Modelamiento de cobros por tramos mediante función parte entera
Resumen inicial
El modelamiento de cobros por tramos mediante la función parte entera describe sistemas tarifarios donde el costo permanece constante en intervalos fijos y salta bruscamente al cambiar de tramo.
Explicación en palabras simples
En muchos servicios de la vida real, el cobro no es una línea recta continua, sino que sube por escalones:
- Estacionamientos: Si cobran $\$1.000$ por hora o fracción, pagarás $\$1.000$ si estás 10 minutos, y si te pasas a 1 hora y 1 minuto, ¡el cobro salta de golpe a $\$2.000$!
- Envíos y encomiendas: Se cobra por cada kilo completo o iniciado.
Estos cobros escalonados se modelan matemáticamente con la función parte entera.
Explicación formal
Una estructura tarifaria escalonada por tramos de longitud $L$ y tarifa unitaria por tramo $p$ con cargo base $C_0$ se modela analíticamente como:
- Cobro por unidad completa cumplida:
$$C(t) = C_0 + p \cdot \left\lfloor \frac{t}{L} \right\rfloor$$ - Cobro por fracción iniciada (función techo $\lceil \cdot \rceil$ expresada con parte entera):
$$C(t) = C_0 + p \cdot \left\lceil \frac{t}{L} \right\rceil = C_0 - p \cdot \left\lfloor -\frac{t}{L} \right\rfloor$$
Propiedades del modelo aplicado:
- Discontinuidades en los límites de tramo: Los cambios de valor ocurren en los múltiplos de $L$ ($t = kL$).
- Comportamiento no lineal: Modela fielmente la realidad contractual donde no existe prorrateo continuo.
La alternativa correcta es 'Porque el cobro salta de forma discontinua en bloques y no cambia segundo a segundo.'. La función parte entera modela la discontinuidad.
Definiciones clave
- Tarifa por tramo: Modelo de costo constante por intervalos discontinuos.
- Función techo $\lceil t \rceil$: Menor entero mayor o igual que $t$, útil para cobros por fracción iniciada.
Propiedades y relaciones importantes
- Sobreestimación respecto a la recta: En cobro por tramo iniciado, $C(t) \ge p t$, protegiendo el margen del prestador del servicio.
- Límites de tramo: Identificar si el límite superior del tramo está incluido o excluido.
Ejemplo guiado
Un estacionamiento cobra $\$1.200$ por cada media hora ($30\text{ minutos}$) o fracción iniciada de permanencia. Modela la función de costo $C(m)$ para $m$ minutos y calcula cuánto se paga por $75\text{ minutos}$.
- Paso 1: Identificar la duración del tramo: $L = 30\text{ min}$ y el precio por tramo: $p = \$1.200$.
- Paso 2: Al cobrarse por fracción iniciada, el número de tramos es $\lceil m/30 \rceil = -\lfloor -m/30 \rfloor$.
- Paso 3: Formular el modelo: $C(m) = 1.200 \cdot \lceil m/30 \rceil$.
- Paso 4: Evaluar en $m = 75\text{ min}$: $\frac{75}{30} = 2.5$.
- Paso 5: Aplicar la función techo: $\lceil 2.5 \rceil = 3\text{ tramos}$.
- Paso 6: Calcular el costo total: $C(75) = 1.200 \times 3 = \$3.600$.
La alternativa correcta es '$2.400'. Al cobrarse solo kilos completos: $\lfloor 3.9 \rfloor = 3 \implies 800 \times 3 = \$2.400$.
Procedimiento
- Paso 1: Determinar la unidad o bloque de tiempo/peso del tramo ($L$).
- Paso 2: Identificar el costo por bloque ($p$) y los cargos base iniciales ($C_0$).
- Paso 3: Determinar si el cobro es por unidad cumplida (piso $\lfloor t/L \rfloor$) o por fracción iniciada (techo $\lceil t/L \rceil$).
- Paso 4: Evaluar la función sustituyendo el valor concreto de la variable independiente.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Usar una regla de tres continua para calcular el costo de 45 minutos en un estacionamiento por hora fraccionada.
- Cómo corregirlo: En tarifas por tramos, no existe prorrateo; 45 minutos corresponden a 1 tramo completo de 1 hora.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $2\text{ h } 5\text{ min} = 2.083\text{ h} \implies \lceil 2.083 \rceil = 3$ horas.
- Paso 2: $3 \times 1.500 = \$4.500$.
- Paso 1: $\lfloor 4.8 \rfloor = 4$.
- Paso 2: $C(4.8) = 50(4) + 100 = 200 + 100 = \$300$.
- Paso 1: $\frac{1200}{500} = 2.4 \implies \lceil 2.4 \rceil = 3$ tramos.
- Paso 2: $3 \times 2.000 = \$6.000$.
- Paso 1: Escalar por $10$ y multiplicar por la tarifa: $C(t) = 500 \lfloor t/10 \rfloor$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Modelar y resolver problemas contextuales de cobros y tarifas por tramos.
Construyendo funciones escalonadas mediante la parte entera C(t) = p ⌊t/L⌋ + C0 y evaluando los tramos correspondientes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El número de tramos completos transcurridos en un tiempo $t$, con tramos de duración $T$, se calcula como:
La parte entera del cociente t/T da el número de tramos íntegramente completados.
Respuesta: A) $\lfloor t/T \rfloor$
-
La función parte entera modela cobros por tramo completo transcurrido, redondeando siempre hacia abajo.
Solo cuenta los tramos íntegramente completados, sin redondear hacia arriba.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué diferencia hay entre 'cobro por tramo completado' y 'cobro por tramo iniciado'?
Cobrar por tramo iniciado significa cobrar también por el tramo parcial que recién comenzó.
Respuesta: A) El segundo normalmente exige sumar 1 en casos no exactos
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$3{,}9$ horas cuentan como $4$ horas completas al aplicar la parte entera.
$\lfloor 3{,}9 \rfloor = 3$, pues aún no se ha completado la cuarta hora.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un estacionamiento cobra \$800 por cada hora completa. Si un vehículo estuvo $3{,}5$ horas, ¿cuánto se cobra?
$\lfloor 3{,}5 \rfloor = 3$ horas completas; $3 \times 800 = \$2400$.
Respuesta: A) \$2400
-
El mismo estacionamiento (\$800/hora completa), si un vehículo estuvo exactamente $4$ horas, ¿cuánto se cobra?
$\lfloor 4 \rfloor = 4$ horas completas (el tiempo ya es entero); $4 \times 800 = \$3200$.
Respuesta: A) \$3200
-
Un tiempo exactamente entero de horas genera cobro adicional por fracción de tramo.
Un tiempo entero no deja fracción de tramo pendiente, por lo que no hay cobro adicional.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un parquímetro cobra \$500 por cada 20 minutos completos. Si un auto estuvo 47 minutos, ¿cuánto se cobra?
$\lfloor 47/20 \rfloor = \lfloor 2{,}35 \rfloor = 2$ tramos; $2 \times 500 = \$1000$.
Respuesta: A) \$1000
-
No dividir correctamente el tiempo total por la duración del tramo antes de aplicar la parte entera es un error frecuente.
Ese paso es esencial antes de aplicar la función parte entera al cociente.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular cobros por tramos con la parte entera?
El cobro por tramo completado siempre redondea hacia abajo, nunca al entero más cercano.
Respuesta: A) Redondear al entero más cercano en vez de redondear hacia abajo