Traducción del exceso de un número sobre otro
Comprender y traducir el concepto de 'exceso', que equivale matemáticamente a una diferencia o resta.
Introducción
Cuando decimos que un camión 'excede' el límite de peso por 500 kilos, estamos hablando de lo que le sobra. Y la única forma matemática de calcular cuánto le sobra a algo, es mediante la resta.
Explicación
Definición formal
El exceso mide cuánto más grande es A en comparación con B. Eso es, por definición, la distancia entre ellos en la recta numérica, lo que se calcula restando $A - B$.
Desarrollo didáctico
Palabras clave:
- El exceso de A sobre B: $A - B$
- A excede a B en C: $A - B = C$
- Lo que B es excedido por A: $A - B$
Frecuentemente, el concepto de exceso asusta por su redacción rebuscada. Sin embargo, 'el exceso de 10 sobre 7' es simplemente preguntar '¿cuánto le sobra al 10 para igualar al 7?'. La respuesta es la resta: $10 - 7 = 3$.
En álgebra, 'El exceso del doble de un número sobre 5 es 11' se traduce como: $2x - 5 = 11$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica a la entidad mayor (la que excede). Escríbela primero.
- Paso 2: Escribe el signo de resta (-).
- Paso 3: Identifica a la entidad menor (la que es superada). Escríbela después del signo menos.
- Paso 4: Si te dan el valor exacto del exceso, iguálalo a la resta (Ej. . = 10).
Ejemplos
1 Traduce algebraicamente: 'El exceso de tu salario sobre tus gastos es de mil dólares'.
- El que excede (el mayor): Salario (S).
- El superado (el menor): Gastos (G).
- La resta del exceso: S - G.
- El valor del exceso es mil: S - G = 1000.
2 Un contrato de alquiler estipula: 'La multa a pagar será equivalente al cuadrado del exceso de los días de retraso ($d$) sobre los días de gracia permitidos ($g$)'. ¿Cuál es la fórmula matemática que define la multa ($M$)? (v1) Opciones: A) $M = (d - g)^2$ · B) $M = d^2 - g^2$ · C) $M = d + g^2$ · D) $M = (g - d)^2$
- Primero determinamos el exceso de retraso sobre gracia: $d - g$. Luego se nos pide el cuadrado de esa cantidad entera (del exceso). Entonces encerramos en paréntesis y elevamos: $(d - g)^2$.
- Respuesta: $M = (d - g)^2$
3 Respecto de «Traducción del exceso de un número sobre otro»: ¿Se ajusta a la definición esta afirmación? «El **Exceso de un número sobre otro** se traduce planteando una **resta** donde la primera cantidad (el que excede) es el minuendo, y la segunda (el que es excedido) es el sustraendo: **$x - y$**»
- La afirmación coincide con la definición formal: El **Exceso de un número sobre otro** se traduce planteando una **resta** donde la primera cantidad (el que excede) es el minuendo, y la segunda (el que es excedido) es el sustraendo: **$x - y$**.
4 Respecto de «Traducción del exceso de un número sobre otro»: ¿Es compatible con el procedimiento esta afirmación? «Confundir el 'exceso' con un 'aumento', y sumar las variables ($A+B$) en lugar de restarlas»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: El **Exceso de un número sobre otro** se traduce planteando una **resta** donde la primera cantidad (el que excede) es el minuendo, y la segunda (el que es excedido) es el sustraendo: **$x - y$**.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el 'exceso' con un 'aumento', y sumar las variables ($A+B$) en lugar de restarlas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir el orden de la resta (escribir $B - A$ en lugar de $A - B$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Una adición, sumando el exceso a la cantidad menor."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Una división entre $A$ y $B$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Un cálculo de porcentaje sobre $A$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El **Exceso de un número sobre otro** se traduce planteando una **resta** donde la primera cantidad (el que excede) es el minuendo, y la segunda (el que es excedido) es el sustraendo: **$x - y$**.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué operación aritmética fundamental es requerida para calcular algebraicamente 'el exceso' de una cantidad $A$ sobre una cantidad $B$? (v2)
El exceso mide cuánto más grande es A en comparación con B. Eso es, por definición, la distancia entre ellos en la recta numérica, lo que se calcula restando $A - B$.
Respuesta: A) Una sustracción, estableciendo a la cantidad $A$ como el minuendo y a la $B$ como el sustraendo ($A - B$).
