Evaluación de una función dada por gráfico
Determinar el valor de una función en un punto específico a partir de la lectura de su gráfico.
Introducción
Cuando solo tienes el dibujo de la curva, evaluar se convierte en un ejercicio visual, un poco de geometría con regla imaginaria.
Explicación
Definición formal
Dado el gráfico de una función $f$, evaluar $f(a)$ consiste en identificar el punto $(a, f(a))$ sobre la curva cuya primera coordenada es $a$, y leer su segunda coordenada como el valor de la función en ese punto.
Desarrollo didáctico
El procedimiento visual es trazar una recta vertical desde $x=a$ en el eje horizontal hasta que corte la curva, y desde ese punto de corte trazar una recta horizontal hasta el eje vertical para leer el valor de $y$.
Si la curva pasa por el punto $(3, 7)$, entonces $f(3) = 7$: basta leer directamente la altura de la curva en $x=3$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Ubica el valor de $x$ solicitado sobre el eje horizontal.
- Paso 2: Traza (mentalmente o en el papel) una línea vertical desde ese punto hasta que corte la curva.
- Paso 3: Desde el punto de corte, traza una línea horizontal hasta el eje vertical.
- Paso 4: Lee el valor donde esa línea corta el eje vertical; ese es $f(x)$.
Ejemplos
1 Si la gráfica de $f$ pasa por el punto $(2, 6)$, determina $f(2)$.
- El punto $(2,6)$ indica directamente que la imagen de x=2 es 6.
- $f(2) = 6$.
2 Si el vértice de una parábola graficada está en $(0, -4)$, determina $f(0)$.
- El vértice es un punto de la curva, con coordenadas $(0,-4)$.
- $f(0) = -4$.
3 ¿Se puede evaluar $f(a)$ si el gráfico tiene un punto abierto (hueco) en $x=a$?
- Un punto abierto indica que ese valor de x no pertenece al dominio de la función; no tiene imagen definida.
4 ¿La evaluación gráfica requiere trazar una línea vertical desde el eje $x$?
- Esa línea vertical localiza el punto de la curva correspondiente al valor buscado.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Trazar una línea horizontal en vez de vertical al buscar la imagen de un valor de $x$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la lectura de la imagen con la lectura de la preimagen (que requiere el proceso inverso)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Ignorar puntos abiertos o discontinuidades del gráfico al evaluar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Leer coordenadas aproximadas sin verificar la escala de los ejes."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Evaluar una función dada por su gráfico consiste en ubicar el valor de $x$ sobre el eje horizontal, trazar una línea vertical hasta la curva, y leer la altura correspondiente (el valor de $y$) en el eje vertical.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si la curva de una función pasa por el punto $(4,-2)$, entonces $f(4)=-2$.
Todo punto de la curva tiene coordenadas (x, f(x)).
Respuesta: Verdadero
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¿Qué indica un punto abierto (hueco) en el gráfico de una función en $x=a$?
Un punto abierto marca una exclusión explícita del dominio en ese valor.
Respuesta: B) Que $a$ no pertenece al dominio de la función.
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Para evaluar $f(a)$ desde un gráfico, se debe:
El punto de corte con la curva entrega la imagen f(a), leída en el eje vertical.
Respuesta: B) Trazar una línea vertical desde $x=a$ hasta la curva y leer su altura.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Para hallar la preimagen desde un gráfico se traza una línea horizontal en vez de vertical.
Para buscar preimagen se parte desde el eje y (horizontal) hacia la curva, el proceso inverso a evaluar.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si el gráfico de $f$ pasa por $(-2, 5)$, determina $f(-2)$.
El punto (-2,5) indica directamente f(-2)=5.
Respuesta: A) $5$
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Si una parábola tiene su vértice en $(3,-9)$, entonces $f(3)=-9$.
El vértice es un punto de la curva, por lo que su segunda coordenada es la imagen de su primera coordenada.
Respuesta: Verdadero
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Un gráfico muestra que la curva corta el eje $y$ en el punto $(0,6)$. ¿Cuál es el valor de $f(0)$?
El punto de corte con el eje y tiene coordenadas (0, f(0)), así que f(0)=6.
Respuesta: A) $6$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si el gráfico de una función de demanda tiene un punto abierto en $x=0$, entonces no se puede evaluar la demanda cuando el precio es exactamente cero.
El punto abierto indica que x=0 fue excluido del dominio de la función.
Respuesta: Verdadero
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En el gráfico de crecimiento de una bacteria, la curva pasa por $(2, 100)$ y por $(4, 400)$. Si se pregunta por la población a las 2 horas, ¿qué operación corresponde?
Buscar la población a las 2 horas es evaluar la función en x=2, leyendo directamente la altura de la curva en ese punto.
Respuesta: A) Leer la imagen en $x=2$, que es $100$.
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El gráfico de la altura de un cohete versus el tiempo muestra que en $t=10$ segundos la curva alcanza su punto más alto, en $y=500$ metros. ¿Qué representa este punto?
El punto más alto de la curva (10,500) indica que la imagen de t=10 bajo la función altura es 500 metros.
Respuesta: A) Que $h(10) = 500$, la altura máxima alcanzada a los 10 segundos.