División de una desigualdad por una cantidad negativa

M1 — PAES obligatoria Avanzada

Resumen inicial

Dividir ambos miembros de una desigualdad por un número negativo exige invertir el sentido de la desigualdad.

Explicación en palabras simples

División de una desigualdad por una cantidad negativa

Al igual que ocurre con la multiplicación, si divides ambos lados de una desigualdad por un número negativo (como entre $-2$ o $-5$), DEBES INVERTIR LA DIRECCIÓN DEL SÍMBOLO.
Por ejemplo, si tenemos $-4x < 12$ y dividimos entre $-4$, el símbolo $<$ cambia a $>$ para dar $x > -3$.

Explicación formal

Para todas las constantes $a, b, c \in \mathbb{R}$ con $c < 0$:

$$a < b \iff \frac{a}{c} > \frac{b}{c} \quad (c < 0)$$
$$a \ge b \iff \frac{a}{c} \le \frac{b}{c} \quad (c < 0)$$

Desglose de la fórmula:
- La división por $c < 0$ equivale a la multiplicación por el recíproco negativo $\frac{1}{c} < 0$, obligando a la inversión de sentido.

Comprueba tu avance Al despejar $x$ en la inecuación $-3x < 15$ dividiendo por $-3$, ¿cuál es el resultado correcto?

Definiciones clave

  • Divisor negativo ($c < 0$): Escalar divisor menor que cero que invierte el sentido de la desigualdad al ejecutarse.

Propiedades y relaciones importantes

  • Clave en el despeje de inecuaciones: Al pasar un coeficiente negativo a dividir, el símbolo de la inecuación se da vuelta.

Ejemplo guiado

Ejemplo División de una desigualdad por una cantidad negativa

Resuelve la inecuación $-3x < 15$ dividiendo ambos miembros entre $-3$ e invirtiendo el sentido del símbolo.

  • Paso 1: Escribir la inecuación inicial: $-3x < 15$.Paso 2: Dividir ambos miembros entre el divisor negativo $-3$: $\frac{-3x}{-3}$ y $\frac{15}{-3}$.Paso 3: Invertir el símbolo $<$ a $>$: $x > \frac{15}{-3}$.Paso 4: Calcular la división: $x > -5$.Paso 5: Comprobar para $x = 0 > -5$: $-3(0) = 0 < 15$ (se satisface la inecuación original).
Comprueba tu avance Al pasar a dividir un coeficiente negativo en una inecuación, ¿qué acción es obligatoria sobre el operador de orden?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar que el coeficiente divisor que acompaña a la incógnita es negativo.
  • Paso 2: Dividir ambos miembros entre ese número negativo.
  • Paso 3: Dar vuelta al símbolo de la desigualdad ($< \implies >, > \implies <$).
  • Paso 4: Simplificar la fracción resultante.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Pasar a dividir el número negativo y olvidar dar vuelta al símbolo ($x < -5$ en vez de $x > -5$).
  • Cómo corregirlo: Cada vez que pases a dividir un número con signo menos, VOLTEA de inmediato el símbolo de la inecuación.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Demostración básica de propiedades.
2 Demostración algebraica de propiedades.
3 ¿Sumar un número a ambos lados de una desigualdad conserva el sentido?
4 ¿Multiplicar por un número negativo invierte el sentido de una desigualdad?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Al despejar la inecuación $-3x < 15$ dividiendo por $-3$, el resultado obtenido es la desigualdad $x < -5$."
"Si $a \ge b$ y $c < 0$, entonces la división satisface $\frac{a}{c} \le \frac{b}{c}$."
"Dada la desigualdad $a < b$ y un escalar $c < 0$, la división por $c$ produce la relación de orden $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$."
"Dividir una desigualdad entre un divisor negativo equivale a restar una constante negativa conservando la dirección del símbolo."
"La regla de inversión del símbolo al dividir por $c < 0$ aplica únicamente cuando el dividendo es un entero positivo."
"Al despejar $-x \ge 4$, el conjunto solución se expresa como la desigualdad $x \ge -4$."
"Dividir ambos miembros de una desigualdad por un escalar $c < 0$ invierte la orientación del símbolo de la desigualdad."

Al terminar debes poder

Resumen División de una desigualdad por una cantidad negativa

🎯 QUÉ Objetivo

Dividir una desigualdad entre un divisor negativo $c < 0$.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Dividiendo ambos miembros entre $c < 0$ e invirtiendo el sentido de la desigualdad ($\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$).

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra / Propiedades de Desigualdades

Practica

Multiple choice

  1. Pregunta conceptual 1 sobre DIVISION_NEGATIVA

  2. Pregunta conceptual 2 sobre DIVISION_NEGATIVA

  3. Pregunta conceptual 3 sobre DIVISION_NEGATIVA

  4. Pregunta de reconocimiento sobre DIVISION_NEGATIVA

  5. Problema estilo PAES 1 de DIVISION_NEGATIVA

  6. Problema estilo PAES 2 de DIVISION_NEGATIVA

  7. Problema estilo PAES 3 de DIVISION_NEGATIVA

True false

  1. Pregunta de procedimiento básico 1 para DIVISION_NEGATIVA

  2. Pregunta de procedimiento básico 2 para DIVISION_NEGATIVA

  3. Pregunta de procedimiento básico 3 para DIVISION_NEGATIVA

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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