Evaluación de una función dada por tabla
Obtener la imagen o preimagen de un valor a partir de una tabla de valores de una función.
Introducción
No todas las funciones vienen con una fórmula a la vista. A veces solo tienes una tabla, y evaluar se convierte en buscar el número correcto en la fila correspondiente.
Explicación
Definición formal
Si una función se representa mediante una tabla de pares $(x_i, y_i)$, evaluar $f(x_k)$ para un valor $x_k$ presente en la tabla consiste en localizar la fila donde aparece $x_k$ y leer el valor $y_k$ asociado, que corresponde a $f(x_k)$.
Desarrollo didáctico
A diferencia de una fórmula, una tabla solo entrega información para los valores explícitamente listados; no se puede evaluar directamente un $x$ que no aparezca en la tabla sin más información (como un patrón o una fórmula subyacente).
Si la tabla muestra $x: 1, 2, 3$ con $y: 5, 8, 11$, entonces $f(2) = 8$, leyendo directamente la fila correspondiente a $x=2$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Localiza el valor de $x$ solicitado en la fila o columna de entradas.
- Paso 2: Identifica la fila o columna correspondiente de salidas ($y$).
- Paso 3: Lee el valor de $y$ asociado a ese $x$; ese valor es la imagen buscada.
Ejemplos
1 Una tabla muestra: $x=0 \to y=3$; $x=1 \to y=5$; $x=2 \to y=7$. Determina $f(1)$.
- Se busca la fila donde x=1.
- $f(1) = 5$.
2 Una tabla muestra: $x=-2 \to y=10$; $x=-1 \to y=6$; $x=0 \to y=2$. Determina $f(-1)$.
- Se busca la fila donde x=-1.
- $f(-1) = 6$.
3 ¿Se puede evaluar directamente $f(5)$ si la tabla solo llega hasta $x=3$?
- La tabla solo entrega información de los valores listados; sin fórmula o patrón adicional, no se puede evaluar fuera de ese rango.
4 ¿Una tabla puede representar una función?
- Siempre que cada valor de x en la tabla tenga asociado un único valor de y.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la columna de entradas ($x$) con la de salidas ($y$) al leer la tabla."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Intentar evaluar un valor de $x$ que no está listado sin verificar si existe un patrón explícito."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que la tabla completa representa todo el dominio de la función."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Leer la fila incorrecta por error de conteo en tablas extensas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Evaluar una función dada por tabla consiste en localizar el valor de entrada en la fila (o columna) de $x$ y leer directamente el valor correspondiente de $y$ en la misma columna (o fila).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Para evaluar una función dada por tabla en un valor $x_k$ presente en ella, se debe:
La evaluación desde tabla es una lectura directa, no un cálculo.
Respuesta: B) Localizar la fila donde aparece $x_k$ y leer el valor $y$ asociado.
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Una tabla de valores puede representar una función siempre que cada $x$ tenga un único $y$ asociado.
Esa es exactamente la condición de unicidad exigida a una función.
Respuesta: Verdadero
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¿Qué se necesita para evaluar $f(x)$ en un valor que NO aparece en la tabla?
Sin información adicional, la tabla solo permite evaluar los valores explícitamente listados.
Respuesta: B) Una fórmula o patrón adicional que extienda la tabla.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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En una tabla, la columna de entradas siempre corresponde a la variable independiente.
Por convención, la columna de x (entradas) es la variable independiente y la de y (salidas) la dependiente.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Una tabla muestra $x=1 \to y=4$, $x=2 \to y=9$, $x=3 \to y=14$. Determina $f(2)$.
Se busca la fila donde x=2 y se lee el valor de y asociado, que es 9.
Respuesta: A) $9$
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Si una tabla muestra $x=5 \to y=0$, entonces $f(5)=0$.
Es lectura directa de la tabla.
Respuesta: Verdadero
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Una tabla muestra $x=-1 \to y=3$, $x=0 \to y=1$, $x=1 \to y=-1$. ¿Cuál es la preimagen de $y=1$?
Se busca en la tabla la fila donde y=1, que corresponde a x=0.
Respuesta: A) $x=0$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si una tabla de ventas mensuales muestra el mismo monto de ventas en dos meses distintos, la tabla puede seguir representando una función del mes a las ventas.
Que dos entradas distintas (meses) compartan la misma imagen (monto) no afecta la definición de función.
Respuesta: Verdadero
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Una tabla de un experimento científico no registra el valor para $x=6$, pero sí para $x=5$ y $x=7$. ¿Qué se puede afirmar sobre $f(6)$?
Sin una fórmula o patrón que garantice el comportamiento entre los puntos registrados, no se puede asegurar el valor exacto de f(6) solo con la tabla.
Respuesta: A) No puede evaluarse directamente sin más información.
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Una tabla de un estudio meteorológico muestra la temperatura registrada cada hora. Si a las 14:00 horas se registraron 28°C, ¿qué representa este dato en términos de evaluación funcional?
La hora es la entrada (14) y la temperatura registrada es la imagen correspondiente (28).
Respuesta: A) Que $T(14) = 28$.