Traducción del exceso de un número sobre otro
Resumen inicial
La traducción del exceso de un número sobre otro consiste en expresar la diferencia positiva $A - B$ que indica cuánto mayor es la primera cantidad respecto a la segunda.
Explicación en palabras simples
En matemáticas, el exceso de un número sobre otro es simplemente la resta o diferencia entre el número mayor y el número menor:
- Frases equivalentes: "El exceso de $A$ sobre $B$", "Cuánto excede $A$ a $B$", "$A$ supera a $B$ en...".
- Traducción algebraicamente idéntica: $A - B$.
- Ejemplo 1: "El exceso de $20$ sobre $15$" $\implies 20 - 15 = 5$ (el $20$ excede al $15$ en $5$ unidades).
- Ejemplo 2: "El exceso de un número $x$ sobre $8$" $\implies **x - 8**$.
- Ejemplo 3: "El exceso del triple de $x$ sobre el doble de $y$" $\implies **3x - 2y**$.
Explicación formal
Definición formal
La relación de exceso aditivo mapea un par ordenado de expresiones $(A, B) \in \mathbb{R}[x]^2$ con $A \ge B$ en la magnitud de su diferencia no negativa $E(A,B) \in \mathbb{R}[x]$:
$$\Phi(\text{"El exceso de } A \text{ sobre } B\text{"}) = A - B \quad \text{donde } A = \text{Cantidad excedente}, \quad B = \text{Cantidad de referencia}$$
Igualdad de Exceso
Si se afirma que "El exceso de $A$ sobre $B$ es igual a $k$", la relación algebraica se traduce en la ecuación:
$$A - B = k \iff A = B + k$$
Síntesis didáctica
La traducción del exceso transforma comparaciones de magnitud en restas directas, siendo fundamental para el planteo de ecuaciones de edades, geometría y ganancias netas.
La alternativa correcta es 'El operador de resta o sustracción de la forma $A - B$'. El exceso es la diferencia $A - B$.
Definiciones clave
- Exceso de $A$ sobre $B$: Expresión $A - B$ que mide la cantidad de unidades en que $A$ sobrepasa a $B$.
- Cantidad excedente ($A$): Magnitud mayor o minuendo de la diferencia.
- Cantidad de referencia ($B$): Magnitud menor o sustraendo restado.
Propiedades y relaciones importantes
- Simetría respecto al complemento: "El exceso de $A$ sobre $B$ es $k$" equivale a decir " $B$ es menor que $A$ en $k$ unidades".
- No conmutatividad: El exceso de $A$ sobre $B$ ($A - B$) es la cantidad opuesta al exceso de $B$ sobre $A$ ($B - A$).
Ejemplo guiado
Traduce al lenguaje algebraico la siguiente frase: "El exceso del quíntuple de la edad de Juan ($j$) sobre la edad de Pedro ($p$) es igual a doce años".
- Paso 1: Identificamos la cantidad excedente (minuendo): "El quíntuple de la edad de Juan" $\implies 5j$.
- Paso 2: Identificamos la cantidad de referencia (sustraendo): "La edad de Pedro" $\implies p$.
- Paso 3: Formamos la diferencia del exceso: $5j - p$.
- Paso 4: Igualamos a las $12$ unidades: $5j - p = 12$.
- Conclusión: La ecuación traducida es **$5j - p = 12$**.
La alternativa correcta es 'Se traduce como la diferencia $x^2 - 3y$'. Excedente $x^2$, referencia $3y$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar en la frase la cantidad que excede (ubicada inmediatamente tras las palabras "el exceso de").
- Paso 2: Identificar la cantidad sobre la cual se mide el exceso (ubicada tras la palabra "sobre").
- Paso 3: Escribir la resta de la forma `Cantidad_Excedente - Cantidad_Referencia`.
- Paso 4: Igualar al valor numérico constante si el enunciado establece una equivalencia.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Sumar las dos cantidades en lugar de restarlas al traducir la palabra "exceso" (escribir $A + B$ para el exceso de $A$ sobre $B$). Cómo corregirlo: La palabra "exceso" exige una RESTA ($A - B$), pues mide una diferencia de tamaño.
- Error 2: Invertir los términos escribiendo $B - A$. Cómo corregirlo: La primera cantidad nombrada $A$ va ANTES del signo menos ($A - B$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Excedente: $x$. Referencia: $10$.
- Exceso: $x - 10$.
- Excedente: $3a$. Referencia: $2b$.
- Resultado: $3a - 2b$.
- Sí, $n - 4 = 15 \implies n = 19$.
- Sí, representa la diferencia de cuadrados $x^2 - y^2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Traducir la relación de exceso de una cantidad sobre otra al lenguaje algebraico formal.
