Uso de función parte entera en contextos financieros

M2 — PAES electiva Avanzada

Resumen inicial

En contextos financieros y económicos, la función parte entera se utiliza para modelar cantidades discretas indivisibles, compras máximas bajo presupuesto y devengo periódico de intereses.

Explicación en palabras simples

En contextos financieros y económicos, la función parte entera se utiliza para modelar cantidades discretas indivisibles, compras máximas bajo presupuesto y devengo periódico de intereses

En el mundo real del dinero, muchas cosas no se pueden fraccionar:
- No puedes comprar $3,7$ pasajes de avión ni $15,8$ acciones de una empresa: compras $3$ o $15$ unidades completas.
- Capacidad máxima de compra: Divides tu presupuesto total entre el precio unitario y aplicas la parte entera:
$$N_{\text{máx}} = \left\lfloor \frac{\text{Presupuesto}}{\text{Precio}} \right\rfloor$$
- Intereses: Si el banco paga intereses cada año cumplido, al año y medio solo te ha pagado el interés de $1$ año.

Explicación formal

En optimización y análisis financiero, la función parte entera formaliza la restricción de integralidad sobre magnitudes discretas:

  1. Capacidad de compra de activos indivisibles:
    $$N(P) = \left\lfloor \frac{P}{p_u} \right\rfloor, \quad P = \text{Presupuesto disponible}, \, p_u = \text{Precio unitario}$$
    El sobrante no utilizado (dinero residual) es $R = P - p_u \cdot N(P) = p_u \cdot \left\{ \frac{P}{p_u} \right\}$.
  2. Capitalización discreta en períodos cerrados:
    $$M(t) = C_0 \cdot (1 + r)^{\lfloor t/k \rfloor}$$
    Donde $k$ es el período de capitalización (los intereses no se abonan de forma continua).
Comprueba tu avance Con un presupuesto de $\$50.000$ y un precio de $\$6.000$ por artículo indivisible, ¿cuántos artículos se pueden comprar?

Definiciones clave

  • Restricción de integralidad: Condición económica donde la cantidad adquirible debe pertenecer al conjunto de los enteros no negativos $\mathbb{N}_0$.
  • Dinero residual: Saldo que queda sin gastar debido a la imposibilidad de fraccionar el bien.

Propiedades y relaciones importantes

  • No redondeo comercial: No se puede aplicar redondeo clásico (si alcanza para $9.9$ unidades, solo se pueden comprar $9$).
  • Invarianza de tramo: El número de unidades no cambia mientras el presupuesto permanezca en el intervalo $[N p_u, (N+1)p_u[$.

Ejemplo guiado

Ejemplo En contextos financieros y económicos, la función parte entera se utiliza para modelar cantidades discretas indivisibles, compras máximas bajo presupuesto y devengo periódico de intereses

Un inversionista dispone de un capital de $\$250.000$ para comprar acciones de una empresa que cotizan a $\$7.400$ cada una.
1) Determina la cantidad máxima de acciones que puede comprar.
2) Calcula el dinero sobrante que no se utilizó.

  • Paso 1: Plantear la fórmula de capacidad entera: $N = \left\lfloor \frac{250.000}{7.400} \right\rfloor$.
  • Paso 2: Calcular el cociente decimal: $\frac{250.000}{7.400} \approx 33.7837$.
  • Paso 3: Aplicar la parte entera: $\lfloor 33.7837 \rfloor = 33\text{ acciones}$.
  • Paso 4: Calcular el dinero efectivamente invertido: $33 \times 7.400 = \$244.200$.
  • Paso 5: Calcular el dinero sobrante: $250.000 - 244.200 = \$5.800$.
Comprueba tu avance Si una inversión paga un bono de $\$100.000$ por cada año completo cumplido ($B(t) = 100.000 \lfloor t \rfloor$), ¿cuánto bono se recibe a los 2 años y 11 meses ($t = 2.92$)?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el capital total disponible y el costo unitario del bien o la tasa periódica.
  • Paso 2: Calcular el cociente directo entre presupuesto y costo unitario.
  • Paso 3: Aplicar la función parte entera $\lfloor \cdot \rfloor$ para obtener la cantidad máxima entera de unidades.
  • Paso 4: Multiplicar la cantidad entera por el precio para obtener el gasto real y restar del capital para hallar el saldo residual.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Redondear al entero más cercano (ej: considerar $8.8$ como $9$ artículos).
  • Cómo corregirlo: En compras bajo presupuesto, el dinero no alcanza para la unidad adicional; se debe aplicar estrictamente la parte entera (truncar hacia abajo).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Un comerciante tiene $\$180.000$ y cada caja cuesta $\$14.500$. ¿Cuántas cajas compra y cuánto le sobra?
2 Un depósito rinde $\$40.000$ de interés cada fin de año. ¿Cuánto interés se ha pagado a los 4.5 años?
3 Se requieren $12\text{ metros}$ de tela por cortina. Con un rollo de $100\text{ metros}$, ¿cuántas cortinas completas se fabrican?
4 Si $t$ está en meses y los intereses se abonan cada semestre ($6\text{ meses}$), ¿cómo se modela el número de liquidaciones?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Redondear hacia arriba excediendo el capital disponible."
"En modelos financieros discretos, los intereses solo se generan al cumplirse los períodos enteros estipulados."
"Asumir que el dinero sobrante permite comprar fracciones de productos indivisibles."
"No identificar el período discreto de liquidación financiera."
"La capacidad máxima de compra de bienes indivisibles se modela como N = ⌊Presupuesto / Precio⌋."

Al terminar debes poder

Resumen En contextos financieros y económicos, la función parte entera se utiliza para modelar cantidades discretas indivisibles, compras máximas bajo presupuesto y devengo periódico de intereses

🎯 QUÉ Objetivo

Aplicar la función parte entera en la resolución de problemas financieros y de asignación discreta de recursos.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Calculando capacidades máximas enteras N = ⌊P/pu⌋ y determinando los saldos residuales no utilizados.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra y Funciones / Simetrías y Funciones Especiales

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. En contextos financieros con unidades indivisibles, la parte entera se usa porque:

  2. El dinero sobrante tras aplicar la parte entera en un retiro de cajero:

  3. Se puede comprar una fracción de acción usando el modelo de parte entera.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Un cajero que solo entrega billetes completos usa la función parte entera para calcular cuántos billetes entregar.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Un cajero solo tiene billetes de \$5.000. Si se solicitan \$23.700, ¿cuántos billetes completos puede entregar?

  2. Si un cajero solo entrega billetes de \$10.000 y un cliente solicita \$47.300, puede entregar exactamente \$40.000.

  3. Con \$150.000 disponibles, y cada acción cuesta \$18.000, ¿cuántas acciones completas se pueden comprar?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Una empresa paga bonos completos de \$25.000 con un fondo de \$212.000. ¿Cuántos bonos completos puede pagar?

  2. Confundir la cantidad de unidades entregadas con el monto total entregable es un error frecuente en este contexto.

  3. ¿Cuál es el error frecuente al aplicar la parte entera en contextos financieros?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

¿Necesitas más ayuda o una clase particular?

Contáctame directamente para resolver dudas, preparar exámenes o agendar clases particulares personalizadas 1 a 1.

Escríbeme por WhatsApp Llamar directamente