P, P'$:

$$k = \frac{\vec{OP'} \cdot \vec{OP}}{\|\vec{OP}\|^2}$$

En términos de magnitudes escalares y orientación:

$$|k| = \frac{d(O, P')}{d(O, P)} = \frac{d(A', B')}{d(A, B)}$$

Desglose simbólico y geométrico

  • Signo positivo ($k > 0$): Los vectores $\vec{OP}$ y $\vec{OP'}$ tienen el mismo sentido.
  • Signo negativo ($k < 0$): Los vectores $\vec{OP}$ y $\vec{OP'}$ tienen sentidos opuestos.

Síntesis didáctica

Siempre calcula la razón como $\frac{\text{Medida en la Imagen}}{\text{Medida en el Original}}$ con su respectivo signo.

Comprueba tu avance Si $OA = 4\text{ cm}$ y $OA' = 12\text{ cm}$, estando $A$ y $A'$ al mismo lado de $O$, ¿cuánto vale $k$?

Definiciones clave

  • Homotecia $H(O, k)$: Transformación afín que dilata o contrae figuras desde un centro fijo $O$ mediante un factor de escala $k$.
  • Centro de homotecia (O): Punto fijo invariante donde concurren todas las rectas que unen puntos homólogos.
  • Razón de homotecia (k): Escalar real no nulo que determina el factor de escala lineal y la orientación relativa.
  • Efectos dimensionales: Escalamiento métrico: magnitudes lineales escalan con $|k|$, áreas con $k^2$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Ecuación vectorial: $\vec{OP^\prime} = k \cdot \vec{OP}$.
  • Paralelismo homólogo: $\overline{AB} \parallel \overline{A^\prime B^\prime} \quad \forall A \neq B$.
  • Razón de áreas: $\frac{\text{Área}^\prime}{\text{Área}} = k^2$.
  • Simetría central: $H(O, -1) \equiv S_O \equiv R(O, 180^\circ)$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Identificación de la Razón de Homotecia (k)

Aplica las propiedades y definiciones de homotecia para determinar las coordenadas, longitudes y justificaciones geométricas requeridas.

  • Paso 1: Identificar el centro $O$ y la razón $k$ de la homotecia.
  • Paso 2: Determinar si la transformación es directa ($k > 0$) o inversa ($k < 0$).
  • Paso 3: Aplicar la fórmula correspondiente: vectorial, por coordenadas o de escalamiento métrico.
  • Paso 4: Calcular la magnitud lineal multiplicando por $|k|$ o el área multiplicando por $k^2$.
  • Paso 5: Verificar el paralelismo y la coherencia espacial de la figura homotética resultante.
Comprueba tu avance Si $OA = 3\text{ cm}$ y $OA' = 6\text{ cm}$, pero $O$ se encuentra entre $A$ y $A'$, ¿cuánto vale $k$?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el centro de homotecia $O$ y el valor numérico de la razón $k$.
  • Paso 2: Trazar los rayos desde $O$ a través de cada vértice de la figura original.
  • Paso 3: Multiplicar las distancias desde $O$ por $|k|$ (en el mismo sentido si $k > 0$, en sentido opuesto si $k < 0$).
  • Paso 4: Unir los vértices homotéticos resultantes verificando el paralelismo con los lados originales.
  • Paso 5: Calcular perímetros ($|k| \cdot P$) o áreas ($k^2 \cdot A$) según lo solicitado.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que si $k < 0$, las longitudes y perímetros son siempre positivos y se multiplican por $|k|$, mientras que la figura queda invertida 180° al otro lado del centro $O$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor o resultado geométrico obtenido al aplicar la homotecia?
2 Si una figura se transforma mediante una homotecia con razón k = -2, ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Una homotecia con k = -1 cambia el tamaño de una figura?
4 ¿Los lados homólogos de dos figuras homotéticas son siempre paralelos?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"{'error': 'Olvidar restar el centro de homotecia antes de multiplicar por k cuando el centro no es el origen.', 'correccion': 'Usa siempre la fórmula afín correcta: $P^\\prime = C + k(P - C)$, es decir, $x^\\prime = x_0 + k(x - x_0)$ e $y^\\prime = y_0 + k(y - y_0)$.'}"
"{'error': 'Multiplicar el área por k en lugar de k².', 'correccion': 'El área es una magnitud superficial bidimensional y siempre escala con el cuadrado de la razón: $\\text{Área}^\\prime = k^2 \\cdot \\text{Área}$.'}"
"{'error': 'Olvidar que las longitudes y perímetros deben multiplicarse por el valor absoluto |k|, asignando valores negativos a las distancias.', 'correccion': 'Toda longitud y perímetro es una magnitud estrictamente positiva: $L^\\prime = |k| \\cdot L$. El signo negativo de $k$ solo indica inversión espacial.'}"

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. La razón de homotecia se calcula como:

  2. Con OP=4 y OP'=12 del mismo lado, la razón es 3.

  3. ¿Cuándo la razón de homotecia es negativa?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. La razón de homotecia puede ser igual a 0.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. OP=6 cm, OP'=18 cm, mismo lado de O. ¿Cuál es la razón?

  2. Con OP=5, OP'=5, en lados opuestos de O, la razón es -1.

  3. OP=10 cm y la razón es -0,5. ¿Cuánto mide OP' y en qué posición relativa a O?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al calcular la razón de homotecia?

  2. Si |k|>1, la homotecia amplía la figura; si 0<|k|<1, la reduce.

  3. Un segmento OP mide 8 cm. Su imagen OP' mide 20 cm, del mismo lado de O. ¿Cuál es la razón, y qué tipo de homotecia es (directa o inversa)?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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