Identificación de la razón de homotecia
Calcular la razón de una homotecia a partir de las distancias entre el centro y los puntos originales e imagen.
Introducción
Una vez identificado el centro de una homotecia, el siguiente dato esencial para caracterizarla completamente es su razón.
Explicación
Definición formal
Si $O$ es el centro de homotecia, $P$ un punto original y $P'$ su imagen, la razón es $k=\frac{\overline{OP'}}{\overline{OP}}$, considerando signo positivo si $P'$ está del mismo lado que $P$ respecto a $O$, y negativo si está del lado opuesto.
Desarrollo didáctico
Si un punto está a 4 cm del centro y su imagen está a 12 cm del centro, en el mismo sentido, la razón es $k=\frac{12}{4}=3$. Si la imagen estuviera al otro lado del centro, la razón sería $k=-3$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Mide (o calcula) la distancia del centro O al punto original P.
- Paso 2: Mide la distancia del centro O al punto imagen P'.
- Paso 3: Divide OP' entre OP, asignando signo negativo si P y P' están en lados opuestos de O.
Ejemplos
1 OP=4 cm, OP'=12 cm, ambos del mismo lado de O.
- k=12/4=3.
2 OP=5 cm, OP'=5 cm, pero en lados opuestos de O.
- k=-5/5=-1 (una simetría central).
3 ¿La razón puede ser negativa?
- Sí, cuando el punto imagen queda del lado opuesto del centro respecto al punto original.
4 ¿Es posible que la razón sea 0?
- No, una razón 0 colapsaría todos los puntos en el centro, lo cual no define una homotecia válida.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar el signo de la razón, ignorando si los puntos quedan en el mismo lado o en lados opuestos del centro."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir el cociente, calculando OP/OP' en vez de OP'/OP."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la razón de homotecia con la distancia misma, sin calcular el cociente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La razón de homotecia $k$ se calcula como el cociente entre la distancia del centro a un punto imagen y la distancia del centro al punto original correspondiente, con signo según la orientación.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La razón de homotecia se calcula como:
Es el cociente entre la distancia imagen y la distancia original.
Respuesta: A) OP'/OP
-
Con OP=4 y OP'=12 del mismo lado, la razón es 3.
12/4=3.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuándo la razón de homotecia es negativa?
Es la condición para razón negativa.
Respuesta: A) Cuando el punto imagen está del lado opuesto del centro respecto al original
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
La razón de homotecia puede ser igual a 0.
Una razón 0 no define una homotecia válida.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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OP=6 cm, OP'=18 cm, mismo lado de O. ¿Cuál es la razón?
18/6=3.
Respuesta: A) 3
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Con OP=5, OP'=5, en lados opuestos de O, la razón es -1.
Misma distancia, lado opuesto: razón -1.
Respuesta: Verdadero
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OP=10 cm y la razón es -0,5. ¿Cuánto mide OP' y en qué posición relativa a O?
OP'=|−0,5|×10=5, y el signo negativo indica el lado opuesto.
Respuesta: A) 5 cm, en el lado opuesto a P
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuál es el error frecuente al calcular la razón de homotecia?
Es un error común, especialmente en homotecias inversas.
Respuesta: A) Olvidar el signo según la posición relativa de los puntos
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Si |k|>1, la homotecia amplía la figura; si 0<|k|<1, la reduce.
Es la relación entre el valor absoluto de k y el efecto de la transformación.
Respuesta: Verdadero
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Un segmento OP mide 8 cm. Su imagen OP' mide 20 cm, del mismo lado de O. ¿Cuál es la razón, y qué tipo de homotecia es (directa o inversa)?
20/8=2,5, positivo (mismo lado) → homotecia directa.
Respuesta: A) k=2,5, homotecia directa