Cálculo de longitud en plano usando escala

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

El cálculo de longitud en el plano determina la dimensión que debe tener un dibujo o trazo cartográfico mediante la fórmula $D_{\text{plano}} = \frac{D_{\text{real}}}{N}$, convirtiendo previamente la distancia real a centímetros.

Explicación en palabras simples

Cálculo en el plano

Para calcular cuántos centímetros medirá en el papel una distancia de la vida real:

  1. Paso 1: Convertir la distancia real a centímetros:
  2. Si está en metros, multiplica por $100$ ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$).
  3. Si está en kilómetros, multiplica por $100.000$ ($1\text{ km} = 100.000\text{ cm}$).
  4. Paso 2: Dividir la medida real en cm entre el denominador de la escala ($N$):
    $$D_{\text{plano}} = \frac{D_{\text{real (en cm)}}}{N}$$
  5. Ejemplo: Una carretera de $45\text{ km}$ en un mapa a escala $1 : 500.000$:
  6. $45\text{ km} = 4.500.000\text{ cm}$.
  7. $D_{\text{plano}} = \frac{4.500.000}{500.000} = 9\text{ cm}$.

Explicación formal

Sea la escala de reducción $E = \frac{1}{N}$ con $N > 1$ y una distancia métrica en el espacio euclídeo real $D_{\text{real}} \in \mathbb{R}^+$.

Algoritmo de Mapeo Planimétrico:
1. Conversión Métrico-Centimétrica:
$$D_{\text{real}}^{[\text{cm}]} = D_{\text{real}}^{[\text{km}]} \cdot 10^5 = D_{\text{real}}^{[\text{m}]} \cdot 10^2$$
2. Evaluación de Homotecia:
$$D_{\text{plano}}^{[\text{cm}]} = E \cdot D_{\text{real}}^{[\text{cm}]} = \frac{D_{\text{real}}^{[\text{cm}]}}{N}$$

Comprueba tu avance ¿Cuál es la fórmula para calcular la longitud de un segmento en el plano con escala 1 : N?

Definiciones clave

  • Longitud en el plano ($D_{\text{plano}}$): Medida del segmento gráfico en el soporte de dibujo.
  • Factor de reducción ($N$): Denominador de la escala que divide la magnitud real.
  • Factor de conversión métrico ($10^5$): Multiplicador $100.000$ para transformar kilómetros a centímetros.

Propiedades y relaciones importantes

  • Proporcionalidad directa con la realidad: A mayor distancia real, mayor longitud de trazo en el mapa a escala fija.
  • Proporcionalidad inversa con $N$: A mayor $N$ (mapa más reducido), menor longitud ocupará en el papel.

Ejemplo guiado

Ejemplos de longitud en el plano

Calcule cuántos centímetros medirá en un mapa a escala $1 : 500.000$ una carretera de $45\text{ km}$, y determine la longitud en un plano arquitectónico a escala $1 : 50$ de una habitación de $6\text{ metros}$ de largo.

  • Paso 1: Para la carretera: Pasar $45\text{ km}$ a $\text{cm} \implies 45 \cdot 100.000 = 4.500.000\text{ cm}$.
  • Paso 2: Dividir por $N = 500.000 \implies D_{\text{plano}} = \frac{4.500.000}{500.000} = 9\text{ cm}$.
  • Paso 3: Para la habitación: Pasar $6\text{ m}$ a $\text{cm} \implies 6 \cdot 100 = 600\text{ cm}$.
  • Paso 4: Dividir por $N = 50 \implies D_{\text{plano}} = \frac{600}{50} = 12\text{ cm}$.
Comprueba tu avance En el ejemplo guiado, ¿por qué fue obligatorio convertir 45 km a 4.500.000 cm antes de dividir por 500.000?

Procedimiento

  • Paso 1: Convertir la distancia real a centímetros multiplicando por $100$ (si son metros) o por $100.000$ (si son kilómetros).
  • Paso 2: Dividir la cantidad centimétrica obtenida por el denominador de escala $N$.
  • Paso 3: Expresar el resultado final en centímetros de plano.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Dividir kilómetros directamente entre $N$. Cómo corregirlo: Se DEBE convertir primero a centímetros ($45\text{ km} = 4.500.000\text{ cm}$).
  • Error 2: Multiplicar por $N$ en vez de dividir. Cómo corregirlo: En escalas de reducción el dibujo es más chico $\implies$ se DIVIDE.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Un puente mide $800\text{ metros}$. ¿Cuánto mide en un mapa a escala $1 : 20.000$?
2 Una distancia de $15\text{ km}$ en un mapa $1 : 100.000$ medirá en el papel:
3 ¿Se debe dividir la distancia real entre N para calcular la medida en el plano?
4 ¿Equivale multiplicar por 100.000 a transformar kilómetros a centímetros?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Multiplicar en lugar de dividir al calcular el dibujo."
"Confundir la escala con una razón con unidades."
"La longitud en el plano se obtiene mediante $D_{\text{plano}} = \frac{D_{\text{real (cm)}}}{N}$."
"El resultado se expresa en centímetros de plano o mapa."
"Dividir unidades incompatibles (ej: kilómetros directamente entre $N$)."
"La distancia real debe transformarse a centímetros antes de realizar la división."
"Olvidar ceros en la conversión de kilómetros a centímetros."

Al terminar debes poder

Síntesis de cálculo en el plano

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular la medida correspondiente en un plano o mapa a partir de dimensiones reales.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Convirtiendo la distancia real a centímetros ($D_{\text{real}} \cdot 10^5$ o $\cdot 10^2$) y dividiéndola entre el factor de reducción $N$: $D_{\text{plano}} = \frac{D_{\text{real}}}{N}$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Matemática 7° Básico / 1° Medio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Para encontrar la medida en un plano (escala 1:E) dada la medida real, la operación matemática correcta es: (v1)

  2. Para encontrar la medida en un plano (escala 1:E) dada la medida real, la operación matemática correcta es: (v2)

  3. Para encontrar la medida en un plano (escala 1:E) dada la medida real, la operación matemática correcta es: (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Una ruta real mide $100.000$ cm. En un mapa $1:10.000$, la ruta se dibuja con una longitud de:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si un árbol mide 4 metros, en escala $1:100$ se dibuja de 4 cm?

  2. ¿Si un árbol mide 4 metros, en escala $1:100$ se dibuja de 4 cm?

  3. ¿Si un árbol mide 4 metros, en escala $1:100$ se dibuja de 4 cm?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un ingeniero debe dibujar un acueducto recto de $2.5$ km de largo en un plano con escala $1:50.000$. ¿De cuántos centímetros será el trazo que debe dibujar? (v3)

  2. Un ingeniero debe dibujar un acueducto recto de $2.5$ km de largo en un plano con escala $1:50.000$. ¿De cuántos centímetros será el trazo que debe dibujar? (v1)

  3. Un ingeniero debe dibujar un acueducto recto de $2.5$ km de largo en un plano con escala $1:50.000$. ¿De cuántos centímetros será el trazo que debe dibujar? (v2)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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