Definición de la variable aleatoria X como número de éxitos
Definir la variable aleatoria X que representa el número total de éxitos obtenidos en los n ensayos de un experimento binomial.
Introducción
El resultado final de interés en un experimento binomial no es el resultado de cada ensayo individual, sino el conteo total de éxitos obtenidos.
Explicación
Definición formal
$X\in\{0,1,2,\ldots,n\}$ representa el número de éxitos obtenidos al repetir $n$ veces un experimento de Bernoulli con probabilidad de éxito $p$.
Desarrollo didáctico
Al lanzar una moneda 5 veces, la variable $X$ (número de caras obtenidas) puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4 o 5, según cuántas caras se obtengan en total en esos 5 lanzamientos.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el número de ensayos n del experimento.
- Paso 2: Define X como el número de éxitos obtenidos en esos n ensayos.
- Paso 3: Reconoce que X puede tomar cualquier valor entero entre 0 y n, inclusive.
Ejemplos
1 Se lanza una moneda 5 veces, contando el número de caras.
- X = número de caras obtenidas en los 5 lanzamientos. X puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4 o 5.
2 Se revisan 12 artículos, contando cuántos son defectuosos.
- X = número de artículos defectuosos entre los 12 revisados. X puede tomar valores entre 0 y 12.
3 ¿X puede tomar el valor 0 (ningún éxito)?
- Sí, es uno de los valores posibles, cuando no ocurre ningún éxito en los n ensayos.
4 ¿X puede tomar un valor mayor que n?
- No, el número de éxitos nunca puede exceder el número total de ensayos realizados.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir la variable X (número total de éxitos) con el resultado de un solo ensayo individual."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que X puede tomar valores negativos o mayores que n, lo cual no es posible."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No definir explícitamente qué representa X en el contexto específico del problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La variable aleatoria $X$ en un experimento binomial representa el número total de éxitos obtenidos en los $n$ ensayos, y puede tomar los valores $0, 1, 2, \ldots, n$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
La variable aleatoria X en un experimento binomial representa:
Es la definición de la variable aleatoria X en este contexto.
Respuesta: A) El número total de éxitos obtenidos en los n ensayos
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X puede tomar el valor 0.
Corresponde al caso de no obtener ningún éxito.
Respuesta: Verdadero
-
Si se lanza una moneda 7 veces, ¿qué valores puede tomar X (número de caras)?
X toma valores enteros entre 0 y n=7, inclusive.
Respuesta: A) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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X puede tomar un valor mayor que n.
El número de éxitos nunca puede superar el número total de ensayos.
Respuesta: Falso
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Se revisan 10 productos para verificar defectos. Si X representa el número de defectuosos, ¿cuál es el rango de valores posibles de X?
X puede variar entre 0 (ningún defectuoso) y 10 (todos defectuosos).
Respuesta: A) De 0 a 10
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Si n=20, entonces X puede tomar el valor 20 (todos los ensayos resultan en éxito).
Es el valor máximo posible de X, cuando todos los ensayos son éxitos.
Respuesta: Verdadero
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En un examen de 15 preguntas de verdadero/falso respondidas al azar, si X es el número de respuestas correctas, ¿cuáles son los valores extremos posibles de X?
X va de 0 (ninguna correcta) a 15 (todas correctas).
Respuesta: A) 0 y 15
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Por qué X se considera una variable aleatoria discreta en el contexto del modelo binomial?
Es la característica que la clasifica como variable aleatoria discreta.
Respuesta: A) Porque solo puede tomar un conjunto finito y contable de valores enteros (0, 1, 2, ..., n)
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Distintas repeticiones completas del mismo experimento binomial (con los mismos n y p) pueden dar valores distintos de X, ya que X es aleatoria.
Es la naturaleza aleatoria de X: el número de éxitos varía de una repetición completa del experimento a otra.
Respuesta: Verdadero
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En un experimento binomial con n=30, ¿cuántos valores distintos puede tomar la variable X?
Son los valores 0,1,2,...,30, un total de 31 valores posibles.
Respuesta: A) 31 (de 0 a 30, inclusive)