Representación del antecesor de un número
Resumen inicial
La representación del antecesor de un número consiste en expresar algebraicamente el entero inmediatamente anterior a una cantidad dada mediante la sustracción de una unidad $n - 1$.
Explicación en palabras simples
El antecesor de un número entero es el número que le antecede inmediatamente hacia la izquierda en la recta numérica (el número "anterior"):
- Para encontrar el antecesor de cualquier entero, simplemente le restas $1$.
- Si el número desconocido es $n$, su antecesor es $n - 1$.
- Ejemplos:
- El antecesor de $9 \implies 9 - 1 = 8$.
- El antecesor de $-5 \implies -5 - 1 = -6$.
- El antecesor de un número $x \implies **x - 1**$.
- El triple del antecesor de $x \implies **3(x - 1)**$.
- El antecesor del triple de $x \implies **3x - 1**$.
Explicación formal
Definición formal
Sea $n \in \mathbb{Z}$ un número entero. La función antecesor (o consecutividad anterior) $A: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ asigna a cada elemento $n$ el valor único determinado por el descuento del elemento neutro aditivo $1$:
$$A(n) = n - 1$$
Relación de Inversión con la Función Sucesor
La función antecesor es el operador inverso multiplicativo/aditivo de la función sucesor:
$$A(S(n)) = S(A(n)) = n \iff (n + 1) - 1 = (n - 1) + 1 = n$$
Distinción Sintáctica: Antecesor del Múltiplo vs Múltiplo del Antecesor
- El antecesor del triple de $n$: $A(3n) = 3n - 1$.
- El triple del antecesor de $n$: $3 \cdot A(n) = 3(n - 1) = 3n - 3$.
Síntesis didáctica
La representación del antecesor es fundamental para el estudio de secuencias decrecientes, sistemas de conteo y resolución de problemas de edades pasadas.
La alternativa correcta es 'Se representa restando una unidad a la variable: $n - 1$'. Definición de antecesor.
Definiciones clave
- Antecesor de un entero ($n - 1$): Número entero contiguo menor en $1$ unidad respecto a la cantidad dada.
- Función antecesor ($A(n)$): Operación elemental $n \mapsto n-1$ sobre el conjunto de los enteros $\mathbb{Z}$.
- Inverso del sucesor: Operador de retroceso unitario en la recta numérica.
Propiedades y relaciones importantes
- Diferencia constante: La diferencia entre el número original y su antecesor es siempre igual a $1$ ($n - A(n) = 1$).
- Composición de antecesores: El antecesor del antecesor de $n$ equivale a $A(A(n)) = (n - 1) - 1 = n - 2$.
Ejemplo guiado
Traduce al lenguaje algebraico la siguiente frase: "El cuádruple del antecesor de un número $y$ disminuido en cinco equivale a veinte".
- Paso 1: Expresamos el antecesor de la variable $y$: $A(y) = (y - 1)$.
- Paso 2: Aplicamos "el cuádruple" multiplicando toda la expresión entre paréntesis: $4(y - 1)$.
- Paso 3: Restamos las 5 unidades "disminuido en cinco": $4(y - 1) - 5$.
- Paso 4: Igualamos a $20$: $4(y - 1) - 5 = 20$.
- Conclusión: La ecuación traducida es **$4(y - 1) - 5 = 20$**.
La alternativa correcta es 'Se traduce como la expresión $y^3 - 1$'. Primero el cubo $y^3$ y luego su antecesor $- 1$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar la variable que representa al número inicial.
- Paso 2: Restar $- 1$ inmediatamente a la derecha de dicha variable.
- Paso 3: Si el enunciado aplica un multiplicador u otra operación SOBRE el antecesor, encerrar $(n - 1)$ entre paréntesis.
- Paso 4: Si el enunciado pide el antecesor DE una operación, calcular la operación y restar $- 1$ al final.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Sumar $1$ en lugar de restar $1$ al buscar el antecesor (escribir $n + 1$). Cómo corregirlo: El antecesor RESTA $1$ ($n - 1$); sumar 1 da el sucesor.
- Error 2: Excluir los paréntesis al aplicar un producto sobre el antecesor (escribir $3n - 1$ para "el triple del antecesor de $n$"). Cómo corregirlo: Debe escribirse $3(n - 1)$ con paréntesis; $3n - 1$ es "el antecesor del triple de $n$".
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Variable: $x$.
