División de una desigualdad por una cantidad positiva
Dividir ambos miembros de una desigualdad entre un número real positivo preservando la relación de orden.
Introducción
Para despejar coeficientes que multiplican a una incógnita, es necesario dividir. Cuando el divisor es positivo, el proceso mantiene el orden de la desigualdad de forma natural.
Explicación
Definición formal
Sean $a, b, c \in \mathbb{R}$, con $c > 0$. Si $a > b$, entonces $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$. Análogo para $<, \leq$ y $\geq$.
Desarrollo didáctico
La división por un número positivo es equivalente a multiplicar por su inverso multiplicativo (que también es positivo), por lo que se comporta igual que la multiplicación positiva.
Cómo hacerlo paso a paso
- Identificar el coeficiente o número positivo por el cual se va a dividir.
- Dividir el miembro izquierdo de la desigualdad entre dicho número.
- Dividir el miembro derecho entre el mismo número.
- Simplificar las fracciones y mantener el sentido de la desigualdad original.
Ejemplos
1 Resuelva la inecuación $4x < 20$.
- Dividir ambos lados entre $4$, un número positivo.
- $\frac{4x}{4} < \frac{20}{4}$.
- Simplificar: $x < 5$.
2 Resuelva $2y \geq -10$.
- Dividir por $2$ a ambos lados: $\frac{2y}{2} \geq \frac{-10}{2}$.
- Simplificar obteniendo $y \geq -5$.
3 Si $10 > 6$, ¿es correcto afirmar que $\frac{10}{2} > \frac{6}{2}$?
- Dividimos entre $2$, que es un número mayor a cero.
- La relación se simplifica a $5 > 3$, la cual es correcta.
4 ¿El sentido de la desigualdad se invierte si el dividendo es negativo pero el divisor es positivo?
- El único factor que determina si la desigualdad se invierte o no, es el signo del divisor.
- Si el divisor es positivo, la desigualdad no se invierte.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Dividir por un número positivo cambia el signo de la desigualdad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No se puede dividir si el numerador es negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dividir por una fracción positiva invierte la desigualdad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Si $x > y$ y $c > 0$, entonces $\frac{x}{c} < \frac{y}{c}$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Al dividir entre un número decimal positivo se debe cambiar el sentido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al dividir ambos lados de una desigualdad por un número real positivo, la dirección del símbolo de desigualdad se mantiene.
Practica
Multiple choice
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Problema estilo PAES 1 de DIVISION_POSITIVA
Análisis inicial Desarrollo algebraico Conclusión final
Respuesta: Alternativa B
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Pregunta conceptual 2 sobre DIVISION_POSITIVA
Paso 1 conceptual Paso 2 conceptual
Respuesta: Opción A
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Pregunta conceptual 3 sobre DIVISION_POSITIVA
Paso 1 conceptual Paso 2 conceptual
Respuesta: Opción A
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Pregunta de reconocimiento sobre DIVISION_POSITIVA
Paso único de reconocimiento
Respuesta: Op A
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Problema estilo PAES 2 de DIVISION_POSITIVA
Análisis inicial Desarrollo algebraico Conclusión final
Respuesta: Alternativa B
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Problema estilo PAES 3 de DIVISION_POSITIVA
Análisis inicial Desarrollo algebraico Conclusión final
Respuesta: Alternativa B
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Pregunta conceptual 1 sobre DIVISION_POSITIVA
Paso 1 conceptual Paso 2 conceptual
Respuesta: Opción A
True false
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Pregunta de procedimiento básico 1 para DIVISION_POSITIVA
Paso 1 del cálculo Paso 2 del cálculo
Respuesta: Verdadero
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Pregunta de procedimiento básico 2 para DIVISION_POSITIVA
Paso 1 del cálculo Paso 2 del cálculo
Respuesta: Verdadero
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Pregunta de procedimiento básico 3 para DIVISION_POSITIVA
Paso 1 del cálculo Paso 2 del cálculo
Respuesta: Verdadero