Plantear la sustracción $A - B = k$ donde la cantidad mayor ($A$) actúa como minuendo y la menor ($B$) como sustraendo, expresando alternativamente $A = B + k$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué operación aritmética fundamental es requerida para calcular algebraicamente 'el exceso' de una cantidad $A$ sobre una cantidad $B$? (v2)
El exceso mide cuánto más grande es A en comparación con B. Eso es, por definición, la distancia entre ellos en la recta numérica, lo que se calcula restando $A - B$.
Respuesta: A) Una sustracción, estableciendo a la cantidad $A$ como el minuendo y a la $B$ como el sustraendo ($A - B$).
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¿Qué operación aritmética fundamental es requerida para calcular algebraicamente 'el exceso' de una cantidad $A$ sobre una cantidad $B$? (v3)
El exceso mide cuánto más grande es A en comparación con B. Eso es, por definición, la distancia entre ellos en la recta numérica, lo que se calcula restando $A - B$.
Respuesta: A) Una sustracción, estableciendo a la cantidad $A$ como el minuendo y a la $B$ como el sustraendo ($A - B$).
-
¿Qué operación aritmética fundamental es requerida para calcular algebraicamente 'el exceso' de una cantidad $A$ sobre una cantidad $B$? (v1)
El exceso mide cuánto más grande es A en comparación con B. Eso es, por definición, la distancia entre ellos en la recta numérica, lo que se calcula restando $A - B$.
Respuesta: A) Una sustracción, estableciendo a la cantidad $A$ como el minuendo y a la $B$ como el sustraendo ($A - B$).
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Selecciona la ecuación correcta que traduce el enunciado: 'El exceso del triple de un número sobre diez es igual a veinte'.
El mayor es el triple del número ($3x$). El menor es el diez ($10$). El exceso es la resta ($3x - 10$). Como es igual a veinte: $3x - 10 = 20$.
Respuesta: A) $3x - 10 = 20$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La afirmación 'la edad de Juan excede a la de Pedro en $5$ años' puede ser traducida válidamente tanto con la ecuación de diferencia ($J - P = 5$) como con una ecuación de igualación compensada ($J = P + 5$)?
Ambas formas son 100% equivalentes y correctas. $J - P = 5$ es la definición de exceso. Si despejamos J, obtenemos $J = P + 5$, que representa la lógica de 'Pedro más 5 años iguala a Juan'.
Respuesta: Verdadero
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¿La afirmación 'la edad de Juan excede a la de Pedro en $5$ años' puede ser traducida válidamente tanto con la ecuación de diferencia ($J - P = 5$) como con una ecuación de igualación compensada ($J = P + 5$)?
Ambas formas son 100% equivalentes y correctas. $J - P = 5$ es la definición de exceso. Si despejamos J, obtenemos $J = P + 5$, que representa la lógica de 'Pedro más 5 años iguala a Juan'.
Respuesta: Verdadero
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¿La afirmación 'la edad de Juan excede a la de Pedro en $5$ años' puede ser traducida válidamente tanto con la ecuación de diferencia ($J - P = 5$) como con una ecuación de igualación compensada ($J = P + 5$)?
Ambas formas son 100% equivalentes y correctas. $J - P = 5$ es la definición de exceso. Si despejamos J, obtenemos $J = P + 5$, que representa la lógica de 'Pedro más 5 años iguala a Juan'.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un contrato de alquiler estipula: 'La multa a pagar será equivalente al cuadrado del exceso de los días de retraso ($d$) sobre los días de gracia permitidos ($g$)'. ¿Cuál es la fórmula matemática que define la multa ($M$)? (v1)
Primero determinamos el exceso de retraso sobre gracia: $d - g$. Luego se nos pide el cuadrado de esa cantidad entera (del exceso). Entonces encerramos en paréntesis y elevamos: $(d - g)^2$.
Respuesta: A) $M = (d - g)^2$
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Un contrato de alquiler estipula: 'La multa a pagar será equivalente al cuadrado del exceso de los días de retraso ($d$) sobre los días de gracia permitidos ($g$)'. ¿Cuál es la fórmula matemática que define la multa ($M$)? (v2)
Primero determinamos el exceso de retraso sobre gracia: $d - g$. Luego se nos pide el cuadrado de esa cantidad entera (del exceso). Entonces encerramos en paréntesis y elevamos: $(d - g)^2$.
Respuesta: A) $M = (d - g)^2$
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Un contrato de alquiler estipula: 'La multa a pagar será equivalente al cuadrado del exceso de los días de retraso ($d$) sobre los días de gracia permitidos ($g$)'. ¿Cuál es la fórmula matemática que define la multa ($M$)? (v3)
Primero determinamos el exceso de retraso sobre gracia: $d - g$. Luego se nos pide el cuadrado de esa cantidad entera (del exceso). Entonces encerramos en paréntesis y elevamos: $(d - g)^2$.
Respuesta: A) $M = (d - g)^2$