Multiplicación de una desigualdad por una cantidad negativa
Aplicar correctamente la inversión del sentido de la desigualdad al multiplicar por un número real negativo.
Introducción
El comportamiento de las desigualdades difiere del de las igualdades cuando se involucran multiplicaciones por valores menores a cero, requiriendo un cambio en la orientación del signo.
Explicación
Definición formal
Sean $a, b, c \in \mathbb{R}$, con $c < 0$. Si $a < b$, entonces $a \cdot c > b \cdot c$. Y si $a > b$, entonces $a \cdot c < b \cdot c$.
Desarrollo didáctico
Piensa en la recta numérica: los números positivos crecen hacia la derecha. Al multiplicar por un negativo, se refleja todo respecto al cero. Lo que estaba más a la derecha (era mayor), ahora queda más a la izquierda (es menor).
Cómo hacerlo paso a paso
- Identificar que se multiplicará la desigualdad por un número negativo.
- Multiplicar el lado izquierdo por el número negativo.
- Multiplicar el lado derecho por el mismo número.
- Invertir el símbolo de la desigualdad (ej. de $<$ a $>$, de $\leq$ a $\geq$).
- Simplificar la expresión final.
Ejemplos
1 Resuelva la desigualdad $\frac{x}{-2} < 3$.
- Multiplicar ambos lados por $-2$.
- Al ser negativo, se invierte la desigualdad: $x > 3 \cdot (-2)$.
- Simplificar: $x > -6$.
2 Resuelva $-\frac{1}{3}y \geq 2$.
- Multiplicar por $-3$ en ambos lados.
- Invertir el signo: $y \leq 2 \cdot (-3)$.
- Simplificar para obtener $y \leq -6$.
3 Al multiplicar la desigualdad $-4 < 2$ por $-1$, ¿se obtiene $4 > -2$?
- Multiplicamos $-4 \cdot (-1) = 4$ y $2 \cdot (-1) = -2$.
- Se debe invertir el signo de $<$ a $>$.
- El resultado es $4 > -2$, lo cual es válido.
4 ¿Es cierto que multiplicar por un negativo mantiene el mismo símbolo de desigualdad?
- La propiedad fundamental establece que se debe cambiar el sentido de la desigualdad.
- Esto refleja el efecto en la recta real donde el orden de los números se invierte.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar por un número negativo mantiene el sentido de la desigualdad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Solo se invierte el sentido si el número inicial era negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Al multiplicar por $-1$, el símbolo de la desigualdad se convierte en igual."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Si $x > y$ y $c < 0$, entonces $xc > yc$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La inversión del símbolo depende de la magnitud del número negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un número negativo, se debe invertir el sentido de la desigualdad.
Practica
Multiple choice
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Pregunta conceptual 1 sobre MULTIPLICACION_NEGATIVA
Paso 1 conceptual Paso 2 conceptual
Respuesta: Opción A
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Pregunta conceptual 2 sobre MULTIPLICACION_NEGATIVA
Paso 1 conceptual Paso 2 conceptual
Respuesta: Opción A
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Pregunta conceptual 3 sobre MULTIPLICACION_NEGATIVA
Paso 1 conceptual Paso 2 conceptual
Respuesta: Opción A
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Pregunta de reconocimiento sobre MULTIPLICACION_NEGATIVA
Paso único de reconocimiento
Respuesta: Op A
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Problema estilo PAES 2 de MULTIPLICACION_NEGATIVA
Análisis inicial Desarrollo algebraico Conclusión final
Respuesta: Alternativa B
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Problema estilo PAES 3 de MULTIPLICACION_NEGATIVA
Análisis inicial Desarrollo algebraico Conclusión final
Respuesta: Alternativa B
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Problema estilo PAES 1 de MULTIPLICACION_NEGATIVA
Análisis inicial Desarrollo algebraico Conclusión final
Respuesta: Alternativa B
True false
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Pregunta de procedimiento básico 1 para MULTIPLICACION_NEGATIVA
Paso 1 del cálculo Paso 2 del cálculo
Respuesta: Verdadero
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Pregunta de procedimiento básico 2 para MULTIPLICACION_NEGATIVA
Paso 1 del cálculo Paso 2 del cálculo
Respuesta: Verdadero
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Pregunta de procedimiento básico 3 para MULTIPLICACION_NEGATIVA
Paso 1 del cálculo Paso 2 del cálculo
Respuesta: Verdadero