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¿Qué operación aritmética fundamental es requerida para calcular algebraicamente 'el exceso' de una cantidad $A$ sobre una cantidad $B$? (v3)
El exceso mide cuánto más grande es A en comparación con B. Eso es, por definición, la distancia entre ellos en la recta numérica, lo que se calcula restando $A - B$.
Respuesta: A) Una sustracción, estableciendo a la cantidad $A$ como el minuendo y a la $B$ como el sustraendo ($A - B$).
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¿Qué operación aritmética fundamental es requerida para calcular algebraicamente 'el exceso' de una cantidad $A$ sobre una cantidad $B$? (v1)
El exceso mide cuánto más grande es A en comparación con B. Eso es, por definición, la distancia entre ellos en la recta numérica, lo que se calcula restando $A - B$.
Respuesta: A) Una sustracción, estableciendo a la cantidad $A$ como el minuendo y a la $B$ como el sustraendo ($A - B$).
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Selecciona la ecuación correcta que traduce el enunciado: 'El exceso del triple de un número sobre diez es igual a veinte'.
El mayor es el triple del número ($3x$). El menor es el diez ($10$). El exceso es la resta ($3x - 10$). Como es igual a veinte: $3x - 10 = 20$.
Respuesta: A) $3x - 10 = 20$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La afirmación 'la edad de Juan excede a la de Pedro en $5$ años' puede ser traducida válidamente tanto con la ecuación de diferencia ($J - P = 5$) como con una ecuación de igualación compensada ($J = P + 5$)?
Ambas formas son 100% equivalentes y correctas. $J - P = 5$ es la definición de exceso. Si despejamos J, obtenemos $J = P + 5$, que representa la lógica de 'Pedro más 5 años iguala a Juan'.
Respuesta: Verdadero
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¿La afirmación 'la edad de Juan excede a la de Pedro en $5$ años' puede ser traducida válidamente tanto con la ecuación de diferencia ($J - P = 5$) como con una ecuación de igualación compensada ($J = P + 5$)?
Ambas formas son 100% equivalentes y correctas. $J - P = 5$ es la definición de exceso. Si despejamos J, obtenemos $J = P + 5$, que representa la lógica de 'Pedro más 5 años iguala a Juan'.
Respuesta: Verdadero
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¿La afirmación 'la edad de Juan excede a la de Pedro en $5$ años' puede ser traducida válidamente tanto con la ecuación de diferencia ($J - P = 5$) como con una ecuación de igualación compensada ($J = P + 5$)?
Ambas formas son 100% equivalentes y correctas. $J - P = 5$ es la definición de exceso. Si despejamos J, obtenemos $J = P + 5$, que representa la lógica de 'Pedro más 5 años iguala a Juan'.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un contrato de alquiler estipula: 'La multa a pagar será equivalente al cuadrado del exceso de los días de retraso ($d$) sobre los días de gracia permitidos ($g$)'. ¿Cuál es la fórmula matemática que define la multa ($M$)? (v1)
Primero determinamos el exceso de retraso sobre gracia: $d - g$. Luego se nos pide el cuadrado de esa cantidad entera (del exceso). Entonces encerramos en paréntesis y elevamos: $(d - g)^2$.
Respuesta: A) $M = (d - g)^2$
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Un contrato de alquiler estipula: 'La multa a pagar será equivalente al cuadrado del exceso de los días de retraso ($d$) sobre los días de gracia permitidos ($g$)'. ¿Cuál es la fórmula matemática que define la multa ($M$)? (v2)
Primero determinamos el exceso de retraso sobre gracia: $d - g$. Luego se nos pide el cuadrado de esa cantidad entera (del exceso). Entonces encerramos en paréntesis y elevamos: $(d - g)^2$.
Respuesta: A) $M = (d - g)^2$
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Un contrato de alquiler estipula: 'La multa a pagar será equivalente al cuadrado del exceso de los días de retraso ($d$) sobre los días de gracia permitidos ($g$)'. ¿Cuál es la fórmula matemática que define la multa ($M$)? (v3)
Primero determinamos el exceso de retraso sobre gracia: $d - g$. Luego se nos pide el cuadrado de esa cantidad entera (del exceso). Entonces encerramos en paréntesis y elevamos: $(d - g)^2$.
Respuesta: A) $M = (d - g)^2$