Cálculo de escala desconocida

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

El cálculo de una escala desconocida deduce el factor $N$ mediante el cociente de magnitudes homogéneas $N = \frac{D_{\text{real (cm)}}}{D_{\text{plano (cm)}}}$, formulando la escala resultante en el formato canónico $1 : N$.

Explicación en palabras simples

Cálculo de escala desconocida

Para averiguar a qué escala está dibujado un plano o mapa cuando conocemos una distancia en el papel y su correspondiente distancia real:

  1. Paso 1: Convertir la distancia real a centímetros (para que ambas medidas estén en la misma unidad).
  2. Paso 2: Dividir la distancia real en cm entre la distancia en el plano:
    $$N = \frac{D_{\text{real (en cm)}}}{D_{\text{plano (en cm)}}}$$
  3. Paso 3: Escribir la escala en formato $1 : N$:
  4. Ejemplo: Si $5\text{ cm}$ en el mapa representan $25\text{ km}$ en el terreno:
  5. Pasamos $25\text{ km}$ a cm $\implies 2.500.000\text{ cm}$.
  6. $N = \frac{2.500.000}{5} = 500.000$.
  7. La escala es $1 : 500.000$.

Explicación formal

Sean los pares observados $(D_{\text{plano}}, D_{\text{real}}) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+$.

Deducción Formal de la Homotecia:
Se busca la constante $N \in \mathbb{R}^+$ tal que:

$$E = \frac{D_{\text{plano}}^{[\text{cm}]}}{D_{\text{real}}^{[\text{cm}]}} = \frac{1}{N}$$

Despejando el factor de escala:

$$N = \frac{D_{\text{real}}^{[\text{cm}]}}{D_{\text{plano}}^{[\text{cm}]}} = \frac{D_{\text{real}}^{[\text{km}]} \cdot 10^5}{D_{\text{plano}}^{[\text{cm}]}}$$

expresando el resultado en la forma normalizada $1 : N$.

Comprueba tu avance ¿Cómo se calcula el denominador N de una escala desconocida?

Definiciones clave

  • Denominador de escala ($N$): Razón $\frac{D_{\text{real}}}{D_{\text{plano}}}$ calculada en unidades idénticas.
  • Formato normalizado ($1 : N$): Expresión canónica con numerador unitario.
  • Cancelación dimensional: Eliminación de unidades al dividir $\text{cm} / \text{cm}$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Invarianza de escala: Con cualquier par de puntos del mismo plano se obtendrá exactamente el mismo valor de $N$.
  • Adimensionalidad: La escala carece de símbolos de unidad de medida.

Ejemplo guiado

Ejemplos de cálculo de escala

Halle la escala de un mapa si $5\text{ cm}$ en el papel representan $25\text{ km}$ de carretera, y determine la escala de un plano de vivienda donde un muro de $8\text{ metros}$ mide $4\text{ cm}$.

  • Paso 1: Para el mapa: Pasar $25\text{ km}$ a $\text{cm} \implies 2.500.000\text{ cm}$.
  • Paso 2: Calcular $N = \frac{2.500.000}{5} = 500.000 \implies$ Escala $1 : 500.000$.
  • Paso 3: Para la vivienda: Pasar $8\text{ m}$ a $\text{cm} \implies 800\text{ cm}$.
  • Paso 4: Calcular $N = \frac{800}{4} = 200 \implies$ Escala $1 : 200$.
Comprueba tu avance En el ejemplo guiado, ¿por qué la escala de la vivienda resultó ser 1 : 200?

Procedimiento

  • Paso 1: Convertir la distancia real a centímetros ($D_{\text{real}} \cdot 100$ para metros o $\cdot 100.000$ para kilómetros).
  • Paso 2: Efectuar la división $N = \frac{D_{\text{real (cm)}}}{D_{\text{plano (cm)}}}$.
  • Paso 3: Redactar la escala resultante en formato $1 : N$ (adimensional).

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Dividir medidas en unidades distintas (ej: $25\text{ km} / 5\text{ cm} = 5$). Cómo corregirlo: Convertir OBLIGATORIAMENTE la distancia real a centímetros antes de dividir.
  • Error 2: No dejar el numerador en 1. Cómo corregirlo: Simplificar la razón hasta obtener la forma canónica $1 : N$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Si $3\text{ cm}$ en un plano representan $150\text{ metros}$ en la realidad, ¿cuál es la escala?
2 Un trayecto de $60\text{ km}$ mide $12\text{ cm}$ en un mapa. ¿Cuál es su escala?
3 ¿Se deben expresar ambas medidas en centímetros para deducir la escala?
4 ¿Debe expresarse la escala siempre en el formato normalizado 1 : N?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La escala normalizada adopta la forma $1 : N$ para reducción."
"Agregar unidades de medida a la escala resultante (ej: $1\text{ cm} : 500\text{ m}$)."
"Invertir el orden dividiendo la medida del plano entre la real."
"No simplificar la fracción para dejar el antecedente en 1."
"La escala se calcula mediante $N = \frac{D_{\text{real (cm)}}}{D_{\text{plano (cm)}}}$."
"Dividir distancias en unidades diferentes (ej: kilómetros entre centímetros)."
"Ambas medidas deben estar en centímetros para que la razón sea adimensional."

Al terminar debes poder

Síntesis de cálculo de escala desconocida

🎯 QUÉ Objetivo

Determinar la escala numérica $1 : N$ a partir de dimensiones emparejadas en el dibujo y en la realidad.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Homogeneizando ambas medidas a centímetros ($D_{\text{real}} \cdot 10^5$ o $\cdot 10^2$), calculando el factor $N = \frac{D_{\text{real (cm)}}}{D_{\text{plano (cm)}}}$ y estructurando la escala normalizada $1 : N$.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Matemática 7° Básico / 1° Medio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Para descubrir el factor $E$ de una escala desconocida $1:E$, debes: (v1)

  2. Para descubrir el factor $E$ de una escala desconocida $1:E$, debes: (v2)

  3. Para descubrir el factor $E$ de una escala desconocida $1:E$, debes: (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Si en la realidad algo mide $1.000$ cm y en el plano mide $5$ cm, la escala es:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si $2$ km reales se dibujan como $10$ cm, la escala es $1:20.000$?

  2. ¿Si $2$ km reales se dibujan como $10$ cm, la escala es $1:20.000$?

  3. ¿Si $2$ km reales se dibujan como $10$ cm, la escala es $1:20.000$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Al fotocopiar un mapa original, se ha perdido la indicación de su escala. Sin embargo, se sabe que la distancia en línea recta entre la ciudad A y la ciudad B es de $40$ km. Al medir esa distancia con una regla en la fotocopia, marca exactamente $8$ cm. ¿Cuál es la nueva escala de la fotocopia? (v1)

  2. Al fotocopiar un mapa original, se ha perdido la indicación de su escala. Sin embargo, se sabe que la distancia en línea recta entre la ciudad A y la ciudad B es de $40$ km. Al medir esa distancia con una regla en la fotocopia, marca exactamente $8$ cm. ¿Cuál es la nueva escala de la fotocopia? (v2)

  3. Al fotocopiar un mapa original, se ha perdido la indicación de su escala. Sin embargo, se sabe que la distancia en línea recta entre la ciudad A y la ciudad B es de $40$ km. Al medir esa distancia con una regla en la fotocopia, marca exactamente $8$ cm. ¿Cuál es la nueva escala de la fotocopia? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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