Identificación del coeficiente de posición

Resumen inicial

El coeficiente de posición $n$ es el término constante de la función afín $f(x) = mx + n$, que determina la ordenada del punto de corte de la recta con el eje $Y$ en $(0, n)$.

Explicación en palabras simples

El coeficiente de posición $n$ es el término constante de la función afín $f(x) = mx + n$, que determina la ordenada del punto de corte de la recta con el eje $Y$ en $(0, n)$

El coeficiente de posición (que se anota con la letra $n$) es el número suelto que no tiene $x$ en la fórmula $f(x) = mx + n$.

¿Qué significa en el dibujo?
Es exactamente la altura donde la recta cruza el eje vertical $Y$:
- Si $n > 0$, la recta corta al eje $Y$ por arriba del origen.
- Si $n < 0$, la recta corta al eje $Y$ por debajo del origen.
- El punto exacto de cruce es $(0, n)$.

Explicación formal

En la función afín $f(x) = mx + n$, el coeficiente de posición (o intercepto en $Y$) es el valor de la imagen evaluada en el origen de abscisas:
$$n = f(0) = m(0) + n$$

Propiedades geométricas y analíticas:
- Punto de corte con eje $Y$: $P_Y = (0, n)$.
- Familia de rectas con igual $n$: Conjunto de rectas concurrentes en el punto $(0, n)$ con diversas pendientes.
- Despeje desde la forma general: En $Ax + By + C = 0$, el coeficiente de posición es $n = -\frac{C}{B}$ (para $B \neq 0$).

Definiciones clave

Coeficiente de posición $n$: Término independiente que fija la altura de corte vertical de la recta.
Ordenada en el origen: Valor de $y$ cuando $x = 0$.

Propiedades y relaciones importantes

Traslación: Modificar $n$ produce una traslación vertical rígida de la recta sin alterar su inclinación.
Corte único: Toda función afín posee exactamente un único corte con el eje $Y$.

Ejemplo guiado

Ejemplo El coeficiente de posición $n$ es el término constante de la función afín $f(x) = mx + n$, que determina la ordenada del punto de corte de la recta con el eje $Y$ en $(0, n)$

Determina el coeficiente de posición $n$ y las coordenadas del corte con el eje Y para la función $f(x) = \frac{8 - 6x}{2}$.

Paso 1: Separar la fracción en dos términos: $f(x) = \frac{8}{2} - \frac{6x}{2}$.
Paso 2: Simplificar: $f(x) = 4 - 3x = -3x + 4$.
Paso 3: Identificar el término constante: $n = 4$.
Paso 4: Escribir las coordenadas del punto de corte con el eje Y: $(0, 4)$.

Procedimiento

Paso 1: Ordenar la función en la forma $f(x) = mx + n$.
Paso 2: Localizar el término numérico constante que no posee la variable $x$.
Paso 3: Conservar estrictamente el signo del término para definir $n$.
Paso 4: Expresar el punto de intersección con el eje Y como el par ordenado $(0, n)$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Confundir el coeficiente de posición con la pendiente cuando la función está escrita al revés (ej: en $f(x) = 12 - 3x$, decir $n = -3$).
Cómo corregirlo: La pendiente $m$ siempre acompaña a la $x$; el coeficiente de posición $n$ es el número que está completamente solo ($n = 12$).

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Olvidar el signo negativo al extraer n."

"Escribir el corte con el eje Y como (n, 0) en vez de (0, n)."

"Confundir n con la abscisa en el origen (-n/m)."

"El coeficiente de posición n es el valor de f(0), indicando la ordenada del corte con el eje Y."

"Toda función afín con n > 0 corta al eje Y en su semieje positivo."

Al terminar debes poder

Resumen El coeficiente de posición $n$ es el término constante de la función afín $f(x) = mx + n$, que determina la ordenada del punto de corte de la recta con el eje $Y$ en $(0, n)$

Identificar e interpretar el coeficiente de posición n en funciones afines.

Aislando el término independiente y determinando las coordenadas exactas del corte con el eje de las ordenadas (0, n).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

El coeficiente de posición afecta la inclinación de la recta.
¿A qué punto corresponde el coeficiente de posición en el gráfico?
Es el punto de corte con el eje y.

Respuesta: A) $(0,n)$
El coeficiente de posición $n$ de una función afín es igual a:
Al evaluar mx+n en x=0, se obtiene exactamente n.

Respuesta: B) $f(0)$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

El coeficiente de posición puede ser un número negativo.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Identifica el coeficiente de posición de $f(x)=7x+21$.
El término independiente es 21.

Respuesta: A) $21$
Si $C(x)=100x+2500$ modela un costo con cargo fijo, entonces $C(0)=2500$.
Si $f(x)=mx+n$ pasa por $(0,-6)$, ¿cuál es $n$?
El punto (0,-6) indica directamente que n=-6.

Respuesta: A) $-6$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Si dos planes de servicio tienen el mismo coeficiente de posición, ambos cuestan lo mismo cuando el consumo es cero.
Un plan de gimnasio cuesta \$25000 fijos más \$2000 por clase adicional. ¿Qué representa el coeficiente de posición en este modelo?
El coeficiente de posición corresponde al valor cuando x=0, es decir, el cargo fijo sin clases adicionales.

Respuesta: A) El costo mensual sin asistir a ninguna clase adicional.
Un estanque de agua ya tenía 500 litros antes de empezar a llenarse a razón de 20 litros por minuto, según $V(t)=20t+500$. ¿Qué representa el 500?
El coeficiente de posición corresponde al valor en t=0, el volumen inicial antes de que comience a llenarse.

Respuesta: A) El volumen inicial (coeficiente de posición) antes de empezar a llenarse.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación