Concepto de serie de razones

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

Una serie de razones iguales es la igualdad encadenada de tres o más razones que comparten la misma constante $k$: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k$, denotada también como $a : c : e = b : d : f$.

Explicación en palabras simples

Concepto de serie de razones

Una serie de razones iguales es cuando tres o más razones tienen el mismo resultado $k$:
- Se escribe: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k$ o bien en línea: $a : c : e = b : d : f$.
- Ejemplo: $\frac{6}{2} = \frac{15}{5} = \frac{21}{7} = 3$ (todas valen $k = 3$).
- Esto permite expresar todas las incógnitas en función de una sola constante:
- $a = b \cdot k$, $c = d \cdot k$, $e = f \cdot k$.
- Es la herramienta matemática fundamental para resolver repartos proporcionales.

Explicación formal

Sean $a_1, a_2, \dots, a_n \in \mathbb{R}$ y $b_1, b_2, \dots, b_n \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ con $n \ge 3$. Se define una serie de razones iguales (o proporción continua múltiple) como el conjunto de igualdades:

$$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} = k$$

notación equivalente:
$$a_1 : a_2 : \dots : a_n = b_1 : b_2 : \dots : b_n$$

Parametrización Fundamental:
Cualquier antecedente $a_i$ se expresa linealmente respecto a la constante común $k$:
$$a_i = k \cdot b_i \quad (\forall i \in \{1, 2, \dots, n\})$$

Comprueba tu avance Si $\frac{a}{2} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7} = 4$, ¿cuánto vale $b$?

Definiciones clave

  • Serie de razones iguales: Igualdad continua $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k$.
  • Notación conjunta ($a:c:e = b:d:f$): Expresión compacta de proporcionalidad múltiple.
  • Constante común ($k$): Razón uniforme compartida por todos los pares.

Propiedades y relaciones importantes

  • Parametrización univariada: Reduce un sistema de $n$ variables a una única incógnita $k$.
  • Conservación de relaciones: $\frac{a_i}{a_j} = \frac{b_i}{b_j}$ para cualesquiera índices $i, j$.

Ejemplo guiado

Ejemplos de serie de razones

Compruebe si $\frac{6}{2} = \frac{15}{5} = \frac{21}{7}$ forman una serie de razones y despeje $x, y, z$ si $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = 10$.

  • Paso 1: Para la comprobación: $\frac{6}{2} = 3$, $\frac{15}{5} = 3$, $\frac{21}{7} = 3$. Como todos dan $3$, sí forman una serie con $k = 3$.
  • Paso 2: Para el sistema con $k = 10$: $x = 3 \cdot k = 3 \cdot 10 = 30$.
  • Paso 3: $y = 4 \cdot k = 4 \cdot 10 = 40$.
  • Paso 4: $z = 5 \cdot k = 5 \cdot 10 = 50$.
  • Conclusión: Las soluciones son $x = 30, y = 40, z = 50$.
Comprueba tu avance En el ejemplo guiado, ¿por qué es útil parametrizar en función de $k$?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar las razones dadas y verificar que todas sean iguales a una misma constante $k$.
  • Paso 2: Expresar cada variable desconocida multiplicando su consecuente por $k$: $a_i = b_i \cdot k$.
  • Paso 3: Sustituir estas expresiones en las ecuaciones adicionales del problema (como sumas o perímetros) para hallar $k$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Asumir que si $?rac{x}{2} = ?rac{y}{3}$, entonces $x=2$ e $y=3$. Cómo corregirlo: $x$ e $y$ son proporcionales a $2$ y $3$: $x = 2k, y = 3k$ (solo valen $2$ y $3$ si $k=1$).
  • Error 2: Mezclar antecedentes de una razón con consecuentes de otra. Cómo corregirlo: Mantener la correspondencia estricta de cada par $a_i$ con $b_i$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Si $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8}$ y $x = 12$, ¿cuánto vale $z$?
2 ¿Qué valor debe tener $w$ para que $\frac{4}{2} = \frac{10}{5} = \frac{w}{9}$ forme una serie de razones?
3 ¿Es a : b : c = 2 : 3 : 5 equivalente a decir a/2 = b/3 = c/5?
4 ¿Tienen todas las razones de una serie el mismo valor k?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Confundir la serie de razones con una suma de fracciones."
"Despejar usando sumas en lugar de multiplicaciones."
"Permite parametrizar cada antecedente como $a_i = b_i \cdot k$."
"Una serie de razones iguales encadena tres o más razones con el mismo valor: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k$."
"La notación $a : c : e = b : d : f$ es equivalente a la forma fraccionaria encadenada."
"Igualar directamente las variables con los consecuentes sin usar $k$."
"Olvidar que todas las razones deben tener el mismo valor $k$."

Al terminar debes poder

Síntesis de serie de razones

🎯 QUÉ Objetivo

Comprender y formular series de razones iguales $a_1 : a_2 : \dots = b_1 : b_2 : \dots = k$.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Expresando cada antecedente en función de la constante común $a_i = b_i \cdot k$ para resolver problemas con múltiples cantidades proporcionales.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Matemática 7° Básico / 1° Medio.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. ¿Cuál es el rol del serie de razones en una razón matemática? (Variante 1)

  2. ¿Cuál es el rol del serie de razones en una razón matemática? (Variante 2)

  3. ¿Cuál es el rol del serie de razones en una razón matemática? (Variante 3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Identifica el serie de razones en $12:7$

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿El serie de razones puede ser decimal?

  2. ¿El serie de razones puede ser decimal?

  3. ¿El serie de razones puede ser decimal?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. En un contexto real, si se duplica el serie de razones, ¿qué ocurre?

  2. En un contexto real, si se duplica el serie de razones, ¿qué ocurre?

  3. En un contexto real, si se duplica el serie de razones, ¿qué ocurre?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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