Cálculo de longitud en plano usando escala

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

El cálculo de longitud en el plano determina la dimensión que debe tener un dibujo o trazo cartográfico mediante la fórmula $D_{\text{plano}} = \frac{D_{\text{real}}}{N}$, convirtiendo previamente la distancia real a centímetros.

Explicación en palabras simples

Cálculo en el plano

Para calcular cuántos centímetros medirá en el papel una distancia de la vida real:

  1. Paso 1: Convertir la distancia real a centímetros:
  2. Si está en metros, multiplica por $100$ ($1 ext{ m} = 100 ext{ cm}$).
  3. Si está en kilómetros, multiplica por $100.000$ ($1 ext{ km} = 100.000 ext{ cm}$).
  4. Paso 2: Dividir la medida real en cm entre el denominador de la escala ($N$):
    $$D_{ ext{plano}} = ?rac{D_{ ext{real (en cm)}}}{N}$$
  5. Ejemplo: Una carretera de $45 ext{ km}$ en un mapa a escala $1 : 500.000$:
  6. $45 ext{ km} = 4.500.000 ext{ cm}$.
  7. $D_{ ext{plano}} = ?rac{4.500.000}{500.000} = 9 ext{ cm}$.

Explicación formal

Sea la escala de reducción $E = \frac{1}{N}$ con $N > 1$ y una distancia métrica en el espacio euclídeo real $D_{\text{real}} \in \mathbb{R}^+$.

Algoritmo de Mapeo Planimétrico:
1. Conversión Métrico-Centimétrica:
$$D_{\text{real}}^{[\text{cm}]} = D_{\text{real}}^{[\text{km}]} \cdot 10^5 = D_{\text{real}}^{[\text{m}]} \cdot 10^2$$
2. Evaluación de Homotecia:
$$D_{\text{plano}}^{[\text{cm}]} = E \cdot D_{\text{real}}^{[\text{cm}]} = \frac{D_{\text{real}}^{[\text{cm}]}}{N}$$

Comprueba tu avance ¿Cuál es la fórmula para calcular la longitud de un segmento en el plano con escala 1 : N?

Definiciones clave

  • Longitud en el plano ($D_{\text{plano}}$): Medida del segmento gráfico en el soporte de dibujo.
  • Factor de reducción ($N$): Denominador de la escala que divide la magnitud real.
  • Factor de conversión métrico ($10^5$): Multiplicador $100.000$ para transformar kilómetros a centímetros.

Propiedades y relaciones importantes

  • Proporcionalidad directa con la realidad: A mayor distancia real, mayor longitud de trazo en el mapa a escala fija.
  • Proporcionalidad inversa con $N$: A mayor $N$ (mapa más reducido), menor longitud ocupará en el papel.

Ejemplo guiado

Ejemplos de longitud en el plano

Calcule cuántos centímetros medirá en un mapa a escala $1 : 500.000$ una carretera de $45\text{ km}$, y determine la longitud en un plano arquitectónico a escala $1 : 50$ de una habitación de $6\text{ metros}$ de largo.

  • Paso 1: Para la carretera: Pasar $45\text{ km}$ a $\text{cm} \implies 45 \cdot 100.000 = 4.500.000\text{ cm}$.
  • Paso 2: Dividir por $N = 500.000 \implies D_{\text{plano}} = \frac{4.500.000}{500.000} = 9\text{ cm}$.
  • Paso 3: Para la habitación: Pasar $6\text{ m}$ a $\text{cm} \implies 6 \cdot 100 = 600\text{ cm}$.
  • Paso 4: Dividir por $N = 50 \implies D_{\text{plano}} = \frac{600}{50} = 12\text{ cm}$.
Comprueba tu avance En el ejemplo guiado, ¿por qué fue obligatorio convertir 45 km a 4.500.000 cm antes de dividir por 500.000?

Procedimiento

  • Paso 1: Convertir la distancia real a centímetros multiplicando por $100$ (si son metros) o por $100.000$ (si son kilómetros).
  • Paso 2: Dividir la cantidad centimétrica obtenida por el denominador de escala $N$.
  • Paso 3: Expresar el resultado final en centímetros de plano.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Dividir kilómetros directamente entre $N$. Cómo corregirlo: Se DEBE convertir primero a centímetros ($45\text{ km} = 4.500.000\text{ cm}$).
  • Error 2: Multiplicar por $N$ en vez de dividir. Cómo corregirlo: En escalas de reducción el dibujo es más chico $\implies$ se DIVIDE.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Un puente mide $800\text{ metros}$. ¿Cuánto mide en un mapa a escala $1 : 20.000$?
2 Una distancia de $15\text{ km}$ en un mapa $1 : 100.000$ medirá en el papel:
3 ¿Se debe dividir la distancia real entre N para calcular la medida en el plano?
4 ¿Equivale multiplicar por 100.000 a transformar kilómetros a centímetros?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Multiplicar en lugar de dividir al calcular el dibujo."
"Dividir unidades incompatibles (ej: kilómetros directamente entre $N$)."
"La longitud en el plano se obtiene mediante $D_{\text{plano}} = \frac{D_{\text{real (cm)}}}{N}$."
"La distancia real debe transformarse a centímetros antes de realizar la división."
"Olvidar ceros en la conversión de kilómetros a centímetros."
"Confundir la escala con una razón con unidades."
"El resultado se expresa en centímetros de plano o mapa."

Al terminar debes poder

Síntesis de cálculo en el plano

🎯 QUÉ Objetivo

Calcular la medida correspondiente en un plano o mapa a partir de dimensiones reales.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Convirtiendo la distancia real a centímetros ($D_{\text{real}} \cdot 10^5$ o $\cdot 10^2$) y dividiéndola entre el factor de reducción $N$: $D_{\text{plano}} = \frac{D_{\text{real}}}{N}$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Matemática 7° Básico / 1° Medio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Para encontrar la medida en un plano (escala 1:E) dada la medida real, la operación matemática correcta es: (v1)

  2. Para encontrar la medida en un plano (escala 1:E) dada la medida real, la operación matemática correcta es: (v2)

  3. Para encontrar la medida en un plano (escala 1:E) dada la medida real, la operación matemática correcta es: (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Una ruta real mide $100.000$ cm. En un mapa $1:10.000$, la ruta se dibuja con una longitud de:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si un árbol mide 4 metros, en escala $1:100$ se dibuja de 4 cm?

  2. ¿Si un árbol mide 4 metros, en escala $1:100$ se dibuja de 4 cm?

  3. ¿Si un árbol mide 4 metros, en escala $1:100$ se dibuja de 4 cm?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un ingeniero debe dibujar un acueducto recto de $2.5$ km de largo en un plano con escala $1:50.000$. ¿De cuántos centímetros será el trazo que debe dibujar? (v3)

  2. Un ingeniero debe dibujar un acueducto recto de $2.5$ km de largo en un plano con escala $1:50.000$. ¿De cuántos centímetros será el trazo que debe dibujar? (v1)

  3. Un ingeniero debe dibujar un acueducto recto de $2.5$ km de largo en un plano con escala $1:50.000$. ¿De cuántos centímetros será el trazo que debe dibujar? (v2)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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