Evaluación de una función dada por fórmula
Evaluar funciones definidas por fórmulas algebraicas que incluyen fracciones, raíces o varios términos.
Introducción
Las fórmulas más elaboradas exigen más cuidado, pero el método sigue siendo el mismo: sustituir y simplificar, respetando la estructura completa de la expresión.
Explicación
Definición formal
Dada una función $f(x)$ definida mediante una expresión algebraica con múltiples operaciones (sumas, productos, cocientes, potencias, raíces), la evaluación en $x=a$ requiere sustituir $a$ en cada subexpresión y resolver respetando la jerarquía de operaciones y las agrupaciones indicadas por paréntesis, corchetes o líneas de fracción.
Desarrollo didáctico
Cuando la fórmula tiene una fracción, primero evalúa numerador y denominador por separado, y luego divide.
Si $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ y buscas $f(5)$: numerador $= 2(5)+1 = 11$; denominador $= 5-3=2$; entonces $f(5) = \frac{11}{2}$.
Si hay raíces, evalúa primero el radicando completo antes de extraer la raíz: $g(x) = \sqrt{x+7}$, $g(9) = \sqrt{9+7} = \sqrt{16} = 4$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las subexpresiones de la fórmula (numerador, denominador, radicando, etc.).
- Paso 2: Sustituye el valor dado en cada subexpresión.
- Paso 3: Simplifica cada subexpresión de forma independiente.
- Paso 4: Combina los resultados parciales según la estructura de la fórmula original.
Ejemplos
1 Si $f(x) = \frac{x^2-1}{x+1}$, calcula $f(4)$.
- Numerador: $4^2-1 = 15$.
- Denominador: $4+1 = 5$.
- $f(4) = 15/5 = 3$.
2 Si $g(x) = \sqrt{2x+3}$, calcula $g(11)$.
- Radicando: $2(11)+3 = 25$.
- $g(11) = \sqrt{25} = 5$.
3 ¿En $f(x) = \frac{3}{x-2}$, se puede evaluar $f(2)$?
- En x=2 el denominador se anula, x=2 no pertenece al dominio de f.
4 ¿Se debe evaluar el radicando completo antes de extraer la raíz?
- La raíz actúa sobre el resultado final del radicando, no sobre cada término por separado.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Dividir antes de terminar de simplificar completamente el numerador o el denominador."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Extraer la raíz de cada término del radicando por separado en vez de simplificar la suma completa primero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar verificar que el valor sustituido pertenezca al dominio antes de evaluar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No usar paréntesis al sustituir en fórmulas con varios términos, causando errores de signo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Evaluar una función dada por una fórmula algebraica compleja (con fracciones, raíces o varios términos) exige sustituir el valor en toda la expresión y simplificar respetando su estructura completa, incluidos paréntesis y agrupaciones.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al evaluar una función con una fracción algebraica, ¿qué se debe hacer primero?
Cada subexpresión (numerador y denominador) debe simplificarse antes de realizar la división final.
Respuesta: B) Evaluar numerador y denominador por separado, y luego dividir.
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Al evaluar una raíz, se debe simplificar todo el radicando antes de extraer la raíz.
La raíz actúa sobre el resultado completo del radicando, no sobre cada término individualmente.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué condición debe cumplirse para poder evaluar $f(x)=\frac{1}{x-2}$ en un valor $a$?
El valor a=2 anula el denominador, dejando la expresión indefinida.
Respuesta: B) Que $a \neq 2$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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$\sqrt{9+16}$ es igual a $\sqrt{9}+\sqrt{16}$.
sqrt(9+16)=sqrt(25)=5, mientras que sqrt(9)+sqrt(16)=3+4=7; no son iguales.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Si $f(x) = \frac{3x+2}{x-1}$, calcula $f(3)$.
Numerador: 3(3)+2=11. Denominador: 3-1=2. f(3)=11/2.
Respuesta: A) $\frac{11}{2}$
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Si $g(x) = \sqrt{3x+1}$, entonces $g(5) = 4$.
Radicando: 3(5)+1=16. g(5)=sqrt(16)=4.
Respuesta: Verdadero
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Si $f(x) = \frac{x^2-4}{x+2}$, calcula $f(0)$.
Numerador: 0^2-4=-4. Denominador: 0+2=2. f(0)=-4/2=-2.
Respuesta: A) $-2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El tiempo de caída de un objeto desde una altura $h$ se modela por $t(h) = \sqrt{\frac{2h}{g}}$, con $g=10$. ¿Cuánto tiempo demora en caer desde $h=45$ metros?
t(45) = sqrt(2(45)/10) = sqrt(9) = 3.
Respuesta: A) $3$ segundos
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Si la eficiencia de un motor se modela por $E(x) = \frac{100x}{x+20}$, entonces $E(20) = 50$.
E(20) = 100(20)/(20+20) = 2000/40 = 50.
Respuesta: Verdadero
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La dosis segura de un medicamento según el peso $p$ del paciente (en kg) se modela por $D(p) = \sqrt{p+4}$ mg. ¿Qué dosis corresponde a un paciente de 32 kg?
D(32) = sqrt(32+4) = sqrt(36) = 6.
Respuesta: A) $6$ mg