Evaluación de una función dada por fórmula
Resumen inicial
Evaluar una función con argumentos algebraicos o literales consiste en aplicar el molde de la regla funcional al bloque de entrada completo.
Explicación en palabras simples
Una función funciona como un molde estructural.
Todo lo que colocas dentro del paréntesis de $f(\dots)$ entra exactamente en cada posición donde aparecía la $x$.
Por ejemplo, si $f(x) = 2x + 1$, entonces para evaluar $f(a + 3)$ reemplazas toda la $x$ por el binomio $(a + 3)$:
$$f(a + 3) = 2(a + 3) + 1 = 2a + 6 + 1 = 2a + 7$$
No debes confundir $f(x + 3)$ con $f(x) + 3$.
Explicación formal
Dada una función $f(x)$, la evaluación en un argumento algebraico $E$ (donde $E$ puede ser un monomio, binomio o expresión literal) se rige por la regla de sustitución uniforme:
$$f(E) = \text{Regla}(x \mapsto E)$$
Propiedades algebraicas:
- No linealidad general: En general $f(a + b) \neq f(a) + f(b)$ (salvo funciones lineales homogéneas $f(x) = mx$).
- Expansión de binomios: Si la regla contiene $x^2$, evaluar $f(x + h)$ requiere expandir el cuadrado de binomio $(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$.
La alternativa correcta es '6a - 2'. Se sustituye $x$ por $2a$: $f(2a) = 3(2a) - 2 = 6a - 2$.
Definiciones clave
- Argumento compuesto: Expresión algebraica que se introduce como entrada de una función.
- Molde funcional: Estructura de operadores matemáticos que define a la función independiente del nombre de la variable.
Propiedades y relaciones importantes
- Cociente de diferencias: La expresión $\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ se basa directamente en la evaluación con argumentos compuestos.
- Composición implícita: Evaluar $f(g(x))$ es evaluar la función externa $f$ en el bloque $g(x)$.
Ejemplo guiado
Dada la función cuadrática $f(x) = x^2 - 3x$, determina la expresión simplificada de $f(x + 2)$.
- Paso 1: Identificar el molde funcional: $f(\square) = (\square)^2 - 3(\square)$.
- Paso 2: Introducir el argumento $(x + 2)$: $f(x + 2) = (x + 2)^2 - 3(x + 2)$.
- Paso 3: Desarrollar el cuadrado de binomio: $(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$.
- Paso 4: Distribuir el producto: $-3(x + 2) = -3x - 6$.
- Paso 5: Reducir términos semejantes: $x^2 + (4x - 3x) + (4 - 6) = x^2 + x - 2$.
La alternativa correcta es '-2'. Evaluando: $g(x + 1) = 5 - 2(x + 1) = 3 - 2x$. Luego, $(3 - 2x) - (5 - 2x) = 3 - 5 = -2$.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir la fórmula de la función sustituyendo cada variable $x$ por un paréntesis vacío $(\quad)$.
- Paso 2: Insertar la expresión literal o binomio dentro de cada paréntesis.
- Paso 3: Aplicar productos notables, propiedades distributivas y leyes de potencias.
- Paso 4: Reducir los términos semejantes para presentar el resultado en su forma canónica más simple.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Confundir $f(x + k)$ con $f(x) + k$.
- Cómo corregirlo: En $f(x + k)$, la constante $k$ entra en el argumento de $x$ antes de aplicar la regla; en $f(x) + k$, la constante se suma al resultado final de la función.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Reemplazar $x$ por $(3a)$: $f(3a) = 2(3a)^2 + 1$.
- Paso 2: Elevar al cuadrado: $(3a)^2 = 9a^2$.
- Paso 3: Multiplicar: $2(9a^2) + 1 = 18a^2 + 1$.
- Paso 1: Sustituir $x$ por $(x - 3)$: $g(x - 3) = 4(x - 3) - 5$.
- Paso 2: Distribuir: $4x - 12 - 5 = 4x - 17$.
- Paso 1: Sustituir: $h\left(\frac{x}{3}\right) = 6\left(\frac{x}{3}\right) + 2$.
- Paso 2: Simplificar: $2x + 2$.
- Paso 1: $f(x + 1) = (x + 1)^2 - 1$.
- Paso 2: Expandir: $x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 + 2x$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Evaluar funciones algebraicas con argumentos literales y expresiones compuestas.
Aplicando el molde estructural de la regla, desarrollando productos notables y reduciendo términos semejantes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Al evaluar una función con una fracción algebraica, ¿qué se debe hacer primero?
Cada subexpresión (numerador y denominador) debe simplificarse antes de realizar la división final.
Respuesta: B) Evaluar numerador y denominador por separado, y luego dividir.
-
Al evaluar una raíz, se debe simplificar todo el radicando antes de extraer la raíz.
La raíz actúa sobre el resultado completo del radicando, no sobre cada término individualmente.
Respuesta: Verdadero
-
¿Qué condición debe cumplirse para poder evaluar $f(x)=\frac{1}{x-2}$ en un valor $a$?
El valor a=2 anula el denominador, dejando la expresión indefinida.
Respuesta: B) Que $a \neq 2$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$\sqrt{9+16}$ es igual a $\sqrt{9}+\sqrt{16}$.
sqrt(9+16)=sqrt(25)=5, mientras que sqrt(9)+sqrt(16)=3+4=7; no son iguales.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si $f(x) = \frac{3x+2}{x-1}$, calcula $f(3)$.
Numerador: 3(3)+2=11. Denominador: 3-1=2. f(3)=11/2.
Respuesta: A) $\frac{11}{2}$
-
Si $g(x) = \sqrt{3x+1}$, entonces $g(5) = 4$.
Radicando: 3(5)+1=16. g(5)=sqrt(16)=4.
Respuesta: Verdadero
-
Si $f(x) = \frac{x^2-4}{x+2}$, calcula $f(0)$.
Numerador: 0^2-4=-4. Denominador: 0+2=2. f(0)=-4/2=-2.
Respuesta: A) $-2$
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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El tiempo de caída de un objeto desde una altura $h$ se modela por $t(h) = \sqrt{\frac{2h}{g}}$, con $g=10$. ¿Cuánto tiempo demora en caer desde $h=45$ metros?
t(45) = sqrt(2(45)/10) = sqrt(9) = 3.
Respuesta: A) $3$ segundos
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Si la eficiencia de un motor se modela por $E(x) = \frac{100x}{x+20}$, entonces $E(20) = 50$.
E(20) = 100(20)/(20+20) = 2000/40 = 50.
Respuesta: Verdadero
-
La dosis segura de un medicamento según el peso $p$ del paciente (en kg) se modela por $D(p) = \sqrt{p+4}$ mg. ¿Qué dosis corresponde a un paciente de 32 kg?
D(32) = sqrt(32+4) = sqrt(36) = 6.
Respuesta: A) $6$ mg