- Antecesor resta 1: $x - 1$.
- Antecesor de $m \to m-1$.
- Antecesor de $(m-1) \to (m-1)-1 = m-2$.
- Sí, $-10 - 1 = -11$.
- Sí, primero el antecesor $(a-1)$ y luego elevado al cubo.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Representar algebraicamente el antecesor o número entero inmediatamente anterior.
Restar una unidad a la variable de referencia ($n - 1$), manteniendo el orden correcto y agrupando $(n - 1)$ ante operadores compuestos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Desde una perspectiva posicional en la recta de los números enteros, ¿qué operación matemática básica garantiza siempre hallar el antecesor de cualquier número $x$? (v2)
El antecesor es el número que está inmediatamente a la izquierda en la recta entera, lo cual siempre se calcula restando 1.
Respuesta: A) La sustracción de la unidad ($x - 1$).
-
Desde una perspectiva posicional en la recta de los números enteros, ¿qué operación matemática básica garantiza siempre hallar el antecesor de cualquier número $x$? (v3)
El antecesor es el número que está inmediatamente a la izquierda en la recta entera, lo cual siempre se calcula restando 1.
Respuesta: A) La sustracción de la unidad ($x - 1$).
-
Desde una perspectiva posicional en la recta de los números enteros, ¿qué operación matemática básica garantiza siempre hallar el antecesor de cualquier número $x$? (v1)
El antecesor es el número que está inmediatamente a la izquierda en la recta entera, lo cual siempre se calcula restando 1.
Respuesta: A) La sustracción de la unidad ($x - 1$).
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Selecciona la expresión que traduce: 'El antecesor del producto entre $m$ y $n$'.
Primero construimos el producto: $mn$. Luego le sacamos el antecesor a ese bloque completo: $mn - 1$.
Respuesta: A) $mn - 1$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Las expresiones algebraicas $5x - 1$ y $5(x - 1)$ son traducciones equivalentes para el enunciado 'el antecesor del quíntuple de un número'?
No son equivalentes ni significan lo mismo. 'El antecesor del quíntuple' es $5x - 1$. La expresión $5(x - 1)$ significa 'el quíntuple del antecesor'.
Respuesta: Falso
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¿Las expresiones algebraicas $5x - 1$ y $5(x - 1)$ son traducciones equivalentes para el enunciado 'el antecesor del quíntuple de un número'?
No son equivalentes ni significan lo mismo. 'El antecesor del quíntuple' es $5x - 1$. La expresión $5(x - 1)$ significa 'el quíntuple del antecesor'.
Respuesta: Falso
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¿Las expresiones algebraicas $5x - 1$ y $5(x - 1)$ son traducciones equivalentes para el enunciado 'el antecesor del quíntuple de un número'?
No son equivalentes ni significan lo mismo. 'El antecesor del quíntuple' es $5x - 1$. La expresión $5(x - 1)$ significa 'el quíntuple del antecesor'.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un juego de acertijos computacionales pide al usuario: 'Ingresa un número entero $N$. La máquina calculará el cuadrado del antecesor de tu número'. ¿Qué expresión algebraica evalúa internamente la máquina? (v3)
Primero hallamos el antecesor, que es $(N-1)$. Luego, le aplicamos el cuadrado a toda esa entidad, requiriendo paréntesis: $(N - 1)^2$. La opción B sería 'el antecesor del cuadrado'.
Respuesta: A) $(N - 1)^2$
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Un juego de acertijos computacionales pide al usuario: 'Ingresa un número entero $N$. La máquina calculará el cuadrado del antecesor de tu número'. ¿Qué expresión algebraica evalúa internamente la máquina? (v1)
Primero hallamos el antecesor, que es $(N-1)$. Luego, le aplicamos el cuadrado a toda esa entidad, requiriendo paréntesis: $(N - 1)^2$. La opción B sería 'el antecesor del cuadrado'.
Respuesta: A) $(N - 1)^2$
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Un juego de acertijos computacionales pide al usuario: 'Ingresa un número entero $N$. La máquina calculará el cuadrado del antecesor de tu número'. ¿Qué expresión algebraica evalúa internamente la máquina? (v2)
Primero hallamos el antecesor, que es $(N-1)$. Luego, le aplicamos el cuadrado a toda esa entidad, requiriendo paréntesis: $(N - 1)^2$. La opción B sería 'el antecesor del cuadrado'.
Respuesta: A) $(N - 1)^2$