Representación gráfica de la función parte entera

Resumen inicial

La representación gráfica de la función parte entera es una función escalonada formada por segmentos horizontales de longitud 1, con extremo izquierdo cerrado $\bullet$ en $(k, k)$ y derecho abierto $\circ$ en $(k+1, k)$.

Explicación en palabras simples

$La representación gráfica de la función parte entera es una función escalonada formada por segmentos horizontales de longitud 1, con extremo izquierdo cerrado $\bullet$ en $(k, k)$ y derecho abierto $\circ$ en $(k+1, k)$$

El dibujo de la función parte entera $y = \lfloor x \rfloor$ parece una escalera infinita:
- Cada escalón mide $1\text{ unidad}$ de largo y está a una altura entera constante $y = k$.
- El extremo izquierdo está CERRADO (punto relleno $\bullet$): porque en $x = k$, el valor es exactamente $k$.
- El extremo derecho está ABIERTO (círculo vacío $\circ$): porque justo al llegar a $k+1$, la función da un salto al siguiente escalón de arriba.

Explicación formal

La gráfica cartesiana $\text{Graf}(\lfloor \cdot \rfloor)$ es la unión numerable disjunta de segmentos horizontales semiabiertos:
$$\text{Graf}(\lfloor \cdot \rfloor) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( [k, k+1[ \times \{k\} \right)$$

Características topológicas y analíticas:
- Discontinuidades de salto: Presenta discontinuidad esencial de salto finito de magnitud $\Delta y = 1$ en cada punto entero $x \in \mathbb{Z}$:
$$\lim_{x \to k^+} \lfloor x \rfloor = k, \quad \lim_{x \to k^-} \lfloor x \rfloor = k - 1$$
- Continuidad lateral: Es continua por la derecha en todo $\mathbb{R}$ ($f(k^+) = f(k)$), pero discontinua por la izquierda en $\mathbb{Z}$.
- Derivada nula casi en todas partes: $f'(x) = 0$ para todo $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$.

Definiciones clave

Función escalonada: Función constante por tramos en intervalos contiguos.
Punto de salto: Valor de la abscisa donde la función experimenta una discontinuidad no evitable.

Propiedades y relaciones importantes

Orientación de extremos: Siempre cerrado a la izquierda $(k, k)$ y abierto a la derecha $(k+1, k)$.
Modificaciones de escala: En $y = a\lfloor bx \rfloor$, la longitud de cada escalón es $\frac{1}{|b|}$ y la altura del salto es $|a|$.

Ejemplo guiado

$Ejemplo La representación gráfica de la función parte entera es una función escalonada formada por segmentos horizontales de longitud 1, con extremo izquierdo cerrado $\bullet$ en $(k, k)$ y derecho abierto $\circ$ en $(k+1, k)$$

Describe y grafica los escalones de la función $f(x) = \lfloor x \rfloor$ en el intervalo $[-2, 2[$.

Paso 1: Para $x \in [-2, -1[$: segmento a altura $y = -2$, con punto cerrado en $(-2, -2)$ y abierto en $(-1, -2)$.
Paso 2: Para $x \in [-1, 0[$: segmento a altura $y = -1$, con punto cerrado en $(-1, -1)$ y abierto en $(0, -1)$.
Paso 3: Para $x \in [0, 1[$: segmento sobre el eje X ($y = 0$), con punto cerrado en $(0, 0)$ y abierto en $(1, 0)$.
Paso 4: Para $x \in [1, 2[$: segmento a altura $y = 1$, con punto cerrado en $(1, 1)$ y abierto en $(2, 1)$.
Paso 5: Constatar la estructura de escalera con saltos unitarios en cada entero.

Procedimiento

Paso 1: Dividir el eje $X$ en intervalos unitarios semiabiertos $[k, k+1[$.
Paso 2: Trazar un segmento horizontal a la altura entera $y = k$ para cada tramo.
Paso 3: Marcar un punto relleno $\bullet$ en el extremo izquierdo $(k, k)$.
Paso 4: Marcar un círculo vacío $\circ$ en el extremo derecho $(k+1, k)$.
Paso 5: No unir los escalones con líneas verticales.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Dibujar líneas verticales continuas conectando los escalones.
Cómo corregirlo: La función es discontinua; no debe dibujarse ninguna línea vertical entre los escalones.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Cada escalón posee extremo izquierdo cerrado [k, k) y extremo derecho abierto (k+1, k)."

"La gráfica de la función parte entera está formada por segmentos horizontales de longitud 1."

"Unir los escalones con líneas verticales continuas."

"Olvidar la escala del intervalo al modificar el argumento interno."

"Dibujar los círculos vacíos a la izquierda y los rellenos a la derecha."

Al terminar debes poder

$Resumen La representación gráfica de la función parte entera es una función escalonada formada por segmentos horizontales de longitud 1, con extremo izquierdo cerrado $\bullet$ en $(k, k)$ y derecho abierto $\circ$ en $(k+1, k)$$

Representar e interpretar gráficamente la función parte entera y sus transformaciones escalonadas.

Trazando segmentos horizontales en intervalos [k, k+1[ con extremo izquierdo cerrado y derecho abierto.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

En cada tramo de la gráfica de $\lfloor x \rfloor$, el extremo izquierdo se marca con:
El extremo izquierdo de cada tramo [n,n+1[ está incluido, por eso se marca sólido.

Respuesta: A) Punto sólido, porque ese entero pertenece al tramo
La gráfica de la función parte entera tiene forma de:
Consiste en segmentos horizontales que saltan en cada valor entero.

Respuesta: A) Escalera
Cada escalón de la gráfica de $\lfloor x \rfloor$ tiene longitud horizontal igual a 1.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

El extremo derecho de cada escalón está incluido en ese tramo.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Unir los escalones con líneas verticales sugiere correctamente la continuidad de la función.
En el tramo $[4,5[$ del gráfico de $\lfloor x \rfloor$, ¿a qué altura está el segmento horizontal?
Para todo x en ese intervalo, la parte entera vale 4.

Respuesta: A) $y=4$
¿Qué ocurre en el gráfico de $\lfloor x \rfloor$ exactamente en $x=7$?
El valor salta de 6 (justo antes) a 7 (en x=7 y después).

Respuesta: A) Hay una discontinuidad de salto, el valor pasa de 6 a 7

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Todos los escalones de la gráfica de $\lfloor x \rfloor$ tienen la misma longitud vertical (altura del salto).
Invertir los puntos sólidos y abiertos en los extremos de cada escalón es un error porque:
La ubicación de los puntos determina exactamente qué valores incluye cada intervalo [n,n+1[.

Respuesta: A) Cambia cuál entero realmente pertenece a cada tramo
¿Cuál es el error frecuente al graficar la función parte entera?
Cada tramo debe ser horizontal, no una recta inclinada.

Respuesta: A) Dibujar líneas inclinadas en vez de segmentos horizontales

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación