Representación del sucesor de un número
Resumen inicial
La representación del sucesor de un número consiste en expresar algebraicamente el entero inmediatamente posterior a una cantidad dada mediante la adición de una unidad $n + 1$.
Explicación en palabras simples
El sucesor de un número entero es el número que le sigue inmediatamente hacia la derecha en la recta numérica (el número "siguiente"):
- Para encontrar el sucesor de cualquier entero, simplemente le sumas $1$.
- Si el número desconocido es $n$, su sucesor es $n + 1$.
- Ejemplos:
- El sucesor de $5 \implies 5 + 1 = 6$.
- El sucesor de $-4 \implies -4 + 1 = -3$.
- El sucesor de un número $x \implies **x + 1**$.
- El doble del sucesor de $x \implies **2(x + 1)**$.
- El sucesor del doble de $x \implies **2x + 1**$.
Explicación formal
Definición formal
Sea $n \in \mathbb{Z}$ un número entero. La función sucesor (o consecutividad posterior) $S: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ asigna a cada elemento $n$ el valor único determinado por la adición del elemento neutro aditivo $1$:
$$S(n) = n + 1$$
Propiedades Peano de la Función Sucesor
- Inyectividad: $S(a) = S(b) \iff a + 1 = b + 1 \iff a = b$.
- Ausencia de ciclos finitos: Para todo $n \in \mathbb{Z}$, $S(n) \neq n$.
Distinción Sintáctica: Sucesor del Múltiplo vs Múltiplo del Sucesor
- El sucesor del doble de $n$: $S(2n) = 2n + 1$.
- El doble del sucesor de $n$: $2 \cdot S(n) = 2(n + 1) = 2n + 2$.
Síntesis didáctica
La función sucesor es el axioma fundamental para definir la inducción matemática y las sucesiones aritméticas de razón $1$.
La alternativa correcta es 'Se representa sumando una unidad a la variable: $n + 1$'. Definición de sucesor.
Definiciones clave
- Sucesor de un entero ($n + 1$): Número entero contiguo mayor en $1$ unidad respecto a la cantidad dada.
- Función sucesor ($S(n)$): Operación elemental $n \mapsto n+1$ sobre el conjunto de los enteros $\mathbb{Z}$.
- Puntuación y ámbito de los paréntesis: Diferencia funcional entre modificar el argumento antes o después de la función sucesor.
Propiedades y relaciones importantes
- Diferencia constante: La diferencia entre el sucesor de un número y el número original es siempre igual a $1$ ($S(n) - n = 1$).
- Composición de sucesores: El sucesor del sucesor de $n$ equivale a $S(S(n)) = (n + 1) + 1 = n + 2$.
Ejemplo guiado
Traduce al lenguaje algebraico la siguiente frase: "El triple del sucesor de un número $x$ equivale a treinta y seis".
- Paso 1: Expresamos el sucesor de la variable $x$: $S(x) = (x + 1)$.
- Paso 2: Aplicamos el multiplicador "el triple" sobre toda la expresión entre paréntesis: $3(x + 1)$.
- Paso 3: Igualamos a $36$: $3(x + 1) = 36$.
- Conclusión: La ecuación traducida es **$3(x + 1) = 36$**.
La alternativa correcta es 'Se traduce como la expresión $x^2 + 1$'. Primero el cuadrado $x^2$ y luego su sucesor $+ 1$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar la variable que representa al número inicial.
- Paso 2: Añadir $+ 1$ inmediatamente a la derecha de dicha variable.
- Paso 3: Si el enunciado aplica una operación (doble, triple, cuadrado) SOBRE el sucesor, encerrar $(n + 1)$ entre paréntesis.
- Paso 4: Si el enunciado pide el sucesor DE una operación, realizar primero la operación y sumar $+ 1$ al final.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Escribir $2x + 1$ al traducir "el doble del sucesor de $x$" en lugar de $2(x+1)$. Cómo corregirlo: En "el doble del sucesor", el 2 multiplica al paréntesis $2(x+1)$; en "el sucesor del doble", se suma 1 al final de $2x$.
- Error 2: Restar $1$ en lugar de sumar $1$ (escribir $n - 1$ para el sucesor). Cómo corregirlo: El sucesor SUMA $1$ ($n + 1$); restar 1 da el antecesor.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Variable: $k$.
- Sucesor suma 1: $k + 1$.
- Sucesor de $n \to n+1$.
- Sucesor de $(n+1) \to (n+1)+1 = n+2$.
- Sí, $-4 + 1 = -3$.
- Sí, primero el sucesor $(x+1)$ y luego elevado al cuadrado.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Representar algebraicamente el sucesor o número entero siguiente de una cantidad dada.
Sumar una unidad al número de referencia ($n + 1$) utilizando paréntesis $k(n + 1)$ cuando la expresión se multiplique o eleve a potencia.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En el ámbito de los números enteros, ¿qué sinónimo verbal se utiliza frecuentemente en los problemas algebraicos para referirse al 'sucesor' de la variable $x$? (v2)
Sucesor y consecutivo son términos intercambiables que denotan avanzar una unidad ($x+1$) en la serie de números enteros.
Respuesta: A) El consecutivo de $x$.
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En el ámbito de los números enteros, ¿qué sinónimo verbal se utiliza frecuentemente en los problemas algebraicos para referirse al 'sucesor' de la variable $x$? (v3)
Sucesor y consecutivo son términos intercambiables que denotan avanzar una unidad ($x+1$) en la serie de números enteros.
Respuesta: A) El consecutivo de $x$.
-
En el ámbito de los números enteros, ¿qué sinónimo verbal se utiliza frecuentemente en los problemas algebraicos para referirse al 'sucesor' de la variable $x$? (v1)
Sucesor y consecutivo son términos intercambiables que denotan avanzar una unidad ($x+1$) en la serie de números enteros.
Respuesta: A) El consecutivo de $x$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Indica cuál de las expresiones corresponde fielmente a la frase: 'El triple del sucesor de $z$'.
El sucesor es $(z+1)$. Se pide el triple de ese bloque, por tanto el 3 multiplica al paréntesis entero: $3(z+1)$.
Respuesta: A) $3(z + 1)$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La expresión $x + (x + 1)$ puede simplificarse a $2x + 1$, indicando que la suma de cualquier número con su sucesor siempre resulta en una estructura algebraica de un número impar?
La reducción de términos semejantes de $x + x + 1$ nos da $2x + 1$. Esta es la definición universal de número impar. Sumar dos consecutivos siempre da impar.
Respuesta: Verdadero
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¿La expresión $x + (x + 1)$ puede simplificarse a $2x + 1$, indicando que la suma de cualquier número con su sucesor siempre resulta en una estructura algebraica de un número impar?
La reducción de términos semejantes de $x + x + 1$ nos da $2x + 1$. Esta es la definición universal de número impar. Sumar dos consecutivos siempre da impar.
Respuesta: Verdadero
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¿La expresión $x + (x + 1)$ puede simplificarse a $2x + 1$, indicando que la suma de cualquier número con su sucesor siempre resulta en una estructura algebraica de un número impar?
La reducción de términos semejantes de $x + x + 1$ nos da $2x + 1$. Esta es la definición universal de número impar. Sumar dos consecutivos siempre da impar.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Durante una excavación arqueológica, se determina que un objeto A data del año $x$ (con $x$ siendo un año negativo antes de Cristo). Un objeto B se fabricó exactamente un año después. ¿Cuál expresión indica el año de fabricación del objeto B y qué significa en la recta cronológica? (v3)
'Un año después' es el sucesor. Se suma 1. Al ser $x$ un número negativo (ej. -500), sumarle 1 da -499, que es matemáticamente un valor mayor y cronológicamente más cercano al cero.
Respuesta: A) El año es $x + 1$, y el número será más cercano al cero (año 0) que el objeto A.
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Durante una excavación arqueológica, se determina que un objeto A data del año $x$ (con $x$ siendo un año negativo antes de Cristo). Un objeto B se fabricó exactamente un año después. ¿Cuál expresión indica el año de fabricación del objeto B y qué significa en la recta cronológica? (v2)
'Un año después' es el sucesor. Se suma 1. Al ser $x$ un número negativo (ej. -500), sumarle 1 da -499, que es matemáticamente un valor mayor y cronológicamente más cercano al cero.
Respuesta: A) El año es $x + 1$, y el número será más cercano al cero (año 0) que el objeto A.
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Durante una excavación arqueológica, se determina que un objeto A data del año $x$ (con $x$ siendo un año negativo antes de Cristo). Un objeto B se fabricó exactamente un año después. ¿Cuál expresión indica el año de fabricación del objeto B y qué significa en la recta cronológica? (v1)
'Un año después' es el sucesor. Se suma 1. Al ser $x$ un número negativo (ej. -500), sumarle 1 da -499, que es matemáticamente un valor mayor y cronológicamente más cercano al cero.
Respuesta: A) El año es $x + 1$, y el número será más cercano al cero (año 0) que el objeto A.