Determinación de la intersección con el eje de las ordenadas

Resumen inicial

La intersección con el eje de las ordenadas (eje Y) es el punto cartesiano $(0, n)$ obtenido al evaluar la función en $x = 0$.

Explicación en palabras simples

La intersección con el eje de las ordenadas (eje Y) es el punto cartesiano $(0, n)$ obtenido al evaluar la función en $x = 0$

Para encontrar dónde corta la recta al eje vertical $Y$:
1. Haces que la entrada sea cero ($x = 0$).
2. Calculas $y = f(0) = m(0) + n = n$.
3. Escribes el punto completo con sus dos coordenadas: $(0, n)$.

Este punto siempre tiene un $0$ en la primera posición.

Explicación formal

Dada una función afín $f(x) = mx + n$, su intersección con el eje de ordenadas $Y = \{(0, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \in \mathbb{R}\}$ es el conjunto unitario:
$$\text{Graf}(f) \cap \text{Eje } Y = \{(0, f(0))\} = \{(0, n)\}$$

Propiedades del punto de corte vertical:
- Existencia y unicidad: Toda función real definida en $x = 0$ posee exactamente un punto de intersección con el eje $Y$.
- Signo de la ordenada: Si $n > 0$ corta en el semieje superior; si $n < 0$ corta en el semieje inferior.

Definiciones clave

Intersección con eje Y: Par ordenado $(0, n)$ donde la curva cruza la recta vertical $x = 0$.
Abscisa nula: Condición geométrica obligatoria ($x = 0$) de todo punto sobre el eje $Y$.

Propiedades y relaciones importantes

Punto de partida de graficación: Es el punto base más cómodo para iniciar el trazado de una recta afín.
Relación con la función afín inversa: El corte con el eje Y de $f$ se convierte en el corte con el eje X de $f^{-1}$.

Ejemplo guiado

Ejemplo La intersección con el eje de las ordenadas (eje Y) es el punto cartesiano $(0, n)$ obtenido al evaluar la función en $x = 0$

Determina las coordenadas del punto de corte con el eje de las ordenadas para la recta $3x - 5y = 15$.

Paso 1: Aplicar la condición de corte con el eje Y sustituyendo $x = 0$: $3(0) - 5y = 15$.
Paso 2: Simplificar la ecuación: $-5y = 15$.
Paso 3: Despejar la ordenada: $y = \frac{15}{-5} = -3$.
Paso 4: Escribir el par ordenado resultante: $(0, -3)$.

Procedimiento

Paso 1: Sustituir la variable independiente $x = 0$ en la fórmula de la función.
Paso 2: Calcular el valor numérico resultante de $y = f(0)$.
Paso 3: Formar el par de coordenadas colocando $0$ en la abscisa e $y$ en la ordenada.
Paso 4: Escribir la respuesta final en la notación de punto cartesiano $(0, n)$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Escribir el punto de corte con el eje Y como $(n, 0)$ en lugar de $(0, n)$.
Cómo corregirlo: Sobre el eje vertical $Y$, el valor de $X$ siempre es cero, por lo que el cero va en primer lugar: $(0, n)$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La intersección con el eje Y es el punto (0, n) donde la recta corta al eje vertical."

"Confundir el eje de las ordenadas (Y) con el eje de las abscisas (X)."

"Toda función afín tiene un único punto de corte con el eje de las ordenadas."

"Invertir el orden de las coordenadas escribiendo (n, 0)."

"Dar solo el número n sin expresar el par ordenado (0, n)."

Al terminar debes poder

Resumen La intersección con el eje de las ordenadas (eje Y) es el punto cartesiano $(0, n)$ obtenido al evaluar la función en $x = 0$

Determinar el punto exacto de intersección con el eje de las ordenadas en funciones afines.

Evaluando x = 0 en la regla funcional y expresando el resultado formalmente como el par cartesiano (0, n).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

El punto de intersección con el eje $y$ siempre tiene abscisa cero.
La intersección con el eje $y$ de $f(x)=mx+n$ es el punto:
Se obtiene evaluando f en x=0.

Respuesta: A) $(0,n)$
¿La pendiente afecta el valor de la intersección con el eje $y$?
Al evaluar en x=0, el término mx se anula independiente de m.

Respuesta: A) No, solo depende de $n$.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

La intersección con el eje y se calcula resolviendo $f(x)=0$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Determina la intersección con el eje $y$ de $f(x)=9x-4$.
f(0)=9(0)-4=-4.

Respuesta: A) $(0,-4)$
La intersección con el eje $y$ de $f(x)=-2x+10$ es $(0,10)$.
Si $f(x)=mx+n$ tiene intersección con el eje $y$ en $(0,-8)$ y pendiente $3$, ¿cuál es su fórmula?
n=-8 y m=3, dando f(x)=3x-8.

Respuesta: A) $f(x)=3x-8$

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

El gráfico de ingresos versus unidades vendidas corta al eje $y$ en $(0,-5000)$. ¿Qué representa este valor negativo en el contexto de un negocio?
El intercepto negativo modela una pérdida base (costos fijos) antes de generar ingresos por ventas.

Respuesta: A) Una pérdida inicial de \$5000 antes de vender cualquier unidad (costos fijos).
El coeficiente de posición y la intersección con el eje $y$ de una función afín son el mismo dato.
Un modelo de altura de agua en un estanque corta al eje $y$ en $(0,150)$. ¿Qué representa este valor?
El punto de corte con el eje y corresponde al valor de la función cuando el tiempo (variable independiente) es cero.

Respuesta: A) El nivel de agua inicial (antes de que transcurra tiempo).

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación