Representación gráfica de la función parte entera
Reconocer y construir la gráfica escalonada de la función parte entera.
Introducción
La gráfica de esta función no es una curva suave: parece una escalera, con tramos horizontales que saltan de golpe al siguiente escalón.
Explicación
Definición formal
Para $x \in [n, n+1[$ con $n \in \mathbb{Z}$, se cumple $\lfloor x \rfloor = n$. Por tanto, la gráfica consiste en la unión de segmentos horizontales $\{(x,n) : x \in [n,n+1[\}$ para cada entero $n$, generando discontinuidades de salto en cada valor entero.
Desarrollo didáctico
Cada "escalón" horizontal comienza exactamente en un número entero (con punto sólido, porque ese entero sí pertenece al tramo) y termina justo antes del siguiente entero (con punto abierto, porque ese siguiente valor ya pertenece al escalón de arriba).
Entre $x=2$ y $x=3$ (sin incluirlo), la función vale constantemente $2$. En $x=3$ exactamente, salta abruptamente a valer $3$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Divide la recta numérica en intervalos de longitud 1 entre enteros consecutivos.
- Paso 2: Para cada intervalo $[n,n+1[$, dibuja un segmento horizontal a la altura $n$.
- Paso 3: Marca el extremo izquierdo de cada segmento con punto sólido (incluido) y el derecho con punto abierto (excluido).
Ejemplos
1 En el tramo $[4,5[$ del gráfico de $\lfloor x \rfloor$, ¿a qué altura está el segmento horizontal?
- Para todo $x$ en ese intervalo, $\lfloor x \rfloor = 4$.
- El segmento está a la altura $y=4$.
2 ¿Qué ocurre en el gráfico de $\lfloor x \rfloor$ exactamente en $x=7$?
- El valor de la función salta de $6$ (justo antes de 7) a $7$ (en 7 mismo e inmediatamente después).
- Hay una discontinuidad de salto en $x=7$.
3 ¿Cada escalón de la gráfica tiene longitud horizontal igual a 1?
- Cada intervalo $[n,n+1[$ tiene longitud exactamente 1.
4 ¿El extremo derecho de cada escalón está incluido en ese tramo?
- El extremo derecho corresponde ya al valor entero siguiente, marcado con punto abierto en ese tramo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Dibujar líneas inclinadas en vez de segmentos horizontales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir los puntos sólidos y abiertos en los extremos de cada escalón."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Unir los escalones con líneas verticales, sugiriendo continuidad donde en realidad hay saltos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que todos los escalones tienen la misma longitud vertical (la altura del salto sí es constante, pero no debe confundirse con la longitud horizontal)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La gráfica de $f(x)=\lfloor x \rfloor$ tiene forma de **escalera**: consiste en segmentos horizontales de longitud 1, cada uno a la altura de un número entero, con un punto sólido en el extremo izquierdo y un punto abierto en el extremo derecho de cada tramo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En cada tramo de la gráfica de $\lfloor x \rfloor$, el extremo izquierdo se marca con:
El extremo izquierdo de cada tramo [n,n+1[ está incluido, por eso se marca sólido.
Respuesta: A) Punto sólido, porque ese entero pertenece al tramo
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La gráfica de la función parte entera tiene forma de:
Consiste en segmentos horizontales que saltan en cada valor entero.
Respuesta: A) Escalera
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Cada escalón de la gráfica de $\lfloor x \rfloor$ tiene longitud horizontal igual a 1.
Cada intervalo [n,n+1[ tiene longitud exactamente 1.
Respuesta: Verdadero
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El extremo derecho de cada escalón está incluido en ese tramo.
El extremo derecho corresponde ya al valor entero siguiente, marcado con punto abierto.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Unir los escalones con líneas verticales sugiere correctamente la continuidad de la función.
Es un error frecuente: unir con líneas verticales sugiere continuidad donde en realidad hay saltos.
Respuesta: Falso
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En el tramo $[4,5[$ del gráfico de $\lfloor x \rfloor$, ¿a qué altura está el segmento horizontal?
Para todo x en ese intervalo, la parte entera vale 4.
Respuesta: A) $y=4$
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¿Qué ocurre en el gráfico de $\lfloor x \rfloor$ exactamente en $x=7$?
El valor salta de 6 (justo antes) a 7 (en x=7 y después).
Respuesta: A) Hay una discontinuidad de salto, el valor pasa de 6 a 7
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Todos los escalones de la gráfica de $\lfloor x \rfloor$ tienen la misma longitud vertical (altura del salto).
Cada salto entre escalones consecutivos tiene altura exactamente 1.
Respuesta: Verdadero
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Invertir los puntos sólidos y abiertos en los extremos de cada escalón es un error porque:
La ubicación de los puntos determina exactamente qué valores incluye cada intervalo [n,n+1[.
Respuesta: A) Cambia cuál entero realmente pertenece a cada tramo
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¿Cuál es el error frecuente al graficar la función parte entera?
Cada tramo debe ser horizontal, no una recta inclinada.
Respuesta: A) Dibujar líneas inclinadas en vez de segmentos horizontales