Cálculo de longitud real usando escala

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

El cálculo de longitud real a partir de una escala determina la dimensión en el terreno mediante la fórmula $D_{\text{real}} = D_{\text{plano}} \cdot N$, convirtiendo el resultado de centímetros a metros ($\div 100$) o kilómetros ($\div 100.000$).

Explicación en palabras simples

Cálculo de longitud real

Para calcular cuánto mide en la realidad un segmento medido con regla en un mapa:

  1. Paso 1: Multiplicar la medida leída en cm por el denominador de la escala ($N$):
    $$D_{\text{real (en cm)}} = D_{\text{plano (en cm)}} \cdot N$$
  2. Paso 2: Convertir los centímetros a una unidad comprensible:
  3. Para pasar a metros: Divide entre $100$ (quita $2$ ceros).
  4. Para pasar a kilómetros: Divide entre $100.000$ (quita $5$ ceros).
  5. Ejemplo: Si dos pueblos están separados por $8\text{ cm}$ en un mapa $1 : 100.000$:
  6. $D_{\text{real}} = 8 \cdot 100.000 = 800.000\text{ cm}$.
  7. Pasamos a km $\implies \frac{800.000}{100.000} = 8\text{ km}$ en la realidad.

Explicación formal

Sea la escala cartográfica $E = \frac{1}{N}$ y la medida observada en el soporte gráfico $D_{\text{plano}} \in \mathbb{R}^+$.

Algoritmo de Extrapolación a Escala Real:
1. Multiplicación Homotética Inversa:
$$D_{\text{real}}^{[\text{cm}]} = D_{\text{plano}}^{[\text{cm}]} \cdot N$$
2. Normalización a Unidades Geográficas:
$$D_{\text{real}}^{[\text{km}]} = \frac{D_{\text{real}}^{[\text{cm}]}}{10^5} = \frac{D_{\text{plano}}^{[\text{cm}]} \cdot N}{100.000}$$
$$D_{\text{real}}^{[\text{m}]} = \frac{D_{\text{real}}^{[\text{cm}]}}{10^2} = \frac{D_{\text{plano}}^{[\text{cm}]} \cdot N}{100}$$

Comprueba tu avance ¿Cuál es la fórmula para calcular la distancia real a partir de la medida en el mapa?

Definiciones clave

  • Longitud real ($D_{\text{real}}$): Distancia física en el terreno u objeto tridimensional.
  • Extrapolación métrica: Multiplicación por el factor $N$ de reducción.
  • Normalización de unidades: Conversión de cm a metros o kilómetros.

Propiedades y relaciones importantes

  • Ampliación de escala: La realidad siempre es $N$ veces mayor que la representación gráfica.
  • Linealidad: Duplicar la distancia en el papel duplica exactamente la distancia real recorrida.

Ejemplo guiado

Ejemplos de longitud real

Si la distancia entre dos ciudades en un mapa con escala $1 : 100.000$ mide $8\text{ cm}$, ¿cuántos kilómetros las separan en la realidad? Además, en un plano a escala $1 : 75$, una pared mide $6\text{ cm}$, ¿cuál es su largo real en metros?

  • Paso 1: Para las ciudades: Multiplicar por $N = 100.000 \implies 8 \cdot 100.000 = 800.000\text{ cm}$.
  • Paso 2: Convertir a kilómetros: $\frac{800.000}{100.000} = 8\text{ km}$ reales.
  • Paso 3: Para la pared: Multiplicar por $N = 75 \implies 6 \cdot 75 = 450\text{ cm}$.
  • Paso 4: Convertir a metros: $\frac{450}{100} = 4,5\text{ metros}$ reales.
Comprueba tu avance En el ejemplo guiado, ¿por qué 800.000 cm se convirtieron en 8 km?

Procedimiento

  • Paso 1: Medir o registrar la distancia en el plano en centímetros $D_{\text{plano}}$.
  • Paso 2: Multiplicar por el factor de escala $N$ para obtener la distancia real en centímetros: $D_{\text{real (cm)}} = D_{\text{plano}} \cdot N$.
  • Paso 3: Convertir a metros ($\div 100$) o a kilómetros ($\div 100.000$) según el contexto.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Dejar la respuesta en centímetros sin convertir. Cómo corregirlo: En problemas reales o cartográficos, normalizar siempre a metros o kilómetros.
  • Error 2: Dividir en vez de multiplicar. Cómo corregirlo: Pasar del plano a la realidad agranda el valor $\implies$ se MULTIPLICA por $N$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 En un mapa $1 : 250.000$, la distancia entre dos cerros es $4\text{ cm}$. ¿Cuántos km hay entre ellos?
2 En un plano de arquitectura $1 : 20$, una puerta mide $4,5\text{ cm}$ de ancho. ¿Cuál es su ancho real?
3 ¿Se multiplica por N para pasar de la medida en el mapa a la medida real?
4 ¿Se divide entre 100.000 para transformar centímetros a kilómetros?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Confundir la escala con una unidad de velocidad o tiempo."
"La distancia real siempre resulta cuantitativamente mayor que la distancia gráfica en escalas de reducción."
"Equivocarse en la cantidad de ceros al dividir por $100.000$."
"Dividir en lugar de multiplicar por el factor $N$."
"El resultado en centímetros se convierte a metros dividiendo por $100$ o a kilómetros dividiendo por $100.000$."
"Olvidar convertir la respuesta final de centímetros a metros o kilómetros."
"La distancia real se obtiene multiplicando la medida del plano en centímetros por el factor $N$."

Al terminar debes poder

Síntesis de cálculo de longitud real

🎯 QUÉ Objetivo

Determinar distancias y dimensiones reales en el terreno a partir de mediciones en mapas o planos.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Multiplicando la medida gráfica por el denominador de la escala ($D_{\text{real}} = D_{\text{plano}} \cdot N$) y normalizando a metros o kilómetros mediante división por $100$ o $100.000$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Matemática 7° Básico / 1° Medio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Si mides una distancia en centímetros sobre un mapa con escala $1:E$, ¿qué debes hacer para conocer la distancia en la realidad? (v3)

  2. Si mides una distancia en centímetros sobre un mapa con escala $1:E$, ¿qué debes hacer para conocer la distancia en la realidad? (v1)

  3. Si mides una distancia en centímetros sobre un mapa con escala $1:E$, ¿qué debes hacer para conocer la distancia en la realidad? (v2)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. En un plano $1:50$, una puerta mide $2$ cm de ancho. Su ancho real en centímetros es:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si en escala $1:1.000.000$ mides $3$ cm, la realidad son $30$ km?

  2. ¿Si en escala $1:1.000.000$ mides $3$ cm, la realidad son $30$ km?

  3. ¿Si en escala $1:1.000.000$ mides $3$ cm, la realidad son $30$ km?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Una familia revisa un plano habitacional con escala $1:150$. Si el largo del dormitorio principal en el plano es de $4$ cm, ¿cuál es el largo real del dormitorio en metros? (v1)

  2. Una familia revisa un plano habitacional con escala $1:150$. Si el largo del dormitorio principal en el plano es de $4$ cm, ¿cuál es el largo real del dormitorio en metros? (v2)

  3. Una familia revisa un plano habitacional con escala $1:150$. Si el largo del dormitorio principal en el plano es de $4$ cm, ¿cuál es el largo real del dormitorio en metros? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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