Uso de la suma de términos en una serie de razones
Resumen inicial
En toda serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida por la suma de los consecuentes es igual a la misma constante $k$: $\frac{a + c + e}{b + d + f} = k$, lo que permite resolver repartos proporcionales.
Explicación en palabras simples
Existe una propiedad mágica en las series de razones iguales:
- Si sumas todos los numeradores y sumas todos los denominadores, ¡el valor $k$ sigue siendo el mismo!
$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \implies \frac{a + c + e}{b + d + f} = k$$
- ¿Para qué sirve esto? Para repartir dinero, herencias o calcular perímetros:
- Si quieres repartir $\$\$90.00$0$ entre 3 personas en razón $2 : 3 : 4$:
- Sumas los consecuentes: $2 + 3 + 4 = 9$.
- Divides el total: $k = \frac{90.000}{9} = 10.000$.
- Multiplicas cada parte: $\$\$20.000$, \$\$30.000$, \$\$40.00$0$.
Explicación formal
Teorema Fundamental de la Suma en Series Proporcionales:
Sea la serie de razones iguales $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} = k$ con $\sum b_i \neq 0$. Entonces:
$$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{b_1 + b_2 + \dots + b_n} = \frac{\sum_{i=1}^n a_i}{\sum_{i=1}^n b_i} = k$$
Demostración:
Dado que $a_i = k \cdot b_i$ para todo $i$:
$$\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n (k \cdot b_i) = k \cdot \sum_{i=1}^n b_i$$
Dividiendo ambos miembros por $\sum b_i$:
$$\frac{\sum a_i}{\sum b_i} = k \quad \blacksquare$$
La alternativa correcta es '$10$ (porque $k = \frac{100}{2 + 3 + 5} = \frac{100}{10} = 10$)'.
Definiciones clave
- Teorema de la suma: Identidad $\frac{\sum a_i}{\sum b_i} = k$.
- Reparto proporcional directo: Distribución de una cantidad total $S$ en partes proporcionales a $b_1, b_2, \dots, b_n$.
- Suma de antecedentes ($\sum a_i = S$): Cantidad total a repartir.
Propiedades y relaciones importantes
- Conservación estricta de la constante: El valor $k$ no varía al sumar los términos.
- Fórmula directa de reparto: Cada parte individual es $a_i = \frac{S}{\sum b_j} \cdot b_i$.
Ejemplo guiado
Reparta $\\$90.000$ entre tres personas en la razón $2 : 3 : 4$, y halle los lados de un triángulo cuyo perímetro es $48\text{ cm}$ si sus lados están en la razón $3 : 4 : 5$.
- Paso 1: Para el dinero: Sumar consecuentes: $2 + 3 + 4 = 9$.
- Paso 2: Calcular la constante $k$: $k = \frac{90.000}{9} = 10.000$.
- Paso 3: Hallar cada parte: $2(10.000) = $\\$20.00$0$, $3(10.000) = $\\$30.00$0$, $4(10.000) = $\\$40.00$0$.
- Paso 4: Para el triángulo: Suma de consecuentes = $3 + 4 + 5 = 12 \implies k = \frac{48}{12} = 4\text{ cm}$.
- Paso 5: Lados: $3(4) = 12\text{ cm}$, $4(4) = 16\text{ cm}$, $5(4) = 20\text{ cm}$.
La alternativa correcta es 'Sumando las tres partes ($20.000 + 30.000 + 40.000 = 90.000$)'.
Procedimiento
- Paso 1: Sumar todos los términos consecuentes de la razón dada: $\sum b_i$.
- Paso 2: Dividir la suma total de los antecedentes (el valor total $S$) por la suma de consecuentes para hallar $k = \frac{S}{\sum b_i}$.
- Paso 3: Multiplicar la constante $k$ por cada consecuente individual para obtener el valor de cada parte $a_i = b_i \cdot k$ y verificar la suma total.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Dividir la cantidad total entre el número de partes en vez de la suma de consecuentes. Cómo corregirlo: Si se divide por 3, sería un reparto equitativo. Se DEBE dividir por la suma de consecuentes: $k = \frac{S}{b_1 + b_2 + b_3}$.
- Error 2: Olvidar comprobar la suma. Cómo corregirlo: La suma de todas las partes calculadas debe coincidir exactamente con el total inicial.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Suma consecuentes = $1 + 3 = 4 \implies k = \frac{60}{4} = 15$. El mayor recibe $3 \cdot 15 = 45$ dulces.
- Suma consecuentes = $2 + 3 + 4 = 9 \implies k = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$. Ángulo mayor = $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$.
- Sí, es el teorema de la suma para $n = 2$ razones.
- Sí, es el método universal de reparto proporcional directo.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Aplicar el teorema de la suma de términos en series de razones iguales para resolver problemas de reparto proporcional.
Calculando la constante $k = \frac{\text{Total}}{\sum b_i}$ y multiplicándola por cada consecuente individual $a_i = b_i \cdot k$ para determinar cada magnitud y verificar la suma total.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el rol del suma de términos en una serie en una razón matemática? (Variante 1)
Definición directa.
Respuesta: A) Rol A
-
¿Cuál es el rol del suma de términos en una serie en una razón matemática? (Variante 2)
Definición directa.
Respuesta: A) Rol A
-
¿Cuál es el rol del suma de términos en una serie en una razón matemática? (Variante 3)
Definición directa.
Respuesta: A) Rol A
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Identifica el suma de términos en una serie en $12:7$
Identificación de posición.
Respuesta: A) Opción 1
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿El suma de términos en una serie puede ser decimal?
Sí, puede ser cualquier real.
Respuesta: Verdadero
-
¿El suma de términos en una serie puede ser decimal?
Sí, puede ser cualquier real.
Respuesta: Verdadero
-
¿El suma de términos en una serie puede ser decimal?
Sí, puede ser cualquier real.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
En un contexto real, si se duplica el suma de términos en una serie, ¿qué ocurre?
Aplicación de propiedades.
Respuesta: A) Ocurre A
-
En un contexto real, si se duplica el suma de términos en una serie, ¿qué ocurre?
Aplicación de propiedades.
Respuesta: A) Ocurre A
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En un contexto real, si se duplica el suma de términos en una serie, ¿qué ocurre?
Aplicación de propiedades.
Respuesta: A) Ocurre A