Modelamiento de cobros por tramos mediante función parte entera
Modelar situaciones de cobro escalonado (por tramos completos) usando la función parte entera.
Introducción
Los estacionamientos que cobran por hora completa (aunque hayas usado solo unos minutos de la siguiente hora) son el ejemplo perfecto de la vida real de la función parte entera en acción.
Explicación
Definición formal
Si el cobro es de $c$ pesos por cada tramo de duración $T$, y el tiempo usado es $t$, el número de tramos completados totalmente es $\left\lfloor \dfrac{t}{T} \right\rfloor$, y el cobro por tramos completos es $c \cdot \left\lfloor \dfrac{t}{T} \right\rfloor$.
Desarrollo didáctico
La clave es identificar si el cobro es "por tramo completo transcurrido" (parte entera) o "por tramo iniciado" (que normalmente requiere sumar 1 salvo en los múltiplos exactos, un caso distinto).
Un estacionamiento cobra \$1000 por cada hora completa transcurrida. Si un auto estuvo $2{,}7$ horas, el número de horas completas es $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$, así que el cobro por horas completas es $2 \times 1000 = \$2000$ (sin contar la hora parcial adicional, según las reglas específicas del estacionamiento).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica la duración de cada tramo y el costo por tramo.
- Paso 2: Divide el tiempo total usado por la duración del tramo.
- Paso 3: Aplica la función parte entera a ese cociente para obtener el número de tramos completos.
- Paso 4: Multiplica ese número por el costo de cada tramo.
Ejemplos
1 Un estacionamiento cobra \$800 por cada hora completa. Si un vehículo estuvo $3{,}5$ horas, ¿cuánto se cobra por las horas completas?
- $\lfloor 3{,}5 \rfloor = 3$ horas completas.
- $3 \times 800 = \$2400$.
2 El mismo estacionamiento, si un vehículo estuvo exactamente $4$ horas, ¿cuánto se cobra?
- $\lfloor 4 \rfloor = 4$ horas completas (el tiempo ya es entero).
- $4 \times 800 = \$3200$.
3 ¿La función parte entera modela cobros por tramo completo transcurrido?
- Redondea siempre hacia abajo, contando solo los tramos íntegramente completados.
4 ¿$3{,}9$ horas cuentan como $4$ horas completas al aplicar parte entera?
- $\lfloor 3{,}9 \rfloor = 3$, pues aún no se ha completado la cuarta hora.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Redondear al entero más cercano en vez de aplicar la parte entera (redondeo hacia abajo)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir "cobro por tramo completado" con "cobro por tramo iniciado" (que exigiría sumar 1 en casos no exactos)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que un tiempo exactamente entero no genera cobro adicional por fracción de tramo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No dividir correctamente el tiempo total por la duración de cada tramo antes de aplicar la parte entera."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Situaciones donde se cobra por **tramos completos** (por ejemplo, por cada hora iniciada, redondeando siempre hacia el tramo ya transcurrido) se modelan usando la función parte entera aplicada al tiempo dividido por la duración del tramo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
El número de tramos completos transcurridos en un tiempo $t$, con tramos de duración $T$, se calcula como:
La parte entera del cociente t/T da el número de tramos íntegramente completados.
Respuesta: A) $\lfloor t/T \rfloor$
-
La función parte entera modela cobros por tramo completo transcurrido, redondeando siempre hacia abajo.
Solo cuenta los tramos íntegramente completados, sin redondear hacia arriba.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué diferencia hay entre 'cobro por tramo completado' y 'cobro por tramo iniciado'?
Cobrar por tramo iniciado significa cobrar también por el tramo parcial que recién comenzó.
Respuesta: A) El segundo normalmente exige sumar 1 en casos no exactos
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$3{,}9$ horas cuentan como $4$ horas completas al aplicar la parte entera.
$\lfloor 3{,}9 \rfloor = 3$, pues aún no se ha completado la cuarta hora.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Un estacionamiento cobra \$800 por cada hora completa. Si un vehículo estuvo $3{,}5$ horas, ¿cuánto se cobra?
$\lfloor 3{,}5 \rfloor = 3$ horas completas; $3 \times 800 = \$2400$.
Respuesta: A) \$2400
-
El mismo estacionamiento (\$800/hora completa), si un vehículo estuvo exactamente $4$ horas, ¿cuánto se cobra?
$\lfloor 4 \rfloor = 4$ horas completas (el tiempo ya es entero); $4 \times 800 = \$3200$.
Respuesta: A) \$3200
-
Un tiempo exactamente entero de horas genera cobro adicional por fracción de tramo.
Un tiempo entero no deja fracción de tramo pendiente, por lo que no hay cobro adicional.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un parquímetro cobra \$500 por cada 20 minutos completos. Si un auto estuvo 47 minutos, ¿cuánto se cobra?
$\lfloor 47/20 \rfloor = \lfloor 2{,}35 \rfloor = 2$ tramos; $2 \times 500 = \$1000$.
Respuesta: A) \$1000
-
No dividir correctamente el tiempo total por la duración del tramo antes de aplicar la parte entera es un error frecuente.
Ese paso es esencial antes de aplicar la función parte entera al cociente.
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular cobros por tramos con la parte entera?
El cobro por tramo completado siempre redondea hacia abajo, nunca al entero más cercano.
Respuesta: A) Redondear al entero más cercano en vez de redondear hacia abajo