Identificación del centro de homotecia

M2 — PAES electiva Básica

Resumen inicial

Homotecia y transformaciones de escala: Identificación del Centro de Homotecia (O).

Explicación en palabras simples

Identificación del Centro de Homotecia (O)

El centro de homotecia $O$ es el punto fijo e invariante del plano determinado por la intersección de todas las rectas que conectan los puntos originales con sus respectivos puntos homólogos transformados.

Explicación formal

Teorema de concurrencia del centro

Dadas dos figuras homotéticas no congruentes $F$ y $F'$ con $F' = H_{(O, k)}(F)$ ($k \neq 1$):

$$\bigcap_{i=1}^n \overleftrightarrow{P_i P'_i} = \{O\}$$

Desglose simbólico y geométrico

  • Unicidad: Para $k \neq 1$, el centro $O$ es único.
  • Caso $k = 1$: Toda recta es invariante, la transformación es la identidad y no hay un centro único definido.
  • Rectas paralelas: Si los segmentos $\overline{P_i P'_i}$ fueran todos paralelos y de igual longitud, la transformación sería una traslación pura (homotecia con centro en el infinito).

Síntesis didáctica

Basta intersectar dos rectas de puntos homólogos para ubicar con total precisión el centro $O$.

Comprueba tu avance ¿Cuántas rectas que unan pares de puntos homólogos se necesitan como mínimo para hallar el centro de homotecia?

Definiciones clave

  • Homotecia $H(O, k)$: Transformación afín que dilata o contrae figuras desde un centro fijo $O$ mediante un factor de escala $k$.
  • Centro de homotecia (O): Punto fijo invariante donde concurren todas las rectas que unen puntos homólogos.
  • Razón de homotecia (k): Escalar real no nulo que determina el factor de escala lineal y la orientación relativa.
  • Efectos dimensionales: Escalamiento métrico: magnitudes lineales escalan con $|k|$, áreas con $k^2$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Ecuación vectorial: $\vec{OP^\prime} = k \cdot \vec{OP}$.
  • Paralelismo homólogo: $\overline{AB} \parallel \overline{A^\prime B^\prime} \quad \forall A \neq B$.
  • Razón de áreas: $\frac{\text{Área}^\prime}{\text{Área}} = k^2$.
  • Simetría central: $H(O, -1) \equiv S_O \equiv R(O, 180^\circ)$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Identificación del Centro de Homotecia (O)

Aplica las propiedades y definiciones de homotecia para determinar las coordenadas, longitudes y justificaciones geométricas requeridas.

  • Paso 1: Identificar el centro $O$ y la razón $k$ de la homotecia.
  • Paso 2: Determinar si la transformación es directa ($k > 0$) o inversa ($k < 0$).
  • Paso 3: Aplicar la fórmula correspondiente: vectorial, por coordenadas o de escalamiento métrico.
  • Paso 4: Calcular la magnitud lineal multiplicando por $|k|$ o el área multiplicando por $k^2$.
  • Paso 5: Verificar el paralelismo y la coherencia espacial de la figura homotética resultante.
Comprueba tu avance ¿Cuál es el único punto del plano que no cambia de posición bajo una homotecia?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el centro de homotecia $O$ y el valor numérico de la razón $k$.
  • Paso 2: Trazar los rayos desde $O$ a través de cada vértice de la figura original.
  • Paso 3: Multiplicar las distancias desde $O$ por $|k|$ (en el mismo sentido si $k > 0$, en sentido opuesto si $k < 0$).
  • Paso 4: Unir los vértices homotéticos resultantes verificando el paralelismo con los lados originales.
  • Paso 5: Calcular perímetros ($|k| \cdot P$) o áreas ($k^2 \cdot A$) según lo solicitado.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que si $k < 0$, las longitudes y perímetros son siempre positivos y se multiplican por $|k|$, mientras que la figura queda invertida 180° al otro lado del centro $O$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor o resultado geométrico obtenido al aplicar la homotecia?
2 Si una figura se transforma mediante una homotecia con razón k = -2, ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Una homotecia con k = -1 cambia el tamaño de una figura?
4 ¿Los lados homólogos de dos figuras homotéticas son siempre paralelos?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"{'error': 'Olvidar que las longitudes y perímetros deben multiplicarse por el valor absoluto |k|, asignando valores negativos a las distancias.', 'correccion': 'Toda longitud y perímetro es una magnitud estrictamente positiva: $L^\\prime = |k| \\cdot L$. El signo negativo de $k$ solo indica inversión espacial.'}"
"{'error': 'Olvidar restar el centro de homotecia antes de multiplicar por k cuando el centro no es el origen.', 'correccion': 'Usa siempre la fórmula afín correcta: $P^\\prime = C + k(P - C)$, es decir, $x^\\prime = x_0 + k(x - x_0)$ e $y^\\prime = y_0 + k(y - y_0)$.'}"
"{'error': 'Multiplicar el área por k en lugar de k².', 'correccion': 'El área es una magnitud superficial bidimensional y siempre escala con el cuadrado de la razón: $\\text{Área}^\\prime = k^2 \\cdot \\text{Área}$.'}"

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. El centro de homotecia se encuentra:

  2. Se necesitan al menos dos pares de puntos correspondientes para encontrar el centro.

  3. ¿Qué propiedad cumple el centro de homotecia respecto a la transformación?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. El centro de homotecia siempre está dentro de la figura original.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Para verificar que se encontró correctamente el centro, ¿qué se debe hacer?

  2. Si las rectas AA' y BB' no se cortan en un punto único, no existe una homotecia entre esas figuras.

  3. ¿En qué caso el centro de homotecia coincide con un vértice de la figura original?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al buscar el centro de homotecia?

  2. En óptica, el centro de una lente convergente actúa de forma análoga al centro de una homotecia al formar imágenes.

  3. Dos triángulos semejantes ABC y A'B'C' tienen sus lados AB y A'B' paralelos entre sí, y AA' pasa por un punto O. ¿Qué se puede concluir sobre O?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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