Condición de probabilidad de éxito constante en cada ensayo
Verificar que la probabilidad de éxito p se mantenga constante en todos los ensayos del experimento binomial.
Introducción
Además de la independencia, el modelo binomial requiere que la probabilidad de éxito no cambie de un ensayo a otro; de lo contrario, no es aplicable la fórmula estándar.
Explicación
Definición formal
$P(\text{éxito en el ensayo }i)=p$ para todo $i=1,2,\ldots,n$, es decir, la probabilidad de éxito es la misma en cada ensayo.
Desarrollo didáctico
Al lanzar la misma moneda repetidamente, la probabilidad de obtener cara ($p=0{,}5$) se mantiene igual en cada lanzamiento. En cambio, si se usan monedas distintas con distinta probabilidad de cara en cada lanzamiento, esta condición no se cumpliría.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Verifica que el experimento se repita en condiciones idénticas en cada ensayo (mismo objeto, misma situación).
- Paso 2: Confirma que la probabilidad de éxito no dependa del número de ensayo (por ejemplo, no cambie con el tiempo o por desgaste).
- Paso 3: Si se cumple, la probabilidad p es constante, y el modelo binomial estándar es aplicable.
Ejemplos
1 Lanzar la misma moneda 8 veces.
- p es constante en cada lanzamiento, ya que se usa siempre la misma moneda con las mismas características físicas.
2 Una máquina fabrica artículos, pero su tasa de defectos aumenta a medida que se desgasta con el uso.
- p NO es constante en este caso, ya que la probabilidad de defecto cambia (aumenta) con el uso de la máquina.
3 ¿La probabilidad p debe ser la misma en todos los ensayos del modelo binomial?
- Sí, es uno de los requisitos fundamentales del modelo, junto con n fijo y la independencia.
4 ¿Usar objetos distintos con distintas probabilidades en cada ensayo respeta la constancia de p?
- No, violaría la condición de constancia, ya que p cambiaría de un ensayo a otro.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Aplicar el modelo binomial a situaciones donde la probabilidad de éxito cambia con el tiempo o entre ensayos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No verificar si las condiciones del experimento se mantienen idénticas en cada repetición."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir esta condición (constancia de p) con la de independencia entre ensayos (son requisitos relacionados, pero distintos)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En un experimento binomial, la probabilidad de éxito $p$ debe permanecer constante en cada uno de los $n$ ensayos realizados.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En el modelo binomial, la probabilidad de éxito p debe ser:
Es uno de los requisitos del modelo binomial.
Respuesta: A) Constante en cada ensayo
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Lanzar la misma moneda repetidamente mantiene p constante.
La moneda no cambia entre lanzamientos, por lo que p se mantiene igual.
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál de estas situaciones viola la condición de constancia de p?
La probabilidad de defecto cambia con el tiempo, violando la constancia de p.
Respuesta: A) Una máquina cuya tasa de defectos aumenta con el desgaste
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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La constancia de p y la independencia entre ensayos son exactamente el mismo requisito del modelo binomial.
Son requisitos relacionados, pero conceptualmente distintos: uno se refiere al valor de p, otro a la relación entre ensayos.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Se extraen bolitas con reposición de una urna con proporción fija de bolitas rojas. ¿Se mantiene constante p?
Con reposición, la proporción de bolitas rojas se mantiene igual en cada ensayo.
Respuesta: A) Sí, ya que la composición de la urna no cambia entre ensayos
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Si distintos estudiantes tienen distinta probabilidad de aprobar una prueba, no se puede modelar el número total de aprobados con un binomial simple de p constante.
La condición de p constante no se cumple si cada estudiante tiene una probabilidad distinta.
Respuesta: Verdadero
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Una fábrica prueba 20 bombillas idénticas, cada una con la misma probabilidad de funcionar correctamente. ¿Se cumple la constancia de p?
Al ser idénticas, la probabilidad de éxito es la misma para cada una.
Respuesta: A) Sí, ya que todas las bombillas son idénticas y tienen la misma probabilidad
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Por qué la constancia de p es un requisito necesario para aplicar la fórmula binomial estándar?
Es la justificación matemática de este requisito, conectada con la fórmula de función de probabilidad.
Respuesta: A) Porque la fórmula asume el mismo valor de p elevado a distintas potencias (para éxitos y fracasos), lo cual solo tiene sentido si p es igual en cada ensayo
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Si un problema menciona explícitamente que las probabilidades de éxito varían entre los distintos ensayos, no corresponde usar el modelo binomial simple para ese problema.
Se necesitaría un modelo más general (como Poisson binomial), fuera del alcance del binomial estándar.
Respuesta: Verdadero
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Se lanza una moneda cargada (p=0,7 de cara) 15 veces. ¿Se cumple la condición de constancia de p en este experimento?
El hecho de que la moneda esté cargada no afecta la constancia de p, siempre que sea la misma moneda en todos los lanzamientos.
Respuesta: A) Sí, ya que se usa siempre la misma moneda cargada con la misma probabilidad en cada lanzamiento