Evaluación de una función dada por gráfico
Resumen inicial
Evaluar una función dada por su gráfica consiste en proyectar verticalmente desde la abscisa $x$ hasta la curva y leer la altura en el eje $Y$.
Explicación en palabras simples
Para encontrar $f(a)$ mirando el gráfico cartesiano:
1. Te ubicas en el número $a$ sobre el eje horizontal $X$.
2. Subes o bajas en línea recta vertical hasta tocar la curva de la función.
3. Desde ese punto de corte, miras hacia el eje vertical $Y$ para leer la altura.
Ese valor en el eje $Y$ es la imagen $f(a)$.
Explicación formal
Dada la gráfica $\text{Graf}(f) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = f(x)\}$:
- La evaluación de $f$ en $x = x_0$ corresponde a la ordenada del punto de intersección entre la recta vertical $x = x_0$ y la curva:
$$\{x_0\} \times \mathbb{R} \cap \text{Graf}(f) = \{(x_0, f(x_0))\}$$
Casos especiales en gráficos:
- Intersección con eje $Y$: El punto $(0, c)$ indica que $f(0) = c$.
- Ceros de la función: Los puntos de corte con el eje $X$, $(x_k, 0)$, indican que $f(x_k) = 0$.
- Puntos abiertos vs cerrados: Un punto blanco $\circ$ indica exclusión, mientras que un punto negro $\bullet$ indica inclusión.
La alternativa correcta es '-5'. La intersección con el eje Y representa la evaluación en $x = 0$, es decir, $f(0) = -5$.
Definiciones clave
- Lectura gráfica: Extracción de pares ordenados $(x, y)$ a partir del plano cartesiano.
- Punto de intersección: Coordenada donde la curva corta a los ejes o a rectas de referencia.
Propiedades y relaciones importantes
- Correspondencia visual: A cada valor de $x$ le corresponde la altura $y$ que alcanza la curva.
- Unicidad visual: Por la prueba de la recta vertical, solo hay un punto de contacto sobre la curva para cada $x$.
Ejemplo guiado
La gráfica de una función $f$ pasa por los puntos $(-3, 0)$, $(0, 4)$ y $(2, -1)$. Determina el valor de $f(0) + f(2) - f(-3)$.
- Paso 1: Identificar $f(0)$: para $x = 0$, la curva corta el eje vertical en $y = 4$, luego $f(0) = 4$.
- Paso 2: Identificar $f(2)$: para $x = 2$, la altura de la curva es $y = -1$, luego $f(2) = -1$.
- Paso 3: Identificar $f(-3)$: para $x = -3$, la curva corta el eje horizontal en $y = 0$, luego $f(-3) = 0$.
- Paso 4: Calcular la expresión: $4 + (-1) - 0 = 3$.
La alternativa correcta es 'f(4) = 7'. La abscisa es la entrada (4) y la ordenada es la salida (7).
Procedimiento
- Paso 1: Localizar la preimagen solicitada sobre el eje horizontal $X$.
- Paso 2: Trazar una perpendicular imaginaria hasta intersectar la curva de la función.
- Paso 3: Desde el punto de corte en la curva, proyectar horizontalmente hacia el eje vertical $Y$.
- Paso 4: Leer la coordenada en $Y$, la cual corresponde al valor de $f(x)$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Leer el valor del eje $X$ en vez del valor del eje $Y$ al solicitar una imagen.
- Cómo corregirlo: La imagen solicitada siempre se lee sobre el eje vertical $Y$; el eje $X$ sirve únicamente para posicionar la entrada.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: La ordenada en $(5, 0)$ es $0$.
- Paso 2: Por lo tanto, $f(5) = 0$.
- Paso 1: $f(1) = 3$ y $f(3) = 7$.
- Paso 2: Suma: $3 + 7 = 10$.
- Paso 1: El punto $(2, -4)$ pertenece a la curva.
- Paso 2: Por ende, $f(2) = -4$.
- Paso 1: La preimagen es la abscisa $x$ asociada a la altura $y = 6$, que es $-2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Evaluar funciones algebraicas e interpretar valores a partir de su representación gráfica.
Proyectando perpendicularmente desde el eje de las abscisas hacia la curva y leyendo la ordenada resultante en el eje Y.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si la curva de una función pasa por el punto $(4,-2)$, entonces $f(4)=-2$.
Todo punto de la curva tiene coordenadas (x, f(x)).
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué indica un punto abierto (hueco) en el gráfico de una función en $x=a$?
Un punto abierto marca una exclusión explícita del dominio en ese valor.
Respuesta: B) Que $a$ no pertenece al dominio de la función.
-
Para evaluar $f(a)$ desde un gráfico, se debe:
El punto de corte con la curva entrega la imagen f(a), leída en el eje vertical.
Respuesta: B) Trazar una línea vertical desde $x=a$ hasta la curva y leer su altura.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Para hallar la preimagen desde un gráfico se traza una línea horizontal en vez de vertical.
Para buscar preimagen se parte desde el eje y (horizontal) hacia la curva, el proceso inverso a evaluar.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si el gráfico de $f$ pasa por $(-2, 5)$, determina $f(-2)$.
El punto (-2,5) indica directamente f(-2)=5.
Respuesta: A) $5$
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Si una parábola tiene su vértice en $(3,-9)$, entonces $f(3)=-9$.
El vértice es un punto de la curva, por lo que su segunda coordenada es la imagen de su primera coordenada.
Respuesta: Verdadero
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Un gráfico muestra que la curva corta el eje $y$ en el punto $(0,6)$. ¿Cuál es el valor de $f(0)$?
El punto de corte con el eje y tiene coordenadas (0, f(0)), así que f(0)=6.
Respuesta: A) $6$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si el gráfico de una función de demanda tiene un punto abierto en $x=0$, entonces no se puede evaluar la demanda cuando el precio es exactamente cero.
El punto abierto indica que x=0 fue excluido del dominio de la función.
Respuesta: Verdadero
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En el gráfico de crecimiento de una bacteria, la curva pasa por $(2, 100)$ y por $(4, 400)$. Si se pregunta por la población a las 2 horas, ¿qué operación corresponde?
Buscar la población a las 2 horas es evaluar la función en x=2, leyendo directamente la altura de la curva en ese punto.
Respuesta: A) Leer la imagen en $x=2$, que es $100$.
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El gráfico de la altura de un cohete versus el tiempo muestra que en $t=10$ segundos la curva alcanza su punto más alto, en $y=500$ metros. ¿Qué representa este punto?
El punto más alto de la curva (10,500) indica que la imagen de t=10 bajo la función altura es 500 metros.
Respuesta: A) Que $h(10) = 500$, la altura máxima alcanzada a los 10 segundos.