Homotecia directa con razón positiva

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

Homotecia y transformaciones de escala: Homotecia Directa (Razón Positiva k > 0).

Explicación en palabras simples

Homotecia Directa (Razón Positiva k > 0)

Una homotecia directa es aquella cuya razón es positiva ($k > 0$), lo que implica que cada punto y su homólogo se encuentran en el mismo rayo emitido desde el centro $O$, preservando la orientación espacial de la figura.

Explicación formal

Caracterización formal (Homotecia directa)

Una homotecia $H_{(O, k)}$ es directa si y solo si:

$$k \in (0, +\infty)$$

Lo que equivale a que el determinante de su matriz jacobiana sea positivo: $\det(J) = k^2 > 0$ con factor de escala lineal $k > 0$.

Desglose simbólico y geométrico

  • Rayo invariante: $P' \in \overrightarrow{OP}$.
  • Isomorfismo de orden cíclico: El sentido horario o antihorario de los vértices se conserva intacto.

Síntesis didáctica

La figura crece o decrece mirando exactamente en la misma dirección.

Comprueba tu avance En una homotecia directa con $k = 2$, ¿cómo es la orientación de la figura transformada respecto a la original?

Definiciones clave

  • Homotecia $H(O, k)$: Transformación afín que dilata o contrae figuras desde un centro fijo $O$ mediante un factor de escala $k$.
  • Centro de homotecia (O): Punto fijo invariante donde concurren todas las rectas que unen puntos homólogos.
  • Razón de homotecia (k): Escalar real no nulo que determina el factor de escala lineal y la orientación relativa.
  • Efectos dimensionales: Escalamiento métrico: magnitudes lineales escalan con $|k|$, áreas con $k^2$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Ecuación vectorial: $\vec{OP^\prime} = k \cdot \vec{OP}$.
  • Paralelismo homólogo: $\overline{AB} \parallel \overline{A^\prime B^\prime} \quad \forall A \neq B$.
  • Razón de áreas: $\frac{\text{Área}^\prime}{\text{Área}} = k^2$.
  • Simetría central: $H(O, -1) \equiv S_O \equiv R(O, 180^\circ)$.

Ejemplo guiado

Ejemplo de Homotecia Directa (Razón Positiva k > 0)

Aplica las propiedades y definiciones de homotecia para determinar las coordenadas, longitudes y justificaciones geométricas requeridas.

  • Paso 1: Identificar el centro $O$ y la razón $k$ de la homotecia.
  • Paso 2: Determinar si la transformación es directa ($k > 0$) o inversa ($k < 0$).
  • Paso 3: Aplicar la fórmula correspondiente: vectorial, por coordenadas o de escalamiento métrico.
  • Paso 4: Calcular la magnitud lineal multiplicando por $|k|$ o el área multiplicando por $k^2$.
  • Paso 5: Verificar el paralelismo y la coherencia espacial de la figura homotética resultante.
Comprueba tu avance Si un punto está a $6\text{ cm}$ de $O$, ¿dónde queda su imagen bajo una homotecia con $k = 0{,}5$?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el centro de homotecia $O$ y el valor numérico de la razón $k$.
  • Paso 2: Trazar los rayos desde $O$ a través de cada vértice de la figura original.
  • Paso 3: Multiplicar las distancias desde $O$ por $|k|$ (en el mismo sentido si $k > 0$, en sentido opuesto si $k < 0$).
  • Paso 4: Unir los vértices homotéticos resultantes verificando el paralelismo con los lados originales.
  • Paso 5: Calcular perímetros ($|k| \cdot P$) o áreas ($k^2 \cdot A$) según lo solicitado.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Recuerda que si $k < 0$, las longitudes y perímetros son siempre positivos y se multiplican por $|k|$, mientras que la figura queda invertida 180° al otro lado del centro $O$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 ¿Cuál es el valor o resultado geométrico obtenido al aplicar la homotecia?
2 Si una figura se transforma mediante una homotecia con razón k = -2, ¿por cuánto se multiplica su área?
3 ¿Una homotecia con k = -1 cambia el tamaño de una figura?
4 ¿Los lados homólogos de dos figuras homotéticas son siempre paralelos?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"{'error': 'Olvidar restar el centro de homotecia antes de multiplicar por k cuando el centro no es el origen.', 'correccion': 'Usa siempre la fórmula afín correcta: $P^\\prime = C + k(P - C)$, es decir, $x^\\prime = x_0 + k(x - x_0)$ e $y^\\prime = y_0 + k(y - y_0)$.'}"
"{'error': 'Olvidar que las longitudes y perímetros deben multiplicarse por el valor absoluto |k|, asignando valores negativos a las distancias.', 'correccion': 'Toda longitud y perímetro es una magnitud estrictamente positiva: $L^\\prime = |k| \\cdot L$. El signo negativo de $k$ solo indica inversión espacial.'}"
"{'error': 'Multiplicar el área por k en lugar de k².', 'correccion': 'El área es una magnitud superficial bidimensional y siempre escala con el cuadrado de la razón: $\\text{Área}^\\prime = k^2 \\cdot \\text{Área}$.'}"

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Una homotecia es directa cuando:

  2. Una homotecia con k=0,5 es directa.

  3. En una homotecia directa, la orientación de la figura imagen:

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Toda homotecia directa amplía necesariamente la figura.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Una homotecia tiene razón k=3. ¿Es directa o inversa?

  2. En una homotecia directa con k=1, la figura imagen coincide exactamente con la original.

  3. ¿Cuál de las siguientes razones corresponde a una homotecia directa que reduce la figura?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. ¿Cuál es el error frecuente al clasificar una homotecia como directa?

  2. Todas las homotecias directas con distinto valor de k producen figuras semejantes entre sí.

  3. Una homotecia directa con k=4 se aplica a un triángulo de área 5 cm². ¿Cuál es el área de la imagen